La montaña rusa y el péndulo
Lo que vas a aprender
- Identificar en qué puntos de una montaña rusa y de un péndulo predomina la energía potencial y en cuáles la cinética.
- Calcular la energía potencial en cada punto con alturas dadas, y la cinética como Ec = Em − Ep cuando no hay fricción.
- Explicar dónde va más rápido un vagón o un péndulo, comparando sus energías cinéticas.
- Reconocer que en lo alto de una loma el vagón puede seguir en movimiento y tener energía cinética.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En un parque de diversiones, una montaña rusa clásica no tiene motor que empuje los vagones durante el recorrido. Una cadena los sube al punto más alto y desde allí todo el viaje (las bajadas vertiginosas, las lomas, las curvas) funciona solamente con la energía que el vagón ganó al subir. Algo parecido pasa con un columpio o con el péndulo de un reloj antiguo: van y vienen cambiando una forma de energía por otra.
Entender cómo se reparte la energía en cada punto te permite predecir dónde va más rápido el vagón, por qué ninguna loma puede ser más alta que la primera cima y por qué un columpio sube del otro lado casi hasta la altura de la que salió.
Explicación
La regla de la montaña rusa
En la lección anterior viste que, sin resistencia del aire, la energía mecánica de un cuerpo que cae no cambia. Lo mismo vale para un vagón que recorre una pista, siempre que podamos olvidar la fricción de las ruedas y del aire. Ese es el modelo sin fricción: no es exactamente lo que pasa en la realidad, pero se acerca bastante y nos deja hacer cuentas sencillas. En la última lección de esta unidad veremos qué cambia cuando la fricción sí importa.
Con el modelo sin fricción, la energía mecánica $E_m = E_c + E_p$ es la misma en todos los puntos de la pista. Eso nos da una manera muy cómoda de calcular la energía cinética:
$$E_c = E_m - E_p$$
Los pasos son siempre los mismos:
- Calcula la energía mecánica en el punto de salida. Si el vagón sale del reposo, ahí solo tiene potencial: $E_m = mgh$.
- En cada punto, calcula la potencial con su altura: $E_p = mgh$.
- Resta: lo que falta para completar la mecánica es la cinética.
De ahí salen dos reglas que puedes usar sin hacer cuentas:
- Más abajo, más rápido. En el punto más bajo de la pista la potencial es mínima, así que la cinética es máxima: allí el vagón va a su mayor velocidad.
- Más arriba, más lento. Al subir una loma el vagón gana potencial y pierde cinética: se va frenando.
En lo alto de una loma
Hay una idea equivocada muy común: creer que en todo punto alto la energía cinética es cero. Eso solo pasa si el vagón se detiene. Si la loma es más baja que el punto de salida, el vagón llega a su cima con energía de sobra: tiene potencial, pero también le queda cinética, y pasa por encima sin detenerse, moviéndose en forma horizontal.
Y si la loma fuera más alta que el punto de salida, el vagón nunca llegaría a la cima: necesitaría más energía potencial que toda la mecánica que tiene, y eso exigiría una energía cinética negativa, que no existe. Por eso, en una montaña rusa sin motor, la primera cima es la más alta de todas.
Ejemplo resuelto
Las energías del vagón en cuatro puntos
Un vagón de 200 kg (masa inventada) sale del reposo en el punto A, a 30 m de altura, y recorre una pista sin fricción. Calcula su energía potencial y su energía cinética en cada punto. Usa g = 10 m/s² y el suelo como nivel de referencia.
| Punto | Altura (m) |
|---|---|
| A (salida) | 30 |
| B (valle) | 0 |
| C (loma) | 20 |
| D | 5 |
Ver la solución paso a paso
En A el vagón está quieto, así que su energía mecánica es toda potencial:
$$200 \cdot 10 \cdot 30 + \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0^{2} = 60\,000$$
En B, el valle, la altura es cero y la potencial también:
$$200 \cdot 10 \cdot 0 = 0$$
La cinética es lo que falta para completar la mecánica, así que toda la energía es cinética:
$$60\,000 - 0 = 60\,000$$
En C, la cima de la loma, la potencial vale:
$$200 \cdot 10 \cdot 20 = 40\,000$$
y la cinética:
$$60\,000 - 40\,000 = 20\,000$$
En D, la potencial vale:
$$200 \cdot 10 \cdot 5 = 10\,000$$
y la cinética:
$$60\,000 - 10\,000 = 50\,000$$
Ordenamos las energías cinéticas de mayor a menor. El vagón va más rápido donde tiene más cinética:
$$60\,000 > 50\,000 > 20\,000 > 0$$
Va más rápido en B, después en D, después en C, y está quieto en A. En C, aunque está en lo alto de una loma, le quedan 20 000 J de cinética: no se detiene.
Respuesta: Energía mecánica: 60 000 J. Cinética: 0 J en A, 60 000 J en B, 20 000 J en C y 50 000 J en D.
Perfil simplificado de la pista del ejemplo; las distancias horizontales son inventadas y no entran en las cuentas. El vagón sale del reposo en A, a 30 m; B es el valle, a 0 m; C es la cima de una loma, a 20 m; D está a 5 m.
Energía potencial (Ep) y cinética (Ec) del vagón en cada punto, en kilojoules (1 kJ = 1000 J). En todos los puntos la suma es 60 kJ, la energía mecánica.
Ejemplo resuelto
¿Puede pasar una loma más alta?
Al final de la pista anterior, los constructores quieren poner una loma de 35 m. El vagón de 200 kg salió del reposo a 30 m y no hay fricción. ¿Puede llegar a la cima de esa loma? Usa g = 10 m/s².
Ver la solución paso a paso
La energía mecánica del vagón es la de la salida:
$$200 \cdot 10 \cdot 30 = 60\,000$$
En la cima de la loma necesitaría esta energía potencial:
$$200 \cdot 10 \cdot 35 = 70\,000$$
Si llegara, su cinética sería la mecánica menos la potencial, y daría un número negativo:
$$60\,000 - 70\,000 < 0$$
Una energía cinética no puede ser negativa, porque la masa es positiva y la velocidad al cuadrado nunca es negativa. El vagón se frena antes de llegar a la cima y se devuelve.
Respuesta: No puede: en la cima necesitaría 70 000 J de energía potencial y solo tiene 60 000 J de energía mecánica.
El péndulo
Un péndulo es una masa que cuelga de un hilo y va y viene. Para medir su energía potencial conviene tomar como nivel de referencia su punto más bajo.
- En los extremos de su recorrido el péndulo se detiene un instante antes de devolverse: allí la cinética es cero y toda la energía es potencial.
- En el punto más bajo la potencial es cero: toda la energía es cinética, y allí va más rápido.
- En los puntos intermedios tiene un poco de cada una, y la suma es siempre la misma.
Por eso, en el modelo sin fricción, un péndulo que sueltas desde cierta altura sube del otro lado hasta la misma altura, y así para siempre. Un péndulo real no hace eso: el aire y el roce en el punto de donde cuelga lo van frenando, y cada vez sube un poco menos hasta que se detiene. La energía que pierde no desaparece: se va al aire y al soporte como calor y como un poco de sonido. Eso lo estudiarás en la última lección de la unidad.
Ejemplo resuelto
Las energías de un péndulo
Una esfera de 0,5 kg cuelga de un hilo. La separas hasta que queda 0,2 m por encima de su punto más bajo y la sueltas. Sin fricción, calcula su energía cinética cuando pasa a 0,1 m de altura y cuando pasa por el punto más bajo. Usa g = 10 m/s².
Ver la solución paso a paso
En el extremo, de donde la sueltas, está quieta: la energía mecánica es toda potencial.
$$0{,}5 \cdot 10 \cdot 0{,}2 = 1$$
A 0,1 m su potencial es:
$$0{,}5 \cdot 10 \cdot 0{,}1 = 0{,}5$$
y su cinética, lo que falta para completar la mecánica:
$$1 - 0{,}5 = 0{,}5$$
En el punto más bajo la altura es cero y la potencial también:
$$0{,}5 \cdot 10 \cdot 0 = 0$$
así que toda la energía es cinética:
$$1 - 0 = 1$$
A la mitad de la altura la energía está repartida por mitades, y en el punto más bajo el péndulo tiene su mayor energía cinética: allí va más rápido.
Respuesta: La cinética es 0,5 J a 0,1 m de altura y 1 J en el punto más bajo.
Suelta el péndulo de 1 kg desde 0,5 m y pausa en varios puntos. Arriba toda su energía es potencial, 4,9 J; abajo, toda es cinética y va a unos 3,13 m/s; y sube del otro lado hasta la misma altura, porque sin roce la energía mecánica no cambia. La escena usa g = 9,8 m/s².
Práctica
Un vagón de 300 kg pasa por un punto de la pista que está a 15 m del suelo. Con g = 10 m/s², ¿cuál es su energía potencial en ese punto, en joules?
Ep = mgh = 300 · 10 · 15 = 45 000 J. Con 4500 J se olvidó la g; con 3000 J, la altura.
Un carrito de 50 kg sale del reposo desde una cima de 12 m en una pista sin fricción. Con g = 10 m/s², ¿cuántos joules de energía cinética tiene cuando pasa por un punto a 4 m de altura?
Em = 50 · 10 · 12 = 6000 J. A 4 m, Ep = 50 · 10 · 4 = 2000 J. Ec = 6000 − 2000 = 4000 J.
El vagón de 200 kg sale del reposo a 30 m y sube a una loma de 20 m, sin fricción y con g = 10 m/s². ¿Verdadero o falso? En la cima de la loma su energía cinética es cero.
En la cima de la loma la cinética es 60 000 − 40 000 = 20 000 J. La loma es más baja que la salida, así que el vagón pasa por encima sin detenerse.
Un carrito de 100 kg sale del reposo a 12 m de altura y, sin fricción, pasa por tres puntos a 8 m, 2 m y 5 m. Con g = 10 m/s², ¿cuál es la mayor energía cinética que tiene en esos tres puntos, en joules?
La cinética es mayor donde la altura es menor, a 2 m: 12 000 − 2000 = 10 000 J. A 8 m tendría 4000 J y a 5 m, 7000 J. Los 12 000 J son la mecánica, no la cinética en esos puntos.
Un vagón de 400 kg sale del reposo desde 25 m en una pista sin fricción. Con g = 10 m/s², ¿verdadero o falso? Cuando pasa por un punto a 10 m de altura tiene 60 000 J de energía cinética.
Em = 400 · 10 · 25 = 100 000 J y, a 10 m, Ep = 40 000 J. La cinética es 100 000 − 40 000 = 60 000 J.
Una esfera de 0,2 kg cuelga de un hilo y se suelta desde 0,45 m por encima de su punto más bajo. Sin fricción y con g = 10 m/s², ¿cuántos joules de energía cinética tiene en el punto más bajo?
En el punto más bajo toda la energía es cinética, y es igual a la potencial que tenía al soltarse: 0,2 · 10 · 0,45 = 0,9 J.
La misma esfera de 0,2 kg, soltada desde 0,45 m, pasa por un punto a 0,15 m de altura. Sin fricción y con g = 10 m/s², ¿cuántos joules de energía cinética tiene allí?
Em = 0,9 J y, a 0,15 m, Ep = 0,2 · 10 · 0,15 = 0,3 J. La cinética es 0,9 − 0,3 = 0,6 J.
Un péndulo sin fricción tiene una energía mecánica de 2 J. En cierto punto su energía cinética es 1,5 J. ¿Cuántos joules de energía potencial tiene en ese punto?
Ep = Em − Ec = 2 − 1,5 = 0,5 J. Como tiene más cinética que potencial, el péndulo está cerca de su punto más bajo.
Sueltas un péndulo desde cierta altura. Si no hubiera ninguna fricción, ¿hasta dónde subiría del otro lado?
Sin fricción la energía mecánica se mantiene. En el otro extremo se detiene un instante y toda su energía vuelve a ser potencial, así que alcanza la misma altura de la que salió.
Un columpio que nadie empuja va subiendo cada vez menos hasta que se detiene. ¿Por qué pasa eso?
Un columpio real no es un modelo sin fricción. En cada oscilación una parte de la energía mecánica pasa al aire y a las cadenas como calor y sonido. La energía no desaparece: deja de estar en el movimiento del columpio.
Reto
Abre el candado del parque de diversiones.
Cada respuesta es una cifra del código. Todas las pistas son sin fricción y con g = 10 m/s².
Reto
El crucigrama de la montaña rusa y el péndulo.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
En una montaña rusa o un péndulo sin fricción, la energía mecánica es la misma en todos los puntos.
Donde la altura es mayor hay más energía potencial; donde es menor hay más cinética, y allí el cuerpo va más rápido.
La energía cinética en un punto se calcula como Ec = Em − Ep.
En la cima de una loma más baja que la salida, el vagón todavía tiene energía cinética; ninguna loma puede ser más alta que el punto de salida.
Un péndulo real se detiene porque la fricción transforma su energía mecánica en calor y sonido.
Vocabulario
- Péndulo
Un objeto que cuelga de un hilo o una varilla y oscila de un lado a otro alrededor de su punto más bajo.
- Oscilación
Un ir y venir completo del péndulo, de un extremo al otro y de regreso.
- Fricción
Fuerza que aparece cuando dos superficies se rozan, o cuando un cuerpo se mueve en el aire, y que frena el movimiento.
- Modelo sin fricción
Una simplificación en la que suponemos que nada frena al cuerpo; así la energía mecánica se mantiene.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte quién se ha subido a una montaña rusa o a un columpio, y en qué parte del recorrido sintió que iba más rápido.
- Explicación · 15 min — Resuelva en el tablero la tabla del vagón y comente las dos figuras. Construya un péndulo con un hilo y una tuerca y suéltelo desde distintas alturas.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; el candado se puede resolver en grupos de cuatro y el crucigrama, de forma individual.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante dibuje una pista con tres puntos y señale dónde el vagón va más rápido y dónde más despacio.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la primera cima de una montaña rusa es la más alta?
- En lo alto de una loma, ¿el vagón está quieto? ¿De qué depende?
- Si el péndulo del salón se detiene, ¿a dónde se fue su energía?
Errores típicos
- Creer que en todo punto alto la energía cinética es cero. Use el punto C del ejemplo: está en una cima y le quedan 20 000 J de cinética.
- Sumar la potencial a la mecánica en lugar de restarla para hallar la cinética. Pida que comprueben al final que Ec + Ep da la energía mecánica de la salida.
- Pensar que el vagón puede subir más alto que su punto de salida si toma impulso en la bajada. Repase el ejemplo de la loma de 35 m y la cinética negativa que saldría.
- Decir que la energía de un péndulo real se gasta o se acaba. Pregunte qué se calienta y qué suena cuando el péndulo se mueve, y adelante la idea de disipación de la última lección.
Tarea sugerida
Construir en casa un péndulo con un hilo de unos 50 cm y una bola de papel arrugado. Soltarlo desde una marca hecha en una hoja pegada detrás y contar cuántas oscilaciones tarda en llegar solo a la mitad de esa distancia. Repetir con una tuerca durante el mismo número de oscilaciones y comparar hasta dónde llega. Explicar por escrito por qué cada vez sube menos, por qué el papel se frena antes y en qué punto iba más rápido.