Gráficas de la energía en el tiempo
Lo que vas a aprender
- Calcular la energía potencial y la cinética de un cuerpo que cae en instantes dados, a partir de expresiones dadas para su altura y su velocidad.
- Representar en una misma gráfica la energía potencial, la cinética y la mecánica en función del tiempo.
- Leer en la gráfica cuándo predomina cada forma de energía, cuándo son iguales y cuándo el cuerpo llega al suelo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una tabla te da la energía en unos pocos instantes. Una gráfica te la muestra en todos a la vez: con una mirada sabes cuándo la energía potencial es mayor, cuándo la cinética la alcanza y cuánto dura la caída. Los científicos y los ingenieros usan gráficas como estas para estudiar desde un paracaídas hasta una atracción mecánica, porque las tendencias se ven mucho mejor en un dibujo que en una lista de números.
En esta lección vas a construir y leer las gráficas de las energías de una pelota que cae.
Explicación
La altura y la velocidad, dadas como expresiones
En la lección de caída libre, las alturas y las velocidades venían en una tabla. Ahora te las vamos a dar como expresiones que dependen del tiempo $t$, en segundos. Para una pelota que se suelta desde 20 m, con $g = 10$ m/s² (redondeo de $9{,}8$ m/s²) y sin resistencia del aire, la altura y la velocidad son:
$$h = 20 - 5t^2 \qquad\qquad v = 10t$$
con $h$ en metros y $v$ en m/s. No tienes que saber de dónde salen: en Física de 10.º las vas a deducir. Lo que sí puedes hacer es usarlas: reemplazas $t$ por un número y obtienes la altura y la velocidad en ese instante. Con ellas calculas la energía potencial y la cinética, igual que antes.
Fíjate en el signo menos de la altura: a medida que pasa el tiempo, a 20 se le resta cada vez más, y la pelota baja. La velocidad, en cambio, crece todo el tiempo. Cuando la altura llega a cero, la pelota toca el suelo y las expresiones dejan de valer.
Ejemplo resuelto
Las energías en un instante
Una pelota de 2 kg se suelta desde 20 m. Su altura es $h =$ $20 - 5t^{2}$ y su velocidad es $v =$ $10t$, con t en segundos. Calcula su energía potencial, su cinética y su mecánica a los 1 s. Usa g = 10 m/s².
Ver la solución paso a paso
La altura a los t segundos es $h =$ $20 - 5t^{2}$, en metros.
La velocidad es $v =$ $10t$, en m/s.
Reemplazamos t por 1 en la altura:
$$20 - 5 \cdot 1^{2} = 15$$
y en la velocidad:
$$10 \cdot 1 = 10$$
Con la altura calculamos la energía potencial:
$$2 \cdot 10 \cdot 15 = 300$$
Con la velocidad, la cinética:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10^{2} = 100$$
Y la mecánica es la suma:
$$300 + 100 = 400$$
A los 1 s la pelota todavía tiene más potencial que cinética. Aunque ya pasó la mitad del tiempo de caída, solo ha bajado 5 m: al principio va despacio.
Respuesta: A los 1 s: Ep = 300 J, Ec = 100 J y Em = 400 J.
Ejemplo resuelto
La tabla para la gráfica
Con la misma pelota de 2 kg, que se suelta desde 20 m con h = 20 − 5t² y v = 10t, calcula la energía potencial y la cinética a los 0 s, 0,5 s, 1,5 s y 2 s. Usa g = 10 m/s².
Ver la solución paso a paso
A los 0 s la pelota está arriba, quieta. Potencial:
$$2 \cdot 10 \cdot \left(20 - 5 \cdot 0^{2}\right) = 400$$
Cinética:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(10 \cdot 0\right)^{2} = 0$$
A los 0,5 s. Potencial:
$$2 \cdot 10 \cdot \left(20 - 5 \cdot \left(0{,}5\right)^{2}\right) = 375$$
Cinética:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(10 \cdot 0{,}5\right)^{2} = 25$$
A los 1,5 s. Potencial:
$$2 \cdot 10 \cdot \left(20 - 5 \cdot \left(1{,}5\right)^{2}\right) = 175$$
Cinética:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(10 \cdot 1{,}5\right)^{2} = 225$$
A los 2 s la altura es cero: la pelota llega al suelo. Potencial:
$$2 \cdot 10 \cdot \left(20 - 5 \cdot 2^{2}\right) = 0$$
Cinética:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(10 \cdot 2\right)^{2} = 400$$
Junto con el ejemplo anterior tenemos cinco instantes. En todos, la potencial más la cinética da 400 J.
Respuesta: Ep: 400 J, 375 J, 175 J y 0 J; Ec: 0 J, 25 J, 225 J y 400 J. En todos los instantes Ep + Ec = 400 J.
Cómo se construye la gráfica
Con los cinco instantes ya puedes dibujar. En el eje horizontal va el tiempo $t$, en segundos; en el vertical, la energía, en joules. Cada instante de la tabla da dos puntos: uno para la potencial y otro para la cinética. Si unes los puntos de la potencial con una línea suave obtienes su curva, y lo mismo con la cinética. La energía mecánica, que da lo mismo en todos los instantes, queda como una línea horizontal.
Lee la gráfica de abajo con calma:
- La curva de la potencial empieza arriba, en el valor de la energía mecánica, y baja cada vez más rápido hasta llegar a cero cuando la pelota toca el suelo.
- La curva de la cinética empieza en cero y sube cada vez más rápido.
- Las dos curvas son como un reflejo una de la otra: en cada instante, lo que le falta a una para llegar a la línea de la mecánica es justo lo que vale la otra.
- Las curvas se cruzan en el instante en que la potencial y la cinética valen lo mismo. Según la tabla, eso pasa entre 1 s y 1,5 s, porque a 1 s todavía gana la potencial y a 1,5 s ya gana la cinética.
Energías de la pelota de 2 kg que se suelta desde 20 m, en función del tiempo. Ep: potencial; Ec: cinética; Em: mecánica, constante. Los puntos marcados son los de 1 s, del primer ejemplo, y el de la llegada al suelo.
Ejemplo resuelto
¿Cuándo llega al suelo?
La pelota que se suelta desde 20 m tiene altura h = 20 − 5t². ¿A los cuántos segundos llega al suelo, y cuánta energía cinética tiene entonces si su masa es 2 kg? Usa v = 10t y g = 10 m/s².
Ver la solución paso a paso
Llega al suelo cuando su altura es cero: $20 - 5t^{2} = 0$
Sumamos $5t^2$ a los dos lados: $20 = 5t^{2}$
Dividimos entre 5: $t^{2} = 4$
El número positivo que al cuadrado da 4 es 2 (el tiempo no puede ser negativo): $t = 2$
En ese instante la velocidad es $10 \cdot 2$ m/s, y la cinética es:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(10 \cdot 2\right)^{2} = 400$$
Toda la energía mecánica es ya cinética: en la gráfica, la curva de la cinética llega a la línea de la mecánica justo cuando la de la potencial llega a cero.
Respuesta: Llega al suelo a los 2 s, con 400 J de energía cinética.
La energía en función de la altura
También se puede poner en el eje horizontal la altura en lugar del tiempo. Como $E_p = mgh$, la potencial es proporcional a la altura y su gráfica es una recta que pasa por el origen. La cinética es lo que falta para la mecánica, así que también es una recta, pero que baja. Fíjate en la diferencia: contra el tiempo las curvas se doblan, porque la pelota baja cada vez más rápido; contra la altura son rectas, porque cada metro que baja la pelota convierte la misma cantidad de potencial en cinética.
Para la pelota de 2 kg, cada metro de altura vale $2 \cdot 10 = 20$ J de energía potencial. Por eso la recta de la potencial es $E_p = 20h$, y la de la cinética es lo que le falta para los 400 J de la mecánica: $E_c = 400 - 20h$. Las dos rectas se cruzan justo a la mitad de la altura de salida, donde cada energía vale la mitad de la mecánica.
Ten en cuenta que esta gráfica se lee de derecha a izquierda: la pelota empieza a 20 m, a la derecha, y termina en el suelo, a la izquierda. En cambio, la gráfica contra el tiempo se lee de izquierda a derecha, como pasan los segundos. Antes de leer cualquier gráfica, mira siempre qué va en cada eje y en qué unidades.
Las mismas energías de la pelota de 2 kg, ahora en función de la altura h. La potencial y la cinética son rectas y se cruzan a 10 m, la mitad de la altura de salida.
Suelta la pelota de 2 kg desde 10 m y pausa a distintas alturas. Compara las barras con la gráfica de energía contra altura: la potencial baja en línea recta con la altura, la cinética sube lo mismo y la suma se queda en 196 J. A 5 m son 98 J de cada una. La escena usa g = 9,8 m/s².
Práctica
Una piedra de 1 kg se suelta desde 45 m y su altura, en metros, es $h =$ $45 - 5t^{2}$. Con g = 10 m/s², ¿cuántos joules de energía potencial tiene a los 2 s?
A los 2 s la altura es 45 − 5 · 2² = 25 m, y Ep = 1 · 10 · 25 = 250 J.
La misma piedra de 1 kg tiene velocidad $v =$ $10t$, en m/s. ¿Cuántos joules de energía cinética tiene a los 2 s?
A los 2 s va a 10 · 2 = 20 m/s, y Ec = ½ · 1 · 20² = 200 J. Sumada a los 250 J de potencial da 450 J, la mecánica.
La piedra que se suelta desde 45 m tiene altura $h =$ $45 - 5t^{2}$. ¿A los cuántos segundos llega al suelo?
Llega al suelo cuando h = 0: 45 − 5t² = 0, así que t² = 9 y t = 3 s.
En la gráfica de la piedra de 1 kg que se suelta desde 45 m, sin resistencia del aire y con g = 10 m/s², ¿qué valor, en joules, tiene la línea horizontal de la energía mecánica?
La mecánica es la potencial del principio, cuando la piedra está quieta: 1 · 10 · 45 = 450 J. Esa línea no sube ni baja durante la caída.
La pelota de la gráfica tiene una energía mecánica de 400 J. En el instante en que su energía potencial es 300 J, ¿cuánta energía cinética tiene, en joules?
En cada instante las dos curvas suman la línea de la mecánica: 400 − 300 = 100 J. Es el punto (1; 100) de la gráfica.
La pelota de 2 kg se suelta desde 20 m y su altura es $h =$ $20 - 5t^{2}$. ¿Verdadero o falso? A los 1 s ya bajó la mitad de la altura.
A los 1 s está a 15 m: solo bajó 5 m de los 20. Como cada vez va más rápido, en el segundo que falta baja los otros 15 m.
La pelota de 2 kg se suelta desde 20 m, sin resistencia del aire y con g = 10 m/s². ¿A qué altura, en metros, su energía potencial es igual a su energía cinética?
Si son iguales, cada una es la mitad de la mecánica: 400 ÷ 2 = 200 J. La potencial vale 200 J cuando 2 · 10 · h = 200, es decir, a 10 m. Es el cruce de las rectas en la gráfica contra la altura.
Para la pelota de 2 kg y con g = 10 m/s², ¿verdadero o falso? Su energía potencial a 10 m de altura es la mitad de la que tiene a 20 m.
A 10 m tiene 200 J y a 20 m, 400 J. La potencial es proporcional a la altura: por eso su gráfica contra la altura es una recta que pasa por el origen.
En la gráfica de energía contra tiempo de un cuerpo que cae sin resistencia del aire, ¿qué quiere decir que la línea de la energía mecánica sea horizontal?
Una línea horizontal tiene el mismo valor en todos los instantes. La cinética y la potencial sí cambian, pero su suma no.
Si la pelota cayera con una resistencia del aire apreciable, ¿cómo se vería la línea de la energía mecánica en la gráfica contra el tiempo?
Con resistencia del aire, una parte de la energía mecánica se transforma en calor y sonido, así que la suma Ep + Ec disminuye con el tiempo. La energía no desaparece: deja de estar en el movimiento de la pelota.
Reto
Completa la descripción de la gráfica.
Toca cada espacio y elige el valor correcto. La pelota es de 2 kg, se suelta desde 20 m y g = 10 m/s².
Reto
Une cada valor de la gráfica con su resultado en joules.
Las expresiones son Ep = 400 − 100·t² y Ec = 100·t² para la pelota de 2 kg.
Cierre
En resumen
Con la altura y la velocidad dadas como expresiones del tiempo, se calculan la energía potencial y la cinética en cualquier instante.
En la gráfica contra el tiempo, la potencial baja de la energía mecánica a cero y la cinética sube de cero a la energía mecánica.
Sin resistencia del aire, la energía mecánica es una línea horizontal, y las curvas de la potencial y la cinética suman siempre esa línea.
Las curvas se cruzan cuando las dos energías valen la mitad de la mecánica, y eso pasa a la mitad de la altura, no a la mitad del tiempo.
Contra la altura, las energías potencial y cinética son rectas.
Vocabulario
- Gráfica de energía
Dibujo en un plano cartesiano que muestra cómo cambia una energía (eje vertical) a medida que pasa el tiempo o cambia la altura (eje horizontal).
- Instante
Un momento preciso del movimiento, que se indica con el tiempo t medido desde que empezó, en segundos.
- Curva
La línea que se obtiene al unir los puntos de una gráfica; puede ser recta o curvada.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una tabla de cinco instantes y pregunte qué se ve más rápido: ¿la tabla o una gráfica? Pida que anticipen la forma de la curva de la potencial.
- Explicación · 20 min — Complete la tabla con los dos primeros ejemplos y dibuje la gráfica en papel cuadriculado o en el tablero, punto por punto. Luego compare con la gráfica contra la altura.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas; los huecos y el dominó se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante señale en la gráfica cuándo predomina la potencial, cuándo la cinética y cuándo son iguales.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la curva de la potencial baja cada vez más rápido?
- Si la pelota fuera de 4 kg, ¿qué cambiaría en la gráfica? ¿Cambiaría el instante en que llega al suelo?
- ¿Cómo dibujarían la línea de la energía mecánica si hubiera resistencia del aire?
Errores típicos
- Unir los puntos con segmentos rectos en la gráfica contra el tiempo. Una con segmentos solo los puntos de 0, 1 y 2 s y muestre que el de 0,5 s (375 J de potencial) no cae sobre el segmento, que ahí marca 350 J.
- Creer que las curvas se cruzan a la mitad del tiempo de caída. Lea en la tabla los valores a 1 s y pregunte cuál energía es mayor en ese instante.
- Olvidar elevar al cuadrado al reemplazar t en 20 − 5t². Pida que escriban primero t², luego multipliquen por 5 y al final resten de 20.
- Pensar que la línea horizontal de la mecánica significa que el cuerpo está quieto. Pregunte qué magnitud va en el eje vertical y cuál cambia con el tiempo.
Tarea sugerida
Para una piedra de 1 kg que se suelta desde 45 m (h = 45 − 5t², v = 10t), hacer la tabla de Ep y Ec a los 0, 1, 2 y 3 s y dibujar la gráfica de las tres energías contra el tiempo.