Mezclas y temperatura de equilibrio
Lo que vas a aprender
- Explicar que, al mezclar agua caliente y agua fría, el calor que cede una es el calor que gana la otra.
- Plantear y resolver la ecuación de calor cedido igual a calor ganado para hallar la temperatura de equilibrio.
- Comprobar con Q = m·c·ΔT que el calor cedido y el ganado son iguales.
- Interpretar los datos de un experimento de mezcla, incluidas las pérdidas de calor al ambiente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Antes de bañar a un bebé, muchas familias calientan una olla de agua y la mezclan con agua de la llave en una bañera hasta que quede tibia. Si la mezcla queda muy caliente, echan más agua fría; si queda fría, más caliente. Lo mismo hace quien prepara una aguapanela y le agrega agua fría para poder tomársela ya. Todos estamos haciendo, sin cuentas, el cálculo de esta lección: a qué temperatura queda una mezcla.
Con lo que ya sabes del calor vas a poder predecir esa temperatura antes de mezclar, y también al revés: cuánta agua caliente hay que echar para llegar a la temperatura que quieres. Además, vas a ver por primera vez una idea que recorre toda la física: la energía no se crea ni se destruye: pasa de un cuerpo a otro o se transforma.
Antes de empezar necesitas la fórmula $Q = m\cdot c\cdot\Delta T$ de la lección anterior y saber resolver una ecuación de primer grado con la incógnita a los dos lados.
Explicación
Lo que cede una, lo gana la otra
Cuando echas agua caliente sobre agua fría, las partículas más agitadas del agua caliente chocan con las de la fría y les pasan parte de su movimiento. El agua caliente cede calor y su temperatura baja; el agua fría gana calor y su temperatura sube. El paso de energía se detiene cuando las dos partes llegan a la misma temperatura: la temperatura de equilibrio.
Si la mezcla se hace rápido, en un recipiente que casi no se calienta y bien tapado, se puede suponer que no se escapa energía hacia el aire ni hacia el recipiente. A ese conjunto que no intercambia energía con su alrededor se le llama sistema aislado. En un sistema aislado la energía se conserva, así que
$$\text{calor que cede el agua caliente} = \text{calor que gana el agua fría}$$
Esta igualdad es la que vamos a usar en todos los problemas. Es la conservación de la energía aplicada al calor, y es la base de la primera ley de la termodinámica que verás en la próxima unidad.
La ecuación de la mezcla
Llamemos $T$ a la temperatura de equilibrio, que es la incógnita. El agua caliente empieza a una temperatura $T_c$ y baja hasta $T$, así que baja $T_c - T$ grados. El agua fría empieza a $T_f$ y sube hasta $T$, así que sube $T - T_f$ grados. Con la fórmula del calor para cada parte:
$$m_c \cdot c \cdot (T_c - T) = m_f \cdot c \cdot (T - T_f)$$
A la izquierda está el calor que cede el agua caliente y a la derecha el que gana la fría, los dos escritos como números positivos. Si en cambio usas $Q = m\,c\,\Delta T$ con el signo de la lección anterior, el calor del agua caliente sale negativo y la condición se escribe $Q_c + Q_f = 0$: es la misma ecuación.
Como las dos partes son agua, el calor específico $c = 4{,}18\ \text{J}/(\text{g}\cdot\text{°C})$ está a los dos lados y se puede cancelar: la temperatura de equilibrio no depende de su valor. Sí lo necesitas, en cambio, para calcular cuántos joules pasaron.
Dónde queda la temperatura final
Fíjate en dos cosas que sirven para revisar cualquier resultado:
- La temperatura final siempre queda entre las dos iniciales. El agua caliente no puede quedar más fría que la fría, porque el calor deja de pasar en cuanto las dos se igualan.
- Queda más cerca de la temperatura de la parte que tiene más masa. Si mezclas una taza de agua hirviendo con un balde de agua fría, el balde casi no se entera.
Solo cuando las dos masas son iguales la temperatura final es el promedio de las dos iniciales. En otro caso, sacar el promedio es un error muy común.
Resolver al revés
La misma ecuación sirve para hallar otro dato. Si sabes a qué temperatura quieres que quede la mezcla, la incógnita puede ser la masa de agua caliente que tienes que agregar. Se plantea igual, calor cedido igual a calor ganado, y se despeja la masa.
En la vida real
Si haces el experimento en un vaso de vidrio, sin tapa, la mezcla queda un poco más fría de lo que predice la cuenta. No es que la cuenta esté mal: parte del calor que cedió el agua caliente se fue al vaso y al aire, y no llegó al agua fría. El sistema no era del todo aislado. La energía no desapareció; se repartió entre más cuerpos de los que contamos.
Temperatura final al echar m gramos de agua a 70 °C sobre 100 g de agua a 10 °C (eje horizontal: m; eje vertical: la temperatura final). Sin agua caliente, se queda en 10 °C; con 100 g, llega a 40 °C; con 300 g, a 55 °C. Por mucha agua caliente que se eche, nunca pasa de 70 °C (línea punteada).
Ejemplo resuelto
Dos tazas iguales
Mezclas una taza con 200 g de agua a 80 °C y otra con 200 g de agua a 20 °C. ¿A qué temperatura queda la mezcla? Comprueba que el calor cedido es igual al ganado (c = 4,18 J/(g·°C)).
Ver la solución paso a paso
Calor que cede el agua caliente = calor que gana el agua fría, con T la temperatura final:
$$200 \cdot 4{,}18 \cdot \left(80 - T\right) = 200 \cdot 4{,}18 \cdot \left(T - 20\right)$$
Las masas y el calor específico son iguales a los dos lados y se cancelan.
$$80 - T = T - 20$$
Pasamos las T a un lado y los números al otro.
$$100 = 2T$$
Dividimos entre 2. Con masas iguales, la temperatura final es el promedio de 80 °C y 20 °C.
$$T = 50$$
Comprobamos: el agua caliente baja 30 °C y la fría sube 30 °C. Los dos calores valen 25 080 J.
$$200 \cdot 4{,}18 \cdot \left(80 - 50\right) = 200 \cdot 4{,}18 \cdot \left(50 - 20\right)$$
Y ese calor, en joules, es:
$$200 \cdot 4{,}18 \cdot 30 = 25\,080$$
Respuesta: La mezcla queda a 50 °C; el agua caliente cede 25 080 J y la fría gana 25 080 J.
Ejemplo resuelto
Más agua caliente que fría
Se echan 300 g de agua a 70 °C sobre 100 g de agua a 10 °C. ¿A qué temperatura queda la mezcla? Comprueba el resultado con los calores (c = 4,18 J/(g·°C)).
Ver la solución paso a paso
Planteamos la igualdad. El calor específico está a los dos lados y lo cancelamos de una vez:
$$300 \cdot \left(70 - T\right) = 100 \cdot \left(T - 10\right)$$
Aplicamos la propiedad distributiva a los dos lados.
$$21\,000 - 300T = 100T - 1000$$
Sumamos 300T y 1000 a los dos lados.
$$22\,000 = 400T$$
Dividimos entre 400.
$$T = 55$$
Revisamos: 55 °C está entre 10 °C y 70 °C, y más cerca de 70 °C, porque hay más agua caliente. Los calores, en joules, coinciden:
$$300 \cdot 4{,}18 \cdot \left(70 - 55\right) = 18\,810 \quad\text{y}\quad 100 \cdot 4{,}18 \cdot \left(55 - 10\right) = 18\,810$$
El promedio de las temperaturas, 40 °C, habría sido un error: solo vale con masas iguales.
$$\frac{70 + 10}{2} = 40$$
Respuesta: La mezcla queda a 55 °C; pasan 18 810 J del agua caliente a la fría.
Ejemplo resuelto
¿Cuánta agua caliente hay que echar?
En una ponchera hay 600 g de agua a 20 °C (datos inventados). ¿Cuántos gramos de agua a 90 °C hay que agregar para que la mezcla quede a 40 °C?
Ver la solución paso a paso
La incógnita es la masa m de agua caliente. Esa agua baja de 90 °C a 40 °C, y la de la ponchera sube de 20 °C a 40 °C:
$$m \cdot 4{,}18 \cdot \left(90 - 40\right) = 600 \cdot 4{,}18 \cdot \left(40 - 20\right)$$
Cancelamos el calor específico y hacemos las restas.
$$50m = 600 \cdot 20$$
Multiplicamos a la derecha.
$$50m = 12\,000$$
Dividimos entre 50.
$$m = 240$$
Comprobamos con los calores, en joules: los dos valen 50 160 J.
$$240 \cdot 4{,}18 \cdot 50 = 600 \cdot 4{,}18 \cdot 20$$
Respuesta: Hay que agregar 240 g de agua a 90 °C.
Práctica
Se mezclan 100 g de agua a 70 °C con 100 g de agua a 10 °C. ¿A qué temperatura queda la mezcla, en °C? La ecuación es $100 \cdot 4{,}18 \cdot \left(70 - T\right) = 100 \cdot 4{,}18 \cdot \left(T - 10\right)$.
Con masas iguales, la temperatura final es el promedio: (70 + 10) ÷ 2 = 40 °C. 80 es sumar las temperaturas, 60 es restarlas y 30 es la mitad de la resta.
Se mezclan 400 g de agua a 50 °C con 100 g de agua a 25 °C. ¿A qué temperatura queda la mezcla, en °C?
400 · (50 − T) = 100 · (T − 25) da 20 000 − 400T = 100T − 2500, es decir, 22 500 = 500T y T = 45 °C. Queda más cerca de 50 °C porque hay más agua caliente.
En la mezcla anterior, el agua caliente pasa de 50 °C a 45 °C. Si su masa es de 400 g, ¿cuánto calor cede, en J? Usa c = 4,18 J/(g·°C).
Cede 400 · 4,18 · 5 = 8360 J. El agua fría, 100 g que suben 20 °C, gana 100 · 4,18 · 20 = 8360 J: lo mismo.
Se mezclan 250 g de agua a 90 °C con 750 g de agua a 18 °C. ¿A qué temperatura queda la mezcla, en °C? La ecuación es $250 \cdot 4{,}18 \cdot \left(90 - T\right) = 750 \cdot 4{,}18 \cdot \left(T - 18\right)$.
Al cancelar 4,18: 22 500 − 250T = 750T − 13 500, así que 36 000 = 1000T y T = 36 °C. 54 es el promedio, que no vale con masas distintas; 72 sale de cambiar las masas de lugar.
¿Cuántos gramos de agua a 80 °C hay que echar sobre 300 g de agua a 20 °C para que la mezcla quede a 40 °C?
m · (80 − 40) = 300 · (40 − 20), es decir, 40m = 6000 y m = 150 g.
Se echan 100 g de agua a 75 °C en un balde con 1000 g de agua a 20 °C. ¿A qué temperatura queda la mezcla, en °C?
100 · (75 − T) = 1000 · (T − 20) da 7500 + 20 000 = 1100T, así que T = 25 °C. El balde tiene diez veces más agua, y la mezcla queda muy cerca de su temperatura.
¿Verdadero o falso? Si se mezclan 200 g de agua a 30 °C con 200 g a 50 °C, la temperatura final queda entre las dos iniciales: $30 < \frac{200 \cdot 30 + 200 \cdot 50}{200 + 200} < 50$
La mezcla queda a 40 °C, entre 30 °C y 50 °C. Siempre es así: el calor deja de pasar en cuanto las dos partes se igualan.
¿Verdadero o falso? Al mezclar 100 g de agua a 60 °C con 300 g a 20 °C, la temperatura final es el promedio de las dos: $\frac{100 \cdot 60 + 300 \cdot 20}{100 + 300} = \frac{60 + 20}{2}$
La mezcla queda a 12 000 ÷ 400 = 30 °C, no a 40 °C. El promedio solo sirve cuando las dos masas son iguales; aquí hay tres veces más agua fría.
¿Por qué la temperatura de una mezcla de agua caliente y agua fría siempre queda entre las dos temperaturas iniciales?
El calor es energía que pasa del cuerpo más caliente al más frío, y deja de pasar en el equilibrio térmico. Lo que pasa es energía, no temperatura ni «frío», y el promedio solo vale con masas iguales.
Sofía repite el ejemplo de las dos tazas (200 g de agua a 80 °C y 200 g a 20 °C) en un vaso de vidrio destapado. La cuenta predice 50 °C, y ella mide 47 °C (dato inventado). ¿Cuál es la mejor explicación?
El vaso y el aire también recibieron calor: el sistema no era aislado. La energía no se destruyó; se repartió entre más cuerpos de los que entraron en la cuenta. Con un recipiente tapado y que se caliente poco, la medida se acerca a la predicción.
Reto
Une cada mezcla con su temperatura final en °C.
Cada tarjeta es (m₁·T₁ + m₂·T₂) ÷ (m₁ + m₂), que sale de despejar T en calor cedido = calor ganado cuando las dos partes son agua.
Reto
Completa la mezcla.
Elige el número que completa cada espacio. Primero la temperatura final; luego cuánto baja el agua caliente y cuánto calor cede.
Cierre
En resumen
Al mezclar agua caliente y agua fría, la caliente cede calor y la fría lo gana hasta llegar a la temperatura de equilibrio.
En un sistema aislado la energía se conserva, así que el calor cedido es igual al calor ganado.
La ecuación de la mezcla es m_c·c·(T_c − T) = m_f·c·(T − T_f); si las dos partes son agua, el calor específico se cancela.
La temperatura final queda entre las dos iniciales, más cerca de la de la parte con más masa; solo con masas iguales es el promedio.
En un experimento real se escapa algo de calor al recipiente y al aire, y la mezcla queda un poco más fría de lo que predice la cuenta.
Vocabulario
- Temperatura de equilibrio
Temperatura común a la que llegan dos cuerpos en contacto cuando el calor deja de pasar entre ellos.
- Calor cedido
Energía que pierde el cuerpo más caliente mientras se enfría.
- Calor ganado
Energía que recibe el cuerpo más frío mientras se calienta.
- Sistema aislado
Conjunto de cuerpos que no intercambia energía con lo que lo rodea. Es una idealización: en la vida real siempre se escapa algo de calor.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cómo hacen en la casa para dejar tibia el agua del baño de un bebé o una aguapanela muy caliente. Pida que predigan, sin cuentas, a qué temperatura queda una mezcla de dos tazas iguales.
- Explicación · 15 min — Calor cedido igual a calor ganado y la ecuación de la mezcla. Resuelva en el tablero el ejemplo de las tazas iguales y el de más agua caliente, y comente la figura.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Si es posible, haga usted la mezcla con agua caliente de un termo (sin hervir, la vierte usted) y agua de la llave, con las masas medidas en una balanza de cocina y un termómetro de cocina, y compare la medida con la predicción.
- Cierre · 5 min — Pida que expliquen por qué la medida del experimento sale un poco por debajo de la cuenta.
Preguntas para el salón
- Si mezclan una taza de agua caliente con un balde de agua fría, ¿la mezcla queda más cerca de cuál temperatura? ¿Por qué?
- ¿Puede una mezcla de agua a 30 °C y agua a 60 °C quedar a 70 °C? ¿Qué tendría que pasar?
- ¿A dónde se va el calor que «falta» cuando la mezcla queda más fría de lo predicho?
Errores típicos
- Sacar el promedio de las temperaturas aunque las masas sean distintas. Pida que revisen si el resultado queda más cerca de la temperatura de la parte con más masa; con el promedio no pasa.
- Escribir T − T_c en el calor cedido y obtener una ecuación con un lado negativo. Insista en que cada lado es una cantidad positiva: lo que baja la caliente (T_c − T) y lo que sube la fría (T − T_f).
- Decir que la temperatura o el frío pasan de un cuerpo a otro. Recuerde que lo que pasa es energía, el calor; la temperatura es lo que cambia en cada cuerpo.
- Dar un resultado fuera del intervalo entre las dos temperaturas iniciales. Pida que comprueben siempre que la temperatura final quede entre las dos; si no, hay un error de signo.
Tarea sugerida
Inventar una mezcla de dos cantidades distintas de agua a dos temperaturas, calcular la temperatura de equilibrio y comprobar con Q = m·c·ΔT que el calor cedido es igual al ganado.