La ley de Boyle-Mariotte
Lo que vas a aprender
- Reconocer las cuatro variables de un gas y cuáles se mantienen fijas en la ley de Boyle-Mariotte.
- Completar una tabla de presión y volumen comprobando que el producto P·V no cambia.
- Calcular la presión o el volumen final de un gas con P₁V₁ = P₂V₂.
- Explicar con el modelo de partículas por qué la presión sube cuando el volumen baja.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Con el docente, tapa con el dedo la punta de una jeringa sin aguja que tenga aire y empuja el émbolo. Al principio entra fácil; después, cada vez cuesta más. Suelta el émbolo y verás que el aire lo devuelve. Algo parecido pasa cuando tapas la salida de una bomba de inflar balones y empujas, o cuando aprietas un globo con las manos.
En esta lección vas a convertir esa sensación en una regla con números. Con ella podrás predecir cuánto sube la presión de un gas si lo apretamos hasta la mitad de su volumen, o cuánto se agranda si lo dejamos expandirse.
Antes de empezar necesitas recordar el modelo de partículas de la lección anterior y cómo se despeja una incógnita en una igualdad sencilla.
Explicación
Las cuatro variables de un gas
Para describir una muestra de gas basta con cuatro cantidades:
- la presión (P), que en este curso medimos en atmósferas (atm);
- el volumen (V), el espacio que ocupa el gas, en litros (L) o en mililitros (mL);
- la temperatura (T), en kelvin cuando haga falta hacer cuentas con ella;
- la cantidad de gas (n), que dice cuántas partículas hay.
Si cambiamos dos de ellas a la vez y dejamos las otras dos quietas, podemos descubrir cómo se relacionan. En la ley de esta lección se dejan fijas la temperatura y la cantidad de gas, y se mira qué les pasa a la presión y al volumen. En cada problema las dos presiones van en la misma unidad, y los dos volúmenes también; así no hace falta cambiar de unidad.
Un experimento con una jeringa
Supón que la jeringa tapada está conectada a un medidor de presión y que el émbolo se empuja despacio, para que la temperatura del aire no cambie. Una tabla de resultados inventada, como la que podría salir, es esta:
| Volumen (mL) | 48 | 24 | 16 | 12 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Presión (atm) | 1 | 2 | 3 | 4 | ? |
Mira qué pasa de una columna a la siguiente. Cuando el volumen pasa a la mitad, la presión se duplica; cuando el volumen queda en la tercera parte, la presión se triplica. Y si multiplicas la presión por el volumen en cada columna, el resultado es siempre el mismo. Eso es lo que dice la ley.
La ley de Boyle-Mariotte
A temperatura constante y sin cambiar la cantidad de gas, la presión y el volumen son inversamente proporcionales: si uno se multiplica por un número, el otro se divide por ese mismo número. Dicho de otra forma, el producto P·V no cambia:
$$P_1 V_1 = P_2 V_2 \qquad (T \text{ y } n \text{ constantes})$$
El subíndice 1 marca el estado inicial del gas y el 2, el estado final. Si conoces tres de las cuatro cantidades, despejas la que falta.
La explicación con partículas
Si la temperatura no cambia, la energía cinética media de las partículas tampoco: siguen moviéndose, en promedio, igual de rápido. Pero si el mismo número de partículas queda en la mitad del espacio, cada parte de la pared recibe el doble de choques cada segundo, y la presión se duplica. Al revés, si el gas se expande al doble de volumen, los choques sobre cada parte de la pared se reparten y la presión queda en la mitad. Las partículas no se aprietan ni se encogen: lo que cambia es el espacio vacío entre ellas.
Mueve el émbolo con la temperatura fija. Cuando el gas queda en la mitad del volumen, la lectura de la presión se duplica; cuando ocupa el doble, la presión baja a la mitad. El producto P·V no cambia.
Ejemplo resuelto
Leer la tabla de la jeringa
En la tabla inventada del experimento, el aire ocupa 48 mL a 1 atm, 24 mL a 2 atm, 16 mL a 3 atm y 12 mL a 4 atm. Comprueba que P·V no cambia y calcula la presión cuando el aire ocupa 8 mL.
Ver la solución paso a paso
Multiplicamos presión por volumen en las dos primeras columnas: dan lo mismo.
$$1 \cdot 48 = 2 \cdot 24$$
En la tercera y en la cuarta columna también: el producto vale siempre 48 atm·mL.
$$3 \cdot 16 = 4 \cdot 12$$
Para la última columna, el producto tiene que seguir valiendo lo mismo: $1 \cdot 48 = P \cdot 8$
Despejamos la presión dividiendo entre 8: $P = \frac{48}{8}$
La presión es de $P = 6$ atm. Tiene sentido: el volumen quedó en la sexta parte del inicial y la presión se multiplicó por seis.
Respuesta: P·V vale siempre 48 atm·mL, y con 8 mL la presión es de 6 atm.
La tabla de la jeringa en una gráfica: los puntos están sobre la curva P = 48/V, una hipérbola. Al pasar de 24 mL a 12 mL la presión sube de 2 atm a 4 atm; con 8 mL llega a 6 atm.
La gráfica no es una recta
Si dibujas la presión contra el volumen, los puntos no quedan en línea recta. Forman una curva llamada hipérbola: cuando el volumen es grande, apretar un poco el gas casi no cambia la presión; cuando el volumen ya es pequeño, apretar un poco más la hace subir mucho. Eso es justo lo que sientes en la jeringa: al final cuesta cada vez más empujar.
Cómo resolver un problema
- Comprueba que la temperatura y la cantidad de gas no cambian. Si cambian, esta ley no sirve sola.
- Escribe los datos del estado 1 y del estado 2, con las presiones en la misma unidad y los volúmenes también.
- Plantea $P_1V_1 = P_2V_2$ y despeja.
- Revisa si el resultado tiene sentido: menos volumen tiene que dar más presión, y más volumen, menos presión. Si te salió al revés, quizás usaste la ley como una proporción directa.
Los volúmenes y las presiones de los problemas de esta lección son inventados para practicar.
Ejemplo resuelto
Tapar la salida de una bomba de inflar
Se tapa la salida de una bomba de inflar balones que tiene 0,9 L de aire a 1 atm. Sin que cambie la temperatura, se empuja el émbolo hasta que el aire ocupa 0,3 L. ¿Qué presión tiene el aire?
Ver la solución paso a paso
La temperatura y la cantidad de aire no cambian: es la ley de Boyle-Mariotte, con la presión final como incógnita. $1 \cdot 0{,}9 = P \cdot 0{,}3$
Dividimos los dos lados entre 0,3: $P = \frac{0{,}9}{0{,}3}$
La presión final, en atm: $P = 3$
Tiene sentido: el volumen quedó en la tercera parte y la presión se triplicó.
$$\frac{0{,}9}{0{,}3} = 3$$
Respuesta: El aire queda a 3 atm.
Ejemplo resuelto
Dejar que un gas se expanda
Un gas ocupa 4 L a 3 atm. Sin cambiar la temperatura, se le deja expandir hasta que su presión es de 1,5 atm. ¿Qué volumen ocupa?
Ver la solución paso a paso
Planteamos la ley con el volumen final como incógnita: $3 \cdot 4 = 1{,}5V$
Multiplicamos: $12 = 1{,}5V$
Dividimos entre 1,5: $V = \frac{12}{1{,}5}$
El volumen final, en litros: $V = 8$
Tiene sentido: la presión bajó a la mitad y el volumen se duplicó. El error típico sería pensar que menos presión da menos volumen, y responder 2 L.
$$8 = 2 \cdot 4$$
Respuesta: El gas ocupa 8 L.
Práctica
Un gas ocupa 9 L a 2 atm. Si la temperatura no cambia y se comprime hasta 3 L, ¿cuál es su nueva presión, en atm?
P₂ = P₁V₁/V₂ = 2 · 9 / 3 = 6 atm. El volumen quedó en la tercera parte y la presión se triplicó.
Un gas ocupa 5 L a 4 atm. A la misma temperatura, la presión baja a 2 atm. ¿Qué volumen ocupa ahora, en litros?
V₂ = P₁V₁/P₂ = 4 · 5 / 2 = 10 L. A la mitad de la presión, el doble de volumen.
A temperatura constante, el volumen de un gas se reduce a la mitad. ¿Por cuánto se multiplica su presión?
El producto P·V no cambia: si V se divide entre 2, P se multiplica por 2.
A temperatura constante, la presión de un gas se multiplica por 4. ¿Por cuánto se multiplica su volumen?
Presión y volumen son inversamente proporcionales: si la presión se multiplica por 4, el volumen se divide entre 4, es decir, se multiplica por 1/4.
Una jeringa tapada tiene 50 mL de aire a 1 atm. Sin cambiar la temperatura, se empuja el émbolo hasta que la presión es de 2,5 atm. ¿Qué volumen ocupa el aire, en mL?
V₂ = 1 · 50 / 2,5 = 20 mL. Más presión, menos volumen.
Un gas ocupa 30 mL a 1 atm. ¿A qué presión, en atm, hay que llevarlo sin cambiar la temperatura para que ocupe 12 mL?
P₂ = 1 · 30 / 12 = 2,5 atm.
¿Verdadero o falso? Un gas ocupa 12 L a 1 atm; a la misma temperatura y a 3 atm ocupa 36 L.
Ese es el error de usar la ley como proporción directa. Con más presión el volumen baja: 1 · 12 = 3 · V₂, así que V₂ = 4 L.
¿Verdadero o falso? En una tabla de un experimento aparecen un gas a 2 atm en 15 L y el mismo gas a 5 atm en 6 L. Los dos datos pueden ser de la misma muestra a la misma temperatura.
En los dos estados P·V vale 30 atm·L, así que cumplen la ley de Boyle-Mariotte.
A temperatura constante, ¿por qué sube la presión del aire de una jeringa tapada cuando se empuja el émbolo?
Si la temperatura no cambia, la energía cinética media de las partículas tampoco. Lo que cambia es el espacio: las mismas partículas quedan más juntas y cada parte de la pared recibe más choques por segundo.
¿En cuál de estas situaciones se puede usar, sola, la ley de Boyle-Mariotte?
La ley necesita temperatura y cantidad de gas constantes. Al sol cambia la temperatura; al soplar cambia la cantidad de aire; en la nevera cambia la temperatura y el volumen no.
Reto
Une los dos estados de una misma muestra de gas.
Cada ficha es P · V de un estado, con la presión en atm y el volumen en litros. Dos estados de la misma muestra a la misma temperatura tienen el mismo producto.
Reto
¿Cuál cambio no es como los demás?
Cada ficha es P₁ ÷ P₂, el número por el que se multiplica el volumen del gas a temperatura constante. Ronda 1: toca el único caso en que el gas se comprime. Ronda 2: toca el único en que se expande.
Reto
Completa los resultados del experimento.
La temperatura no cambia, así que P · V es siempre el mismo número.
Cierre
En resumen
Un gas se describe con cuatro variables, la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad de gas.
Ley de Boyle-Mariotte: a temperatura y cantidad de gas constantes, P₁V₁ = P₂V₂; la presión y el volumen son inversamente proporcionales.
Si el volumen se reduce a la mitad, la presión se duplica; si el volumen se duplica, la presión queda en la mitad.
La gráfica de presión contra volumen es una hipérbola, no una recta.
Con menos volumen, las mismas partículas chocan más veces contra cada parte de la pared, y por eso la presión sube.
Vocabulario
- Ley de Boyle-Mariotte
A temperatura constante y sin cambiar la cantidad de gas, la presión y el volumen son inversamente proporcionales: su producto P·V no cambia.
- Proporcionalidad inversa
Relación entre dos cantidades en la que, si una se multiplica por un número, la otra se divide por ese mismo número.
- Atmósfera (atm)
Unidad de presión que se definió a partir de la presión del aire al nivel del mar.
- Hipérbola
Curva que se obtiene al graficar dos cantidades inversamente proporcionales; baja rápido al principio y cada vez más despacio.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Reparta jeringas sin aguja. Que tapen la punta con el dedo, empujen el émbolo hasta la mitad y lo suelten. Pregunte qué sienten y por qué el émbolo vuelve.
- Explicación · 20 min — Las cuatro variables, la tabla de la jeringa y la ley. Resuelva en el tablero el ejemplo de la tabla y el de la bomba de inflar; dibuje la hipérbola con los puntos de la tabla.
- Práctica · 15 min — Preguntas y retos en parejas. Exija que antes de calcular digan si el resultado debe ser mayor o menor que el dato.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica con partículas, en una frase, por qué la jeringa se resiste más al final.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué hay que empujar el émbolo despacio si queremos que se cumpla la ley?
- ¿Podría el volumen de un gas llegar a cero con solo apretarlo mucho? ¿Qué dice el modelo de partículas?
- ¿Por qué la gráfica de la presión contra el volumen no es una recta?
Errores típicos
- Usar la ley como proporción directa (más presión, más volumen). Que digan antes de calcular si el resultado tiene que ser mayor o menor que el dato, y que lo comparen con lo que sienten al empujar una jeringa tapada.
- Aplicar la ley cuando cambia la temperatura o la cantidad de gas. Pida que, en cada problema, escriban primero qué se mantiene constante.
- Creer que al comprimir el gas sus partículas se hacen más pequeñas o más rápidas. Recuerde que la temperatura no cambia, así que la rapidez media tampoco; dibuje las mismas partículas en una caja más pequeña.
Tarea sugerida
Un gas ocupa 20 L a 1 atm. Construir la tabla de su volumen a 2, 4 y 5 atm sin cambiar la temperatura, comprobar que P·V no cambia, dibujar la gráfica y explicar con partículas el resultado.