La ley combinada y la ecuación de estado
Lo que vas a aprender
- Calcular la presión, el volumen o la temperatura final de un gas con la ley combinada, con las temperaturas en kelvin.
- Reconocer las leyes de Boyle-Mariotte, de Charles y de Gay-Lussac como casos de la ley combinada.
- Predecir qué pasa con la presión o con el volumen de un gas cuando cambia la cantidad de gas.
- Explicar con las relaciones entre las variables por qué una bomba se infla y por qué explota.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando soplas una bomba de fiesta, crece; si sigues soplando, llega un momento en que revienta. Cuando bombeas aire a un balón, se pone cada vez más duro, aunque casi no crece. Y en muchos casos de la vida diaria cambian a la vez la presión, el volumen y la temperatura de un gas, no solo dos de ellas.
En las lecciones anteriores siempre dejamos fijas dos variables. En esta vas a ver una ley que junta las tres que ya conoces y una idea nueva: qué pasa cuando cambia la cantidad de gas.
Antes de empezar necesitas las leyes de Boyle-Mariotte, de Charles y de Gay-Lussac, y pasar temperaturas a kelvin.
Explicación
La ley combinada
Mira las tres leyes juntas. A temperatura fija, $P \cdot V$ no cambia. A presión fija, $V/T$ no cambia. A volumen fijo, $P/T$ no cambia. Las tres caben en una sola regla: mientras la cantidad de gas sea la misma, el cociente $P \cdot V / T$ se mantiene constante. Es la ley combinada:
$$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2} \qquad (n \text{ constante})$$
Con ella se resuelven los casos en que cambian las tres variables a la vez. Y si una de ellas no cambia, se cancela a los dos lados y vuelve a aparecer una de las leyes que ya conoces: si $T_1 = T_2$, queda Boyle-Mariotte; si $P_1 = P_2$, queda Charles; si $V_1 = V_2$, queda Gay-Lussac. Como siempre, la temperatura va en kelvin y las dos presiones van en la misma unidad, igual que los dos volúmenes.
Para no equivocarte, haz una tabla con dos filas, el estado 1 y el estado 2, y tres columnas, P, V y T. Escribe lo que conoces, pasa las temperaturas a kelvin y deja la incógnita marcada. Después despeja.
Ejemplo resuelto
Comprimir y calentar a la vez
Un gas ocupa 6 L a 1 atm y 27 °C. Se comprime hasta 2 L y a la vez se calienta hasta 127 °C (datos inventados). ¿Qué presión tiene?
Ver la solución paso a paso
La cantidad de gas no cambia y cambian las otras tres variables: es la ley combinada, con las temperaturas en kelvin dentro de la cuenta. $\frac{1 \cdot 6}{27 + 273} = \frac{P \cdot 2}{127 + 273}$
Sumamos: de 300 K a 400 K. $\frac{6}{300} = \frac{2P}{400}$
Despejamos la presión: $P = \frac{6 \cdot 400}{300 \cdot 2}$
La presión final, en atm: $P = 4$
Tiene sentido: solo por la compresión a la tercera parte, la presión pasaría de 1 atm a 1 · 6/2 = 3 atm, y el calentamiento la sube un poco más, hasta 4 atm.
$$\frac{1 \cdot 6}{2} < 4$$
Respuesta: El gas queda a 4 atm.
Ejemplo resuelto
Un globo que sube
Un globo cerrado tiene 4 L de gas a 1 atm y 27 °C. Sube hasta un lugar donde la presión es de 0,5 atm y la temperatura de −33 °C (datos inventados). ¿Qué volumen ocupa el gas?
Ver la solución paso a paso
Planteamos la ley combinada con el volumen final como incógnita: $\frac{1 \cdot 4}{27 + 273} = \frac{0{,}5V}{-33 + 273}$
Sumamos: de 300 K a 240 K. $\frac{4}{300} = \frac{0{,}5V}{240}$
Despejamos el volumen: $V = \frac{4 \cdot 240}{300 \cdot 0{,}5}$
El volumen final, en litros: $V = 6{,}4$
La presión bajó a la mitad, que por sí sola duplicaría el volumen, pero el frío lo achica un poco: queda menos que el doble.
$$6{,}4 < 2 \cdot 4$$
Respuesta: El gas ocupa 6,4 L.
Cuando cambia la cantidad de gas
Hasta ahora la cantidad de gas, $n$, siempre fue fija. ¿Qué pasa si metemos más gas? Piensa en las partículas:
- A volumen y temperatura fijos, como en un balón que ya está lleno o en un tanque de buceo que se llena de aire, el doble de partículas en el mismo espacio da el doble de choques contra cada parte de la pared: la presión es proporcional a la cantidad de gas. Por eso un balón se pone cada vez más duro con cada bombazo, aunque casi no crece.
- A presión y temperatura fijas, como en una bomba a medio inflar, que se estira fácil, el doble de partículas necesita el doble de espacio para que los choques sobre cada parte de la pared sigan dando la misma presión: el volumen es proporcional a la cantidad de gas. Por eso la bomba crece cuando le soplas.
Estas relaciones, junto con la ley combinada, forman la ecuación de estado de un gas ideal: el cociente $\dfrac{P \cdot V}{n \cdot T}$ es el mismo para cualquier estado del gas. En este curso la usamos solo como proporciones; en Química de grado once vas a ponerle número a esa constante.
¿Qué relación uso?
Antes de hacer cuentas, pregúntate dos cosas. Primero: ¿entra o sale gas? Si la cantidad de gas no cambia, sirve la ley combinada, o una de las tres leyes si además una variable se queda quieta. Si la cantidad cambia, usa las proporciones con $n$, fijándote en qué se mantiene fijo: el volumen, como en un balón, o la presión, como en una bomba a medio inflar. Segundo: ¿el resultado tiene sentido? Más partículas, más temperatura o menos volumen tienen que dar más presión; si te salió lo contrario, revisa la tabla de los dos estados.
Inflar y explotar una bomba
El primer soplo es el que más cuesta: con la bomba casi vacía, el caucho todavía sin estirar se resiste, y hace falta más presión adentro que en los soplos siguientes para que empiece a crecer. Después del primer soplo, el caucho cede con facilidad: cada soplo mete más aire y el volumen crece, con una presión adentro que casi no cambia (hasta baja un poco). Pero el caucho no se estira sin fin. Cuando ya está muy estirado, se pone duro y casi no cede: el volumen crece muy poco, y entonces cada soplo hace subir la presión, porque hay más partículas chocando contra casi la misma pared. Cuando el caucho ya no aguanta más, la bomba revienta. Lo mismo puede pasar si se aprieta mucho una bomba ya inflada (menos volumen, más presión) o si se deja al sol (más temperatura, más presión).
Un balón rígido con aire a 1,2 atm (dato inventado), a temperatura fija: la presión es proporcional a la cantidad de gas. Con el doble de aire llega a 2,4 atm, y con el triple, a 3,6 atm.
Ejemplo resuelto
Más aire en un balón
Un balón tiene aire a 1,2 atm. Con una bomba se le mete aire hasta tener el doble de la cantidad inicial, sin que cambien su volumen ni su temperatura (datos inventados). ¿Qué presión tiene?
Ver la solución paso a paso
A volumen y temperatura fijos, la presión es proporcional a la cantidad de gas, así que $P/n$ no cambia. Contamos la cantidad inicial como 1 y la final como 2: $\frac{1{,}2}{1} = \frac{P}{2}$
Multiplicamos por 2: $P = 2 \cdot 1{,}2$
La presión final, en atm: $P = 2{,}4$
Respuesta: La presión se duplica: el aire queda a 2,4 atm.
Práctica
Un gas ocupa 10 L a 2 atm y 27 °C. Se comprime hasta 5 L y se calienta hasta 87 °C. ¿Qué presión tiene, en atm?
Ley combinada en kelvin: P₂ = 2 · 10 · 360 / (300 · 5) = 4,8 atm.
Un gas ocupa 3 L a 1 atm y 27 °C. Si pasa a 2 atm y 127 °C, ¿qué volumen ocupa, en litros?
V₂ = P₁V₁T₂/(T₁P₂) = 1 · 3 · 400 / (300 · 2) = 2 L.
Un gas ocupa 6 L a 1 atm y 27 °C. ¿A qué temperatura, en kelvin, ocupará 4 L a 2 atm?
T₂ = P₂V₂T₁/(P₁V₁) = 2 · 4 · 300 / (1 · 6) = 400 K, que son 127 °C.
¿Verdadero o falso? Un gas ocupa 2 L a 1 atm y 20 °C. Si se calienta hasta 40 °C y su presión sube a 2 atm, sigue ocupando 2 L.
Con grados Celsius parecería que el doble de temperatura compensa el doble de presión, pero en kelvin la temperatura pasa de 293 K a 313 K. El volumen queda en poco más de 1 L.
La presión de un gas baja a la mitad y su temperatura en kelvin se duplica, sin cambiar la cantidad de gas. ¿Por cuánto se multiplica su volumen?
Bajar la presión a la mitad duplica el volumen, y duplicar la temperatura en kelvin lo duplica otra vez: 2 · 2 = 4.
¿Verdadero o falso? Si la presión de un gas se duplica y su temperatura en kelvin también se duplica, sin cambiar la cantidad de gas, su volumen no cambia.
El doble de presión divide el volumen entre 2 y el doble de temperatura en kelvin lo multiplica por 2: los dos efectos se compensan.
En un tanque rígido se duplica la cantidad de gas sin cambiar la temperatura. ¿Por cuánto se multiplica la presión?
A volumen y temperatura fijos, la presión es proporcional a la cantidad de gas: el doble de partículas da el doble de choques contra cada parte de la pared.
Una bomba tiene 1,5 L de aire. Sin que cambien la presión ni la temperatura, se le sopla hasta tener el triple de la cantidad de aire. ¿Qué volumen ocupa, en litros?
A presión y temperatura fijas, el volumen es proporcional a la cantidad de gas: 1,5 · 3 = 4,5 L.
Un tanque rígido tiene aire a 0,8 atm (dato inventado). Se le bombea aire hasta tener 1,5 veces la cantidad inicial, sin cambiar la temperatura. ¿Qué presión tiene, en atm?
La presión es proporcional a la cantidad de gas: 0,8 · 1,5 = 1,2 atm.
Cuando una bomba ya está muy inflada, ¿por qué un soplo más puede hacerla reventar?
Mientras el caucho cede, más aire da más volumen. Cuando ya no cede, el volumen queda casi fijo y la presión crece con la cantidad de gas: más partículas chocando contra la misma pared.
Se sigue inflando una bomba que ya pasó el primer soplo, el más difícil, y ahora se estira con facilidad. ¿Qué relación entre las variables explica que crezca?
Lo que cambia al soplar es la cantidad de aire. Mientras la bomba cede fácil, la presión adentro casi no cambia, y el volumen crece en proporción a la cantidad de gas.
Reto
¿La presión del gas sube o baja?
Lleva cada situación a su canasta. Piensa qué variable cambia y cuáles se quedan fijas.
Reto
Abre el candado de la ley combinada.
Cada respuesta es una cifra del código. Pasa las temperaturas a kelvin y piensa qué se mantiene fijo.
Cierre
En resumen
Ley combinada: si la cantidad de gas no cambia, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂, con la temperatura en kelvin.
Las leyes de Boyle-Mariotte, de Charles y de Gay-Lussac son casos de la ley combinada en los que una variable se mantiene fija.
A volumen y temperatura fijos, la presión es proporcional a la cantidad de gas; a presión y temperatura fijas, el volumen es proporcional a la cantidad de gas.
El primer soplo de una bomba es el que más cuesta; después crece mientras el caucho cede, y cuando el caucho ya casi no cede, más aire sube la presión hasta que revienta.
Vocabulario
- Ley combinada
Si la cantidad de gas no cambia, el cociente P·V/T se mantiene constante, con la temperatura en kelvin.
- Ecuación de estado
Relación entre las cuatro variables de un gas ideal; en este curso se usa como proporciones, por ejemplo, a volumen y temperatura fijos la presión es proporcional a la cantidad de gas.
- Cantidad de gas
Medida de cuántas partículas tiene una muestra de gas; se representa con la letra n.
- Estado de un gas
Los valores de presión, volumen, temperatura y cantidad que tiene una muestra de gas en un momento dado.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Infle usted una bomba de fiesta en tres soplos, mostrando cómo crece y haciendo notar que el primer soplo es el que más cuesta. Pregunte qué pasaría si siguiera soplando y por qué, sin reventarla en el salón si hay estudiantes sensibles al ruido.
- Explicación · 20 min — La ley combinada como resumen de las tres leyes, con la tabla de dos estados. Resuelva en el tablero los ejemplos de comprimir y calentar y del globo que sube; después, la cantidad de gas con el balón y la bomba.
- Práctica · 20 min — Preguntas y retos en parejas. Pida que cada problema empiece con la tabla de los dos estados y las temperaturas en kelvin.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica en tres frases, con las relaciones entre variables, cómo se infla y por qué explota una bomba.
Preguntas para el salón
- Si en la ley combinada la temperatura no cambia, ¿qué ley queda? ¿Y si no cambia la presión?
- ¿Por qué un balón se pone más duro con cada bombazo, pero casi no crece?
- Un balón inflado en la mañana parece más duro al mediodía. ¿Qué variables cambiaron y cuáles no?
Errores típicos
- Usar grados Celsius en la ley combinada. Retome la pregunta de verdadero o falso: con grados Celsius el doble de temperatura parece compensar el doble de presión, y en kelvin no.
- Aplicar la ley combinada cuando cambia la cantidad de gas. Pida que revisen primero si entra o sale gas; si es así, hay que usar las proporciones con n.
- Pensar que al meter más aire siempre crece el volumen. Compare la bomba de fiesta, que cede, con el balón, que casi no crece: en uno sube el volumen y en el otro la presión.
Tarea sugerida
Un gas ocupa 5 L a 1 atm y 27 °C. Calcular su presión si pasa a 2 L y 87 °C, y su volumen si, a la presión y la temperatura iniciales, se le agrega gas hasta tener el doble. Explicar con partículas cada resultado.