Marco de referencia y trayectoria
Lo que vas a aprender
- Decir el marco de referencia (cuerpo de referencia, origen, sentido positivo, unidad y reloj) con el que se describe un movimiento en línea recta.
- Distinguir trayectoria, posición, desplazamiento y distancia recorrida.
- Calcular desplazamientos a partir de una tabla de posiciones con Δx = x final − x inicial.
- Calcular la distancia recorrida en un recorrido de ida y vuelta, y comparar la descripción de dos observadores.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Piensa en un pasajero que se queda dormido en un bus intermunicipal. ¿Se está moviendo? La señora que va sentada a su lado diría que no: lleva una hora viéndolo en el mismo puesto. Un niño que mira pasar el bus desde la orilla de la carretera diría que sí, y muy rápido. Los dos tienen razón, porque cada uno mide el movimiento desde un lugar distinto.
En física no basta con decir «se mueve» o «está quieto». Hay que decir respecto a qué. Esa es la idea de marco de referencia, y es el punto de partida de todo lo que vas a estudiar sobre el movimiento: sin él, las posiciones, las velocidades y las gráficas no significan nada.
En esta lección aprenderás a elegir un marco de referencia, a ubicar un cuerpo con un número sobre una recta y a separar dos ideas que en la vida diaria se confunden: cuánto camino hizo un cuerpo y qué tan lejos quedó de donde empezó. Los lugares, las distancias y los tiempos de los ejemplos son inventados para practicar.
Antes de empezar repasa cómo se ubican los números negativos en la recta numérica y cómo se resta un número negativo.
Explicación
Moverse siempre es moverse respecto a algo
Un cuerpo está en movimiento cuando cambia de posición respecto a otro cuerpo que tomamos como referencia, y está en reposo cuando su posición respecto a ese cuerpo no cambia. El pasajero dormido está en reposo respecto al bus y en movimiento respecto a la carretera. No hay contradicción: son dos descripciones del mismo hecho, hechas desde dos cuerpos de referencia distintos.
El marco de referencia
Para describir un movimiento con números hay que elegir y decir un marco de referencia. En una recta, eso es:
- un cuerpo de referencia, el que se considera quieto (el suelo, el bus, la orilla);
- un origen, el punto que llamamos cero;
- un sentido positivo, por ejemplo hacia el oriente o hacia arriba;
- una unidad de longitud, casi siempre el metro;
- un reloj, que dice cuál es el instante cero desde el que se cuenta el tiempo.
En este curso los cuerpos de referencia están quietos respecto al suelo o avanzan en línea recta sin acelerar ni frenar. Los físicos llaman inerciales a esos marcos.
La trayectoria
La trayectoria es la línea que va dibujando el cuerpo al moverse: la huella de un caracol en una pared, la estela de un avión. Puede ser recta o curva, y también depende del marco. Si un pasajero suelta las llaves dentro de un bus que avanza en línea recta sin frenar, él las ve caer en línea recta hacia el piso; para alguien que mira desde el andén, las llaves avanzan con el bus mientras caen, y dibujan una curva. En esta unidad todas las trayectorias son rectas: por eso basta con un solo número para decir dónde está el cuerpo.
La posición
Sobre la recta, la posición $x$ es un número con signo: positivo si el cuerpo está del lado positivo del origen, negativo si está del otro lado. «La casa está en $-300$ m» quiere decir que está a 300 m del origen, del lado negativo. La posición sola no dice nada si no se sabe dónde está el origen ni cuál es el sentido positivo.
El sendero de la vereda visto como una recta. El cuerpo de referencia es el suelo, el origen es la escuela, el sentido positivo es hacia el oriente y la unidad es el metro. La casa de Tomás queda en −300 m, el puente en 200 m y la tienda en 500 m.
El desplazamiento
El desplazamiento es el cambio de posición entre dos instantes:
$$\Delta x = x_{\text{final}} - x_{\text{inicial}}$$
La letra griega $\Delta$ (delta) se lee «cambio de». Siempre se resta final menos inicial, en ese orden. El signo del resultado dice hacia dónde terminó el cuerpo: si sale positivo, terminó del lado positivo de donde empezó; si sale negativo, del lado negativo; y si sale cero, terminó en el mismo sitio. El desplazamiento no mira el camino: solo le importan el punto de partida y el de llegada.
La distancia recorrida
La distancia recorrida sí mira el camino. Se parte el recorrido en tramos en los que el cuerpo no cambia de sentido, se mide cada tramo sin signo y se suman. Por eso la distancia nunca es negativa. Si el cuerpo avanza siempre hacia el mismo lado, la distancia y el tamaño del desplazamiento coinciden; si se devuelve, la distancia es mayor.
Para hallar los tramos necesitas saber dónde cambió de sentido el cuerpo. Una tabla de posiciones no siempre lo dice: entre dos registros el cuerpo pudo haber ido y vuelto. Por eso, en los problemas, el enunciado te dirá dónde se devolvió.
Esta es la tabla del paseo en bicicleta de Tomás por el sendero de la figura, con el reloj en cero cuando sale de su casa. Tomás solo cambia de sentido una vez, en la tienda.
| Instante t (s) | 0 | 60 | 120 | 180 | 240 |
|---|---|---|---|---|---|
| Posición x (m) | −300 | 0 | 300 | 500 | 200 |
Ejemplo resuelto
El paseo de Tomás
Con la tabla del paseo de Tomás, halla su desplazamiento entre el primer registro y el tercero, su desplazamiento en todo el paseo y la distancia que recorrió.
Ver la solución paso a paso
Entre el primer registro (en $-300$ m) y el tercero (en $300$ m), el desplazamiento es final menos inicial:
$$300 - \left(-300\right)$$
Da $600$ m. Restar un negativo es sumar: Tomás avanzó 600 m hacia el oriente.
En todo el paseo sale de $-300$ m y termina en el puente, en $200$ m:
$$200 - \left(-300\right)$$
Su desplazamiento total es de $500$ m, hacia el oriente.
Para la distancia partimos el paseo donde cambia de sentido, en la tienda: de la casa a la tienda, y de la tienda al puente. Cada tramo se mide sin signo:
$$\left|500 - \left(-300\right)\right| + \left|200 - 500\right|$$
El primer tramo mide 800 m y el segundo 300 m:
$$800 + 300$$
En total pedaleó $1100$ m.
La distancia es mayor que el desplazamiento porque Tomás se devolvió un trecho:
$$1100 > 500$$
Respuesta: Entre el primer y el tercer registro se desplazó 600 m; en todo el paseo se desplazó 500 m hacia el oriente y recorrió 1100 m.
Ejemplo resuelto
Ir y volver
Lucía lleva el almuerzo desde su casa hasta el cultivo de su papá, 450 m al oriente por un camino recto, y regresa a su casa por el mismo camino. Con el origen en su casa y el oriente como sentido positivo, halla su desplazamiento y la distancia que recorrió.
Ver la solución paso a paso
Sale de la posición 0 m, llega a 450 m y vuelve a 0 m. El desplazamiento compara solo el final con el inicio:
$$0 - 0$$
Da $0$ m: Lucía terminó exactamente donde empezó.
La distancia suma la ida y la vuelta, cada una sin signo:
$$\left|450 - 0\right| + \left|0 - 450\right|$$
Recorrió $900$ m.
Respuesta: Su desplazamiento es 0 m y la distancia recorrida es 900 m: caminó bastante, pero quedó en el mismo sitio.
Dos observadores, un mismo movimiento
Imagina que la mamá de Tomás describe el paseo con el origen en su casa, y que Daniela, una amiga de Tomás que atiende la tienda, lo describe con el origen en la tienda y el occidente como sentido positivo. Las tres descripciones (la de la escuela, la de la mamá y la de Daniela) son correctas, pero no dan los mismos números.
- Si cambia el origen, todas las posiciones se corren la misma cantidad. Al restar final menos inicial, esa cantidad se cancela: el desplazamiento no cambia.
- Si cambia el sentido positivo, cada posición cambia de signo, y el desplazamiento también. Su tamaño es el mismo; solo cambia la palabra que lo traduce: «hacia el oriente» sigue siendo hacia el oriente, aunque ahora se escriba con un signo menos.
- La distancia recorrida no cambia con ninguno de los dos cambios, porque el camino es el mismo.
Por eso, antes de dar un número, se dice el marco: «500 m hacia el oriente» se entiende en cualquier marco, mientras que «−500 m» suelto no dice nada.
Ejemplo resuelto
El paseo desde la tienda
Daniela pone el origen en la tienda y toma el occidente como sentido positivo. Para ella, la posición de un punto es 500 m menos la posición que le da la escuela. Halla dónde empieza y dónde termina Tomás para Daniela, y su desplazamiento en ese marco.
Ver la solución paso a paso
La casa, que para la escuela está en $-300$ m, para Daniela está en
$$500 - \left(-300\right)$$
$800$ m: 800 m al occidente de la tienda.
El puente, que para la escuela está en $200$ m, para Daniela está en
$$500 - 200$$
$300$ m.
El desplazamiento en el marco de Daniela es final menos inicial:
$$300 - 800$$
Da $-500$ m. El tamaño es el mismo que antes, 500 m; el signo cambió porque para Daniela el oriente es negativo. Las dos descripciones dicen lo mismo: Tomás terminó 500 m al oriente de su casa.
Respuesta: Para Daniela, Tomás sale de 800 m, termina en 300 m y su desplazamiento es −500 m, que también son 500 m hacia el oriente.
Práctica
Un perro está en la posición 12 m de un andén recto y, poco después, en la posición −5 m. ¿Cuál fue su desplazamiento, en metros?
Δx = x final − x inicial = −5 − 12 = −17 m: el perro terminó 17 m del lado negativo. El 17 sale de restar al revés, y el 7 de sumar las posiciones.
Una vendedora de tinto camina por un pasillo recto del mercado. Sale de la posición 10 m, llega hasta la posición 40 m y se devuelve hasta la posición −5 m. ¿Qué distancia recorrió, en metros?
Son dos tramos sin cambio de sentido: de 10 m a 40 m mide 30 m, y de 40 m a −5 m mide 45 m. La distancia es 30 + 45 = 75 m.
Para la misma vendedora, que sale de la posición 10 m, llega a la posición 40 m y termina en la posición −5 m, ¿cuál fue su desplazamiento, en metros?
El desplazamiento solo mira el inicio y el final: −5 − 10 = −15 m. El 75 es la distancia recorrida, y el −45 es solo el desplazamiento del segundo tramo.
Un balón rueda por un corredor recto. En los instantes 0, 1, 2, 3, 4 y 5 s está en las posiciones 2, 6, 4, 4, −1 y 3 m. Cada opción es el desplazamiento de un segundo al siguiente. Marca todos los tramos en que el balón se desplazó en el sentido negativo.
Marca todas las que apliquen.
Desplazarse en el sentido negativo es tener Δx negativo: 4 − 6 = −2 y −1 − 4 = −5. Entre los instantes 2 y 3 s el desplazamiento es 0, porque el balón estaba en la misma posición.
Un arquero sale de la línea de gol, corre 9 m hacia adelante en línea recta y regresa a la línea. ¿Verdadero o falso? Su desplazamiento es de 0 m y la distancia que recorrió es de 18 m.
Sale de 0 m (la línea de gol) y vuelve a 0 m: Δx = 0 − 0 = 0 m. La distancia suma la ida y la vuelta: 9 + 9 = 18 m.
Una lancha avanza por un canal recto y pasa de la posición −250 m a la posición −40 m. ¿Cuál fue su desplazamiento, en metros?
Δx = −40 − (−250) = −40 + 250 = 210 m. Aunque las dos posiciones son negativas, la lancha se movió 210 m en el sentido positivo.
Un ascensor sube desde el primer piso, que está a 0 m, hasta una altura de 18 m; luego baja hasta 6 m y vuelve a subir hasta 12 m. Con el origen en el primer piso y hacia arriba como sentido positivo, ¿qué distancia recorrió, en metros?
Son tres tramos: 18 m de subida, 12 m de bajada y 6 m de subida, que suman 36 m. El 12 es el desplazamiento (de 0 m a 12 m), no la distancia.
Ana mide desde la puerta de un pasillo y ve una pelota rodar de la posición 2 m a la posición 10 m. Beto pone su origen en la ventana, 6 m más adentro, con el mismo sentido positivo, así que para él cada posición es 6 m menor. ¿Verdadero o falso? Para Beto, el desplazamiento de la pelota también es de 8 m.
Para Beto la pelota va de 2 − 6 = −4 m a 10 − 6 = 4 m, y su desplazamiento es 4 − (−4) = 8 m, el mismo que mide Ana. Cambiar el origen cambia las posiciones, no el desplazamiento.
Un carro de mercado se movió 30 m hacia el oriente por una calle recta. Si se toma el occidente como sentido positivo, ¿cuál es su desplazamiento, en metros?
Con el occidente como positivo, moverse hacia el oriente es moverse en el sentido negativo: Δx = −30 m. Sigue siendo el mismo movimiento de 30 m hacia el oriente; solo cambió el signo con que se escribe.
Juliana va sentada en un bus que avanza por una avenida recta, y su hermano la mira pasar desde el andén. ¿Qué descripción es correcta?
Reposo y movimiento dependen del cuerpo de referencia. Respecto al bus, la posición de Juliana no cambia; respecto al andén, sí. Ninguno de los dos marcos es «el verdadero».
Reto
Une cada idea con lo que significa o cada cuenta con su resultado.
Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Reto
Abre el candado del recorrido.
Cada pista da un dígito de la clave. Resuelve las cuatro y abre el candado.
Cierre
En resumen
Un cuerpo se mueve o está en reposo siempre respecto a un cuerpo de referencia; por eso hay que decir el marco.
El marco de referencia en una recta tiene cuerpo de referencia, origen, sentido positivo, unidad y reloj.
La trayectoria es la línea que dibuja el cuerpo, y puede ser distinta para dos observadores.
El desplazamiento es Δx = x final − x inicial y su signo dice el sentido; la distancia recorrida suma los tramos sin signo y nunca es negativa.
Cambiar el origen cambia las posiciones pero no el desplazamiento; cambiar el sentido positivo le cambia el signo.
Vocabulario
- Marco de referencia
El cuerpo que se toma como quieto, con un origen, un sentido positivo, una unidad de longitud y un reloj, desde el que se describe un movimiento.
- Trayectoria
La línea que va dibujando un cuerpo al moverse. Puede ser recta o curva, y depende del marco de referencia.
- Posición
El número con signo que dice dónde está un cuerpo sobre una recta, medido desde el origen.
- Desplazamiento
El cambio de posición entre dos instantes, Δx = x final − x inicial. Su signo dice hacia qué lado terminó el cuerpo.
- Distancia recorrida
La longitud de todo el camino, sumando cada tramo sin signo. Nunca es negativa.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte si una persona dormida en un bus se está moviendo, y deje que el grupo se divida entre el sí y el no antes de explicar.
- Explicación · 15 min — Marco de referencia y trayectoria; la recta del sendero dibujada en el tablero o con cinta en el piso; la tabla de Tomás y los dos primeros ejemplos.
- Práctica · 20 min — El ejemplo de Daniela en grupo; luego preguntas en parejas. El dominó y el candado se pueden proyectar y resolver con todo el salón.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante describa un movimiento cotidiano desde dos observadores y diga qué cambia y qué no.
Preguntas para el salón
- ¿Puede un cuerpo estar en reposo y en movimiento al mismo tiempo? ¿Qué hace falta decir para que no sea una contradicción?
- ¿Por qué una tabla de posiciones no siempre basta para calcular la distancia recorrida?
- Si cambio el origen pero no el sentido positivo, ¿qué números cambian y cuáles no?
Errores típicos
- Restar posición inicial menos posición final. Pida que lean Δx como «a dónde llegó menos de dónde salió» y que comprueben el signo con el dibujo de la recta.
- Sumar los tramos con su signo para hallar la distancia. Que dibujen cada tramo como una flecha y midan la longitud de cada flecha, sin importar hacia dónde apunte.
- Creer que hay un marco «correcto», casi siempre el suelo. Use el ejemplo de las llaves que caen dentro del bus: el pasajero y el observador del andén describen bien trayectorias distintas.
- Confundir la posición con el desplazamiento cuando el cuerpo no parte del origen. Proponga un caso que empiece en una posición distinta de cero, como la lancha del canal, y compare los dos números.
Tarea sugerida
Describir el camino de la casa al colegio como si fuera una recta: elegir y escribir el marco de referencia, ubicar tres lugares con su posición, y calcular el desplazamiento y la distancia de un viaje de ida y de uno de ida y vuelta.