Rapidez y velocidad
Lo que vas a aprender
- Calcular la rapidez media de un recorrido como la distancia recorrida dividida entre el tiempo.
- Calcular la velocidad media como el desplazamiento dividido entre el tiempo, y decir qué significa su signo.
- Explicar por qué la rapidez media y la velocidad media de un recorrido pueden no coincidir.
- Hallar la distancia o el tiempo de un recorrido a partir de su rapidez media.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Dos primos salen del parque del pueblo hacia la finca de la abuela. Uno va por la carretera, que es larga pero plana; el otro, por un atajo corto y empinado. Llegan al mismo tiempo. ¿Cuál de los dos fue más rápido? Para contestar no basta con mirar el reloj: también importa cuánto camino hizo cada uno.
La rapidez compara el camino con el tiempo. Pero a veces importa algo más que «qué tan rápido»: importa hacia dónde. Un domiciliario que da vueltas muy rápido sin acercarse a la casa del cliente no le sirve a nadie. Esa segunda idea es la velocidad, y en esta lección vas a aprender a calcular las dos y a no confundirlas.
Todos los recorridos, tiempos y rapideces de esta lección son inventados para practicar; no son medidas de vehículos ni de animales reales.
Antes de empezar recuerda la diferencia entre distancia recorrida y desplazamiento, y cómo se divide con números decimales.
Explicación
La rapidez media
La rapidez media de un recorrido es la distancia recorrida dividida entre el tiempo que tomó:
$$\text{rapidez media} = \frac{d}{\Delta t}$$
Si la distancia está en metros y el tiempo en segundos, la rapidez queda en metros por segundo (m/s): cuántos metros recorre el cuerpo en cada segundo, en promedio. Si la distancia está en kilómetros y el tiempo en horas, queda en kilómetros por hora (km/h). En cada problema se trabaja con las unidades del enunciado, sin mezclarlas: no se dividen metros entre horas.
Se llama media porque durante el recorrido el cuerpo pudo ir a veces más rápido y a veces más despacio, o incluso detenerse. La rapidez media es la rapidez constante con la que habría hecho el mismo recorrido en el mismo tiempo. La que marca el velocímetro de una moto es otra cosa: la rapidez instantánea, la de cada momento. Como la distancia y el tiempo nunca son negativos, la rapidez media tampoco lo es.
La velocidad media
La velocidad media usa el desplazamiento en lugar de la distancia:
$$v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{\text{final}} - x_{\text{inicial}}}{\Delta t}$$
Tiene el mismo signo que el desplazamiento. Si es positiva, en conjunto el cuerpo avanzó hacia el lado que el marco de referencia llama positivo; si es negativa, hacia el otro lado. Por eso la velocidad responde dos preguntas a la vez: qué tan rápido cambió la posición y hacia dónde. La rapidez solo responde la primera.
Ejemplo resuelto
El mensajero que va hacia el occidente
Un mensajero en bicicleta recorre 1200 m por una calle recta hacia el occidente, sin devolverse, en 300 s. El cuerpo de referencia es la calle y el oriente es el sentido positivo. Halla su rapidez media y su velocidad media.
Ver la solución paso a paso
La rapidez media divide la distancia recorrida entre el tiempo:
$$\frac{1200}{300}$$
Da $4$ m/s: en promedio, el mensajero recorre 4 m en cada segundo.
Para la velocidad media hace falta el desplazamiento. Como va hacia el occidente, que es el sentido negativo, y no se devuelve, su desplazamiento es de $-1200$ m:
$$-\frac{1200}{300}$$
La velocidad media es $-4$ m/s. El número 4 dice qué tan rápido va; el signo menos dice que va hacia el occidente.
Respuesta: Su rapidez media es 4 m/s y su velocidad media es −4 m/s: 4 m/s hacia el occidente.
Cuándo no coinciden
En el ejemplo del mensajero, la rapidez media y la velocidad media tienen el mismo tamaño y solo se diferencian en el signo. Eso pasa siempre que el cuerpo avanza en un solo sentido, porque entonces la distancia recorrida es igual al tamaño del desplazamiento.
Cuando el cuerpo se devuelve, la distancia crece pero el desplazamiento no, y las dos medidas se separan. El caso extremo es un recorrido de ida y vuelta: la rapidez media puede ser grande, pero la velocidad media es cero, porque el cuerpo terminó donde empezó. Que la velocidad media sea cero no quiere decir que el cuerpo estuvo quieto.
Es el caso de los dos primos del comienzo: salieron del mismo parque y llegaron a la misma finca en el mismo tiempo, así que tuvieron la misma velocidad media. El de la carretera hizo más camino en ese tiempo, así que tuvo mayor rapidez media.
Ejemplo resuelto
Dos largos, ida y vuelta
Sara nada dos largos, ida y vuelta, en una piscina de 25 m y vuelve a la pared de donde salió en 40 s. Con el origen en esa pared, halla su rapidez media y su velocidad media.
Ver la solución paso a paso
La distancia es la ida más la vuelta. La rapidez media es esa distancia entre el tiempo:
$$\frac{25 + 25}{40}$$
Da $1{,}25$ m/s.
El desplazamiento es cero, porque Sara sale de la posición 0 m y termina en la posición 0 m. La velocidad media es
$$\frac{0 - 0}{40}$$
$0$ m/s, aunque Sara nadó todo el tiempo.
Respuesta: Su rapidez media es 1,25 m/s y su velocidad media es 0 m/s.
Cuidado con el promedio de las rapideces
Si un recorrido tiene dos tramos con rapideces distintas, es tentador sumar las dos rapideces y dividir entre dos. Ese promedio casi nunca es la rapidez media, porque los tramos suelen durar tiempos distintos y, si los tramos miden lo mismo, el más lento dura más. La regla segura es siempre la misma: distancia total entre tiempo total.
Hay un solo caso en que el promedio sí funciona: cuando los dos tramos duran lo mismo. Si no estás seguro de que sea así, no lo uses; calcula cuánto dura cada tramo, suma las distancias, suma los tiempos y divide.
Ejemplo resuelto
Trotar y luego caminar
Camilo trota 1200 m en 400 s y luego camina 600 m en 500 s, siempre hacia adelante por un camino recto. Halla su rapidez media en todo el recorrido.
Ver la solución paso a paso
Sumamos las distancias de los dos tramos y las dividimos entre la suma de los tiempos:
$$\frac{1200 + 600}{400 + 500}$$
Son 1800 m en 900 s:
$$\frac{1800}{900}$$
La rapidez media es $2$ m/s.
Trotando iba a 3 m/s y caminando a 1,2 m/s. El promedio de esas dos rapideces es mayor que 2 m/s, porque no tiene en cuenta que Camilo pasó más tiempo caminando:
$$\frac{\frac{1200}{400} + \frac{600}{500}}{2} > 2$$
Respuesta: Su rapidez media es 2 m/s, no el promedio de 3 m/s y 1,2 m/s.
Usar la rapidez para predecir
La misma relación sirve al revés. Si conoces la rapidez media y el tiempo, la distancia es $d = \text{rapidez media} \cdot \Delta t$. Si conoces la distancia y la rapidez media, el tiempo sale de despejar $\Delta t$ en la ecuación. Es una ecuación de primer grado, como las que resuelves en matemáticas.
Ejemplo resuelto
¿Cuánto dura el viaje?
Una familia viaja en carro 90 km por una carretera, con una rapidez media de 60 km/h. ¿Cuántas horas dura el viaje?
Ver la solución paso a paso
Llamamos $t$ al tiempo, en horas. La rapidez media es la distancia entre el tiempo:
$$\frac{90}{t} = 60$$
Multiplicamos los dos lados por $t$:
$$90 = 60t$$
Dividimos entre 60:
$$t = \frac{90}{60}$$
El viaje dura
$$t = 1{,}5$$
Como cada hora tiene 60 minutos, son $1{,}5 \cdot 60$ minutos.
Respuesta: El viaje dura 1,5 h, es decir, 90 minutos.
Práctica
Una ciclista recorre 1800 m de una ciclovía recta en 360 s. ¿Cuál es su rapidez media, en m/s?
Rapidez media = distancia ÷ tiempo = 1800 ÷ 360 = 5 m/s.
Un patinador avanza 96 m hacia el occidente en 12 s, sin devolverse. Si el oriente es el sentido positivo, ¿cuál es su velocidad media, en m/s?
El desplazamiento es −96 m, porque va hacia el occidente: −96 ÷ 12 = −8 m/s. El 8 sería su rapidez media, y 1/8 sale de dividir el tiempo entre la distancia.
Un perro corre 30 m en línea recta hasta un árbol y regresa 30 m al punto de partida. Todo le toma 20 s. ¿Cuál es su rapidez media, en m/s?
La rapidez media usa la distancia: 30 + 30 = 60 m en 20 s, que da 3 m/s. El 0 es la velocidad media, y el 3/2 sale de olvidar el regreso.
Para el mismo perro, que corre 30 m hasta el árbol y regresa 30 m al punto de partida en 20 s: ¿verdadero o falso? Su velocidad media es de 0 m/s.
Terminó donde empezó: su desplazamiento es 0 m, y 0 ÷ 20 = 0 m/s. Corrió todo el tiempo, pero en conjunto no se alejó del punto de partida.
Un carrito de juguete avanza en línea recta con rapidez media de 0,2 m/s durante 45 s. ¿Qué distancia recorre, en metros?
Distancia = rapidez media · tiempo = 0,2 · 45 = 9 m.
Un camión de leche recorre 150 km con una rapidez media de 50 km/h. ¿Cuántas horas tarda?
150 ÷ t = 50, así que t = 150 ÷ 50 = 3 h. El 7500 sale de multiplicar, el 1/3 de dividir al revés y el 100 de restar.
Un tren de juguete recorre 6 m en 2 s y luego otros 6 m en 4 s, sin devolverse. ¿Verdadero o falso? Su rapidez media en todo el recorrido es de 2 m/s.
Son 12 m en 6 s: 12 ÷ 6 = 2 m/s. Las rapideces de los tramos son 3 m/s y 1,5 m/s, y su promedio, 2,25 m/s, no es la rapidez media porque el segundo tramo dura el doble.
Cada opción es la distancia recorrida, en metros, dividida entre el tiempo, en segundos, de un recorrido distinto. Marca todos los recorridos con rapidez media mayor que 1 m/s.
Marca todas las que apliquen.
50 ÷ 40 = 1,25 y 120 ÷ 100 = 1,2 son mayores que 1. En los otros tres la distancia es menor que el tiempo, así que el cociente es menor que 1.
Una patinadora va a 5 m/s y un ciclista va a 15 km/h. Un kilómetro tiene 1000 m y una hora tiene 3600 s. ¿Verdadero o falso? El ciclista va más rápido que la patinadora.
Para comparar hay que usar la misma unidad: 15 km/h son 15 · 1000 m ÷ 3600 s, unos 4,17 m/s, que es menos que 5 m/s. El número 15 es mayor, pero está en otra unidad.
¿En cuál de estas situaciones la rapidez media es mayor que el tamaño de la velocidad media?
Solo la atleta vuelve al punto de partida: su desplazamiento es cero, y su velocidad media también, aunque su rapidez media no lo sea. En los otros casos el cuerpo avanza en un solo sentido, y la distancia es igual al tamaño del desplazamiento.
Reto
Lleva cada velocidad media a su canasta.
Cada ficha es desplazamiento ÷ tiempo, en m/s, con el oriente como sentido positivo. Calcula el resultado y llévala a donde corresponde.
Reto
Completa la carrera de ida y vuelta.
Elige en cada espacio el valor correcto. Piensa primero si la cuenta usa la distancia o el desplazamiento.
Cierre
En resumen
La rapidez media es la distancia recorrida entre el tiempo; nunca es negativa.
La velocidad media es el desplazamiento entre el tiempo; su signo dice hacia qué lado del marco avanzó el cuerpo.
Si el cuerpo no se devuelve, las dos tienen el mismo tamaño; si se devuelve, la rapidez media es mayor, y en una ida y vuelta la velocidad media es cero.
La rapidez media de un recorrido por tramos es la distancia total entre el tiempo total, no el promedio de las rapideces.
Con la rapidez media se puede predecir la distancia (rapidez · tiempo) o el tiempo (despejando en la ecuación).
Vocabulario
- Rapidez media
La distancia recorrida dividida entre el tiempo que tomó recorrerla. Nunca es negativa.
- Velocidad media
El desplazamiento dividido entre el tiempo. Tiene signo: dice qué tan rápido cambió la posición y hacia qué lado.
- Rapidez instantánea
La rapidez en un instante dado, la que marca el velocímetro de un vehículo.
- Metro por segundo
La unidad de rapidez y de velocidad del Sistema Internacional, m/s: cuántos metros se recorren en cada segundo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el problema de los dos primos que llegan a la vez por caminos de distinta longitud y pregunte qué dato falta para saber quién fue más rápido.
- Explicación · 15 min — Rapidez media y velocidad media con el ejemplo del mensajero; la piscina para mostrar una velocidad media cero; el caso de Camilo contra el promedio de rapideces.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; las canastas y los huecos se pueden resolver en grupo en el tablero.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante invente un recorrido con velocidad media cero y rapidez media distinta de cero.
Preguntas para el salón
- ¿Puede la velocidad media ser negativa? ¿Y la rapidez media? ¿Por qué?
- Si la velocidad media de un viaje es cero, ¿el cuerpo estuvo quieto todo el tiempo?
- ¿En qué caso el promedio de las rapideces de dos tramos sí da la rapidez media?
Errores típicos
- Usar la distancia recorrida para calcular la velocidad media. Pida que escriban primero el desplazamiento con su signo, final menos inicial, y solo después dividan.
- Promediar las rapideces de los tramos. Con el ejemplo de Camilo, que calculen cuánto dura cada tramo y comparen el promedio con distancia total entre tiempo total.
- Comparar rapideces en unidades distintas, como m/s con km/h. Use la pregunta de la patinadora y el ciclista: antes de comparar, todo en la misma unidad.
- Dividir el tiempo entre la distancia. Recuerde que m/s se lee «metros por cada segundo»: la longitud va arriba y el tiempo abajo.
Tarea sugerida
Medir con un compañero el tiempo que tardan en recorrer el largo del patio caminando, y luego de ida y vuelta, y calcular en cada caso la rapidez media y la velocidad media con un marco de referencia escrito.