Gráficas del movimiento uniforme
Lo que vas a aprender
- Reconocer un movimiento rectilíneo uniforme en una tabla porque tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales.
- Dibujar e interpretar la gráfica posición–tiempo de un movimiento uniforme como una recta cuya pendiente es la velocidad.
- Calcular la velocidad como la pendiente de la gráfica posición–tiempo a partir de dos de sus puntos, y leer la posición en un instante.
- Construir la gráfica velocidad–tiempo de un movimiento uniforme como una recta horizontal.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una tabla con veinte posiciones y veinte tiempos es difícil de leer: hay que comparar los números uno por uno para saber si el cuerpo iba rápido o despacio, hacia dónde iba o si se detuvo. Una gráfica muestra todo eso de un vistazo. Con práctica, mirar la forma de una línea te dice cómo se movió un cuerpo, igual que mirar un mapa te dice por dónde va un camino.
En esta lección vas a estudiar el movimiento más sencillo que existe, el movimiento rectilíneo uniforme, y sus dos gráficas: la de posición contra tiempo y la de velocidad contra tiempo. Las personas, las posiciones y los tiempos de los ejemplos son inventados para practicar.
Antes de empezar recuerda cómo se ubica un punto $(a;\ b)$ en el plano cartesiano y cómo se calcula la pendiente de una recta que pasa por dos puntos.
Explicación
El movimiento rectilíneo uniforme
Un cuerpo tiene movimiento rectilíneo uniforme (MRU) cuando se mueve en línea recta con velocidad constante: no acelera, no frena y no cambia de sentido. En una tabla de posiciones tomadas a intervalos iguales, eso se nota porque los desplazamientos de cada intervalo son iguales.
Andrea va en patineta por una ciclovía recta. El cuerpo de referencia es el suelo, el origen es un poste de la luz y el sentido positivo es el de su avance. Esta es su tabla:
| Instante t (s) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Posición x (m) | 5 | 11 | 17 | 23 | 29 |
Ejemplo resuelto
¿Es un movimiento uniforme?
Con la tabla de Andrea, comprueba que su movimiento es uniforme y halla su velocidad y su posición inicial.
Ver la solución paso a paso
Calculamos el desplazamiento de cada intervalo de 2 s, final menos inicial:
$$11 - 5 = 6 \quad\text{y}\quad 17 - 11 = 6 \quad\text{y}\quad 23 - 17 = 6 \quad\text{y}\quad 29 - 23 = 6$$
Los cuatro desplazamientos valen 6 m: en tiempos iguales, desplazamientos iguales. La tabla es la de un MRU. Su velocidad es el desplazamiento de un intervalo dividido entre su duración:
$$\frac{6}{2}$$
Andrea va a $3$ m/s, en el sentido positivo.
La posición inicial es la del instante $t = 0$, que se lee en la tabla: $x_0 = 5$ m. Andrea no salió del origen sino 5 m más adelante. Desde ahí, cada segundo suma 3 m; a los 6 s, por ejemplo, está en
$$5 + 3 \cdot 6$$
$23$ m, como dice la tabla.
Respuesta: La tabla es la de un MRU, con velocidad de 3 m/s y posición inicial de 5 m.
La gráfica posición–tiempo
Lo que acabas de hacer con Andrea vale para cualquier MRU: la posición en cada instante es la posición inicial más lo que se avanzó, y lo que se avanzó es la velocidad por el tiempo.
$$x = x_0 + v\,t$$
Si dibujas esa relación con el tiempo en el eje horizontal y la posición en el vertical, obtienes una recta. Dos de sus rasgos se leen directamente:
- el corte con el eje vertical es la posición inicial $x_0$, porque ahí $t = 0$;
- la pendiente es la velocidad $v$, porque la pendiente es el cambio de posición dividido entre el cambio de tiempo, y eso es justamente $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$.
Para calcular la pendiente se escogen dos puntos cualesquiera de la recta, lo más alejados posible para leerlos mejor, y se divide el cambio vertical entre el cambio horizontal.
Gráfica posición–tiempo de Andrea, dibujada desde x = 5 + 3t. Es una recta que corta el eje vertical en 5 m (su posición inicial) y pasa por (2; 11) y (8; 29). Su pendiente, 3 m/s, es la velocidad.
Qué dice la forma de la recta
- Una recta más empinada es un cuerpo más rápido: en el mismo tiempo, su posición cambia más.
- Una recta que sube tiene pendiente positiva: el cuerpo avanza en el sentido positivo.
- Una recta que baja tiene pendiente negativa: el cuerpo avanza en el sentido negativo, con rapidez constante. Cuidado: bajar no es frenar. Un cuerpo que frena tendría una gráfica que se va acostando poco a poco, y eso ya no es una recta ni un MRU.
- Una recta horizontal tiene pendiente cero: la posición no cambia, y el cuerpo está en reposo respecto al marco de referencia.
La gráfica x–t no es un dibujo del camino. Que la recta baje no quiere decir que el cuerpo baje una loma: quiere decir que su posición disminuye con el tiempo. El camino de todos estos cuerpos es una línea recta; la gráfica dice dónde está el cuerpo cuándo.
Gráfica posición–tiempo de una moto, dibujada desde x = 60 − 6t. La recta baja: la moto avanza en el sentido negativo. Pasa por (0; 60), (5; 30) y (8; 12).
Ejemplo resuelto
Leer la gráfica de la moto
En la gráfica de la moto, la recta pasa por los puntos (0; 60) y (5; 30). Halla la velocidad de la moto y la posición que marca la gráfica en el instante 8 s.
Ver la solución paso a paso
La velocidad es la pendiente: cambio de posición entre cambio de tiempo, con los dos puntos en el mismo orden.
$$\frac{30 - 60}{5 - 0}$$
Da $-6$ m/s. Es negativa: la moto avanza 6 m en cada segundo, en el sentido negativo.
La recta corta el eje vertical en 60 m, así que la posición es $x = 60 - 6t$. En el instante 8 s:
$$60 - 6 \cdot 8$$
La gráfica marca $12$ m: es el punto (8; 12) de la figura.
Respuesta: La velocidad de la moto es −6 m/s, y en el instante 8 s está en la posición 12 m.
La gráfica velocidad–tiempo
En un MRU la velocidad no cambia. Si dibujas la velocidad en el eje vertical y el tiempo en el horizontal, obtienes una recta horizontal a la altura de la velocidad. Si el cuerpo va en el sentido positivo, la recta queda por encima del eje del tiempo; si va en el sentido negativo, por debajo; si está en reposo, coincide con el eje.
Las dos gráficas cuentan la misma historia de dos maneras: la pendiente de la gráfica x–t es la altura de la gráfica v–t.
Gráficas velocidad–tiempo de Andrea (v = 3 m/s, por encima del eje) y de la moto (v = −6 m/s, por debajo del eje). Las dos son rectas horizontales porque las velocidades no cambian. Pasan por (4; 3) y (4; −6).
Ejemplo resuelto
Un movimiento que no es uniforme
Un carrito baja por una rampa recta. En los instantes 0, 1, 2 y 3 s está en las posiciones 0, 4, 10 y 18 m. ¿Es un MRU?
Ver la solución paso a paso
Calculamos el desplazamiento de cada segundo:
$$4 - 0 = 4 \quad\text{y}\quad 10 - 4 = 6 \quad\text{y}\quad 18 - 10 = 8$$
Los desplazamientos son 4 m, 6 m y 8 m: en tiempos iguales, desplazamientos distintos. El carrito va cada vez más rápido, así que no es un MRU. Su gráfica x–t no sería una recta sino una curva, y ese movimiento lo estudiarás en la siguiente unidad. Su velocidad media en los 3 s sí se puede calcular.
La velocidad media es el desplazamiento entre el tiempo:
$$\frac{18 - 0}{3 - 0}$$
Da $6$ m/s, pero el carrito no fue a esa velocidad todo el tiempo.
Respuesta: No es un MRU: los desplazamientos de cada segundo son 4 m, 6 m y 8 m, distintos.
Práctica
La gráfica posición–tiempo de un carrito es una recta que pasa por t = 1 s, x = 7 m y por t = 5 s, x = 19 m. ¿Cuál es su velocidad, en m/s?
La velocidad es la pendiente: (19 − 7) ÷ (5 − 1) = 12 ÷ 4 = 3 m/s. El 12 es el cambio de posición sin dividir entre el tiempo, y 19/5 solo valdría si la recta pasara por el origen.
La gráfica posición–tiempo de un ciclista es una recta que pasa por t = 0 s, x = 50 m y por t = 10 s, x = 20 m. ¿Cuál es su velocidad, en m/s?
(20 − 50) ÷ (10 − 0) = −30 ÷ 10 = −3 m/s. La recta baja: el ciclista avanza en el sentido negativo. El 3 olvida el signo; el 2 y el 5 dividen una sola posición entre el tiempo.
La gráfica posición–tiempo de una patinadora se dibujó desde $x =$ $12 + 4t$, con x en metros y t en segundos. ¿Qué posición marca la gráfica en el instante 5 s, en metros?
x = 12 + 4 · 5 = 12 + 20 = 32 m. El 20 es solo lo que avanzó en 5 s; hay que sumarle la posición inicial.
Cada opción es la pendiente, Δx ÷ Δt, de una gráfica posición–tiempo calculada entre dos de sus puntos. Marca todas las que corresponden a un cuerpo en reposo.
Marca todas las que apliquen.
Un cuerpo en reposo no cambia de posición: la pendiente es cero y la recta es horizontal. Pasa con 14 − 14, 0 − 0 y 30 − 30. Las otras dos rectas suben (5 m/s) o bajan (−2 m/s).
Un cuerpo en MRU tiene su gráfica posición–tiempo dada por $x =$ $30 - 5t$, con x en metros y t en segundos. ¿A qué altura queda la recta horizontal de su gráfica velocidad–tiempo, en m/s?
La altura de la gráfica v–t es la pendiente de la x–t, que aquí es −5 m/s: la recta horizontal queda 5 unidades por debajo del eje del tiempo. El 30 es la posición inicial, no la velocidad.
Un carro va en MRU. En t = 0 s está en la posición 10 m y en t = 4 s está en la posición 26 m. ¿En qué posición estaba en t = 2 s, en metros?
En un MRU el carro avanza lo mismo en cada segundo: (26 − 10) ÷ 4 = 4 m por segundo. En 2 s avanzó 8 m, así que estaba en 10 + 8 = 18 m, justo en la mitad, como pide una recta.
La recta posición–tiempo de Ana pasa por t = 0 s, x = 0 m y por t = 4 s, x = 12 m. La de Beto pasa por t = 0 s, x = 6 m y por t = 4 s, x = 14 m. ¿Cuántos m/s más rápido va Ana que Beto?
La pendiente de Ana es 12 ÷ 4 = 3 m/s y la de Beto (14 − 6) ÷ 4 = 2 m/s. Ana va 1 m/s más rápido: su recta es más empinada, aunque Beto salió más adelante.
La gráfica velocidad–tiempo de un cuerpo es una recta horizontal en −4 m/s. ¿Verdadero o falso? En 5 s el cuerpo se desplaza −20 m, es decir, 20 m en el sentido negativo.
Con velocidad constante, el desplazamiento es la velocidad por el tiempo: −4 · 5 = −20 m. Su gráfica x–t sería una recta que baja 4 m en cada segundo.
La gráfica posición–tiempo de un MRU empieza en t = 0 s, x = 8 m y el cuerpo va a 2 m/s. ¿Verdadero o falso? En el instante 6 s la gráfica marca x = 20 m.
x = 8 + 2 · 6 = 8 + 12 = 20 m. El punto (6; 20) está sobre la recta.
La gráfica posición–tiempo de un cuerpo es una recta que baja. ¿Qué movimiento describe?
Una recta que baja tiene pendiente negativa y constante: la velocidad es negativa y no cambia. Frenar sería una línea que se va acostando, y la gráfica no es un dibujo del camino.
Reto
¿Cuál gráfica no es como las demás?
Cada ficha es la pendiente de una gráfica posición–tiempo, en m/s. En cada ronda, tres cuerpos van en el mismo sentido (o los tres están quietos) y uno no: toca el distinto.
Reto
Une cada rasgo de la gráfica con lo que significa.
Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Cierre
En resumen
En un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante, y en tiempos iguales hay desplazamientos iguales.
La gráfica posición–tiempo de un MRU es una recta, x = x₀ + vt; su corte con el eje vertical es la posición inicial y su pendiente es la velocidad.
Una recta x–t que sube es velocidad positiva, una que baja es velocidad negativa y una horizontal es reposo; bajar no es frenar.
La gráfica velocidad–tiempo de un MRU es una recta horizontal a la altura de la velocidad.
La gráfica x–t dice dónde está el cuerpo en cada instante; no es un dibujo de su camino.
Vocabulario
- Movimiento rectilíneo uniforme
Movimiento en línea recta con velocidad constante: en tiempos iguales, el cuerpo tiene desplazamientos iguales. Se abrevia MRU.
- Gráfica posición–tiempo
La gráfica con el tiempo en el eje horizontal y la posición en el vertical; se abrevia x–t. En un MRU es una recta.
- Pendiente
El cambio en el eje vertical dividido entre el cambio en el eje horizontal. En la gráfica x–t es la velocidad.
- Gráfica velocidad–tiempo
La gráfica con el tiempo en el eje horizontal y la velocidad en el vertical; se abrevia v–t. En un MRU es una recta horizontal.
- Posición inicial
La posición x₀ del cuerpo en el instante t = 0. En la gráfica x–t es el corte con el eje vertical.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre la tabla de Andrea y pida que, sin hacer cuentas, digan si va siempre igual de rápido.
- Explicación · 20 min — Desplazamientos iguales en tiempos iguales; la gráfica x–t de Andrea en papel cuadriculado; la moto para la pendiente negativa; la gráfica v–t; el carrito de la rampa como contraejemplo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El intruso y el dominó se pueden resolver en grupo en el tablero.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante dibuje a mano alzada una gráfica x–t y su v–t para un compañero que camina hacia el tablero, se queda quieto y no vuelve.
Preguntas para el salón
- Si dos rectas x–t tienen la misma pendiente pero distinto corte con el eje vertical, ¿qué tienen en común los dos movimientos y qué no?
- ¿Por qué una recta x–t que baja no quiere decir que el cuerpo esté frenando?
- ¿Cómo se vería en la gráfica v–t un cuerpo en reposo?
Errores típicos
- Leer la gráfica x–t como un dibujo del camino. Pida que describan con palabras dónde está el cuerpo en tres instantes de la gráfica antes de decir cómo se mueve.
- Calcular la velocidad dividiendo una sola posición entre un solo tiempo. Insista en la pendiente con dos puntos: cambio de posición entre cambio de tiempo. Muestre que x ÷ t solo funciona si la recta pasa por el origen.
- Creer que una recta que baja es un cuerpo que frena. Compare la recta de la moto con una curva que se va acostando, y pregunte en cuál de las dos la posición cambia lo mismo cada segundo.
- Poner la gráfica v–t inclinada para un MRU. Recuerde que en un MRU la velocidad no cambia: en cada instante la altura de la gráfica v–t es la misma.
Tarea sugerida
Con un compañero y un cronómetro, caminar a paso constante por el patio y anotar la posición cada 5 s respecto a una marca de tiza. Hacer la tabla, la gráfica x–t y la gráfica v–t, y calcular la velocidad con la pendiente.