Predecir con la expresión x = x₀ + vt
Lo que vas a aprender
- Escribir la expresión x = x₀ + vt de un movimiento uniforme a partir de su enunciado, con el signo de la velocidad según el marco de referencia.
- Predecir la posición de un cuerpo en un instante dado y el instante en que llegará a una posición, resolviendo una ecuación de primer grado.
- Leer una gráfica posición–tiempo por tramos y hallar la velocidad de cada tramo.
- Calcular el desplazamiento y la distancia total de un recorrido por tramos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una aplicación de mapas dice «llegas en 12 minutos» antes de que salgas. Un agricultor calcula a qué hora el dron que vigila su cultivo pasará sobre la cerca. Los dos hacen lo mismo: usan la manera en que se mueve algo ahora para decir dónde estará después. Eso es predecir, y es una de las cosas más útiles que hace la física.
En la lección anterior viste que la gráfica de un movimiento uniforme es una recta. Ahora vas a usar su expresión, $x = x_0 + v\,t$, como una herramienta para contestar dos preguntas: ¿dónde estará? y ¿cuándo llegará? También vas a describir recorridos que tienen varias partes, cada una con su propia velocidad.
Las personas, los lugares y las medidas de los ejemplos son inventados para practicar.
Antes de empezar repasa cómo se resuelve una ecuación de primer grado, como $3t + 4 = 19$, y cómo se lee la pendiente de una recta.
Explicación
La expresión de la posición
En un movimiento rectilíneo uniforme, la posición en cada instante es
$$x = x_0 + v\,t$$
Cada letra tiene su papel, y todas dependen del marco de referencia:
- $x_0$ es la posición inicial: dónde está el cuerpo cuando el reloj marca cero. No tiene que ser el origen.
- $v$ es la velocidad, con su signo: positiva si el cuerpo avanza en el sentido positivo, negativa si avanza en el otro.
- $t$ es el tiempo contado desde el instante cero.
- $x$ es la posición en el instante $t$.
Las unidades tienen que ir de acuerdo: si la posición está en metros y el tiempo en segundos, la velocidad va en metros por segundo. Antes de usar la expresión, escríbela con los números del problema; así ves de una vez el marco que elegiste.
Dos maneras de predecir
¿Dónde estará? Si te dan el instante, lo reemplazas en la expresión y haces la cuenta.
¿Cuándo llegará? Si te dan la posición, la expresión se vuelve una ecuación de primer grado con incógnita $t$, y la despejas como en matemáticas.
Ejemplo resuelto
El dron del cultivo
Un dron vuela en línea recta sobre un cultivo con velocidad constante de 4 m/s. El origen es la cerca y el sentido positivo es el de su vuelo. Cuando el reloj marca cero, el dron está 20 m antes de la cerca. ¿Dónde estará a los 15 s? ¿En qué instante llegará al final del cultivo, que está 100 m después de la cerca?
Ver la solución paso a paso
Como empieza antes de la cerca, su posición inicial es negativa: $x_0 = -20$ m. La expresión es $x = -20 + 4t$. Para la primera pregunta reemplazamos $t$ por 15:
$$-20 + 4 \cdot 15$$
A los 15 s estará en $40$ m: ya pasó la cerca y va 40 m más allá.
Para la segunda, la posición es el dato y el instante es la incógnita:
$$-20 + 4t = 100$$
Sumamos 20 a los dos lados:
$$4t = 120$$
Y dividimos entre 4:
$$t = 30$$
Para comprobar, reemplazamos el instante en la expresión:
$$-20 + 4 \cdot 30 = 100$$
Respuesta: A los 15 s estará en la posición 40 m, y llegará al final del cultivo a los 30 s.
Gráfica posición–tiempo del dron, dibujada desde x = −20 + 4t. La recta corta el eje vertical en −20 m, porque el dron empieza antes de la cerca; pasa por (15; 40) y llega a (30; 100), el final del cultivo.
Leer el resultado antes de darlo por bueno
Una predicción vale solo si tiene sentido en la situación:
- Si el instante sale negativo, el cuerpo pasó por esa posición antes de que el reloj empezara a contar. La cuenta no está mal; quiere decir que ese momento ya pasó.
- La expresión vale mientras el movimiento siga siendo uniforme. Si el dron se detiene o cambia de velocidad, la recta se acaba y hay que escribir una expresión nueva para lo que sigue.
- Revisa el signo de $v$: si el cuerpo se acerca al origen desde el lado positivo, su posición tiene que ir bajando, y eso exige una velocidad negativa.
Ejemplo resuelto
Un instante que ya pasó
Una ciclista va por una ciclovía recta con velocidad constante de −3 m/s. Cuando el reloj marca cero está en la posición 90 m. ¿En qué instante pasó por la posición 120 m, y en qué instante llegará al origen?
Ver la solución paso a paso
La expresión es $x = 90 - 3t$. La posición 120 m es el dato:
$$90 - 3t = 120$$
Restamos 90 a los dos lados:
$$-3t = 30$$
Y dividimos entre $-3$:
$$t = -10$$
El instante es negativo: la ciclista pasó por 120 m 10 s antes de que el reloj empezara a contar. Tiene sentido, porque va en el sentido negativo y 120 m está detrás de ella. Para el origen, la posición es cero:
$$90 - 3t = 0$$
Sumamos $3t$ a los dos lados y dividimos entre 3:
$$t = 30$$
Respuesta: Pasó por la posición 120 m en t = −10 s, es decir, 10 s antes del cero del reloj, y llegará al origen a los 30 s.
Recorridos por tramos
Casi ningún viaje es un solo movimiento uniforme. Mateo, por ejemplo, sale de su casa hacia la tienda, se queda un rato comprando y luego camina hasta la casa de un amigo. Ese recorrido se parte en tramos, y en cada uno la velocidad es constante. Su gráfica posición–tiempo es una gráfica por tramos: segmentos de recta pegados uno tras otro. En cada segmento se hace lo mismo de siempre: la pendiente es la velocidad de ese tramo, y un segmento horizontal es una parada.
Para todo el recorrido:
- el desplazamiento total es la posición final menos la inicial, sin importar los tramos;
- la distancia total suma lo que se avanzó en cada tramo, sin signo.
Gráfica por tramos del recorrido de Mateo, con el origen en su casa y el sentido positivo hacia la tienda. Tramo 1: de (0; 0) a (40; 60). Parada en la tienda hasta (100; 60). Tramo 3: de (100; 60) a (140; 20), la casa de su amigo.
Ejemplo resuelto
El recorrido de Mateo
Con los puntos de la gráfica de Mateo, halla la velocidad de cada tramo, su desplazamiento total y la distancia total que caminó.
Ver la solución paso a paso
En el tramo 1 va de (0; 0) a (40; 60). La pendiente es
$$\frac{60 - 0}{40 - 0}$$
$1{,}5$ m/s, hacia la tienda.
En la parada, de (40; 60) a (100; 60), la posición no cambia:
$$\frac{60 - 60}{100 - 40}$$
La velocidad es $0$ m/s: está en reposo en la tienda.
En el tramo 3 va de (100; 60) a (140; 20):
$$\frac{20 - 60}{140 - 100}$$
Da $-1$ m/s: camina de regreso, hacia su casa, más despacio que en el tramo 1.
El desplazamiento total compara el final con el inicio:
$$20 - 0$$
Es de $20$ m: la casa del amigo queda 20 m hacia la tienda desde la casa de Mateo.
La distancia total suma cada tramo sin signo:
$$\left|60 - 0\right| + \left|60 - 60\right| + \left|20 - 60\right|$$
Caminó $100$ m en total.
Respuesta: Las velocidades son 1,5 m/s, 0 m/s y −1 m/s; el desplazamiento total es 20 m y la distancia total es 100 m.
Práctica
Una lancha de turismo cruza un lago en línea recta. Cuando el reloj marca cero está en la posición 15 m, y avanza a 3 m/s en el sentido positivo. ¿En qué posición estará a los 20 s, en metros?
x = 15 + 3 · 20 = 15 + 60 = 75 m. Los 60 m son lo que avanzó; hay que sumarle la posición inicial.
Un ciclista está en la posición −40 m en t = 0 s y avanza a 8 m/s en el sentido positivo. ¿En qué instante, en segundos, pasará por la posición 120 m?
−40 + 8t = 120, así que 8t = 160 y t = 20 s. El 15 sale de dividir 120 entre 8 olvidando que no salió del origen.
Un carrito de control remoto está en la posición 50 m y se acerca al origen con rapidez constante de 2 m/s. ¿Qué expresión da su posición, en metros, con t en segundos?
La posición inicial es 50 m. Para acercarse al origen desde el lado positivo, su posición tiene que bajar: la velocidad es −2 m/s y x = 50 − 2t.
Con el norte como sentido positivo, una ciclista está 100 m al sur del origen cuando t = 0 s, y avanza hacia el norte a 5 m/s. ¿Qué expresión da su posición, en metros?
Estar al sur del origen, con el norte positivo, es tener posición negativa: x₀ = −100 m. Avanzar hacia el norte es velocidad positiva: x = −100 + 5t.
La posición de un bus escolar, en metros, es $x =$ $200 - 10t$, con t en segundos. ¿Verdadero o falso? A los 12 s está a 80 m del origen, del lado positivo.
x = 200 − 10 · 12 = 200 − 120 = 80 m. Como 80 es positivo, está del lado positivo del origen, y se sigue acercando a él.
Una tortuga robot está en la posición 9 m y avanza hacia el origen con rapidez constante de 0,5 m/s. ¿Cuántos segundos tarda en llegar al origen?
Su expresión es x = 9 − 0,5t. Llega al origen cuando 9 − 0,5t = 0, es decir, t = 9 ÷ 0,5 = 18 s.
Un dron está en la posición 30 m y vuela con velocidad constante de −6 m/s. ¿En qué instante, en segundos, estará en la posición −12 m?
30 − 6t = −12, así que −6t = −42 y t = 7 s. El 3 sale de usar 12 en vez de −12, y el −7 de perder un signo al despejar.
Un cuerpo en movimiento uniforme sigue la expresión $x =$ $40 + 5t$, con x en metros y t en segundos. ¿En qué instante, en segundos, estaba en la posición 15 m?
40 + 5t = 15 da 5t = −25 y t = −5 s. El signo menos no es un error: el cuerpo pasó por 15 m cinco segundos antes de que el reloj empezara a contar.
Un caminante sale de la posición 0 m, llega a la posición 200 m, se queda quieto 60 s y luego regresa hasta la posición 150 m. ¿Qué distancia total recorrió, en metros?
Tramos sin signo: 200 m de ida, 0 m en la parada y 50 m de regreso, que suman 250 m. El 150 es el desplazamiento total.
En una gráfica posición–tiempo por tramos, el segundo tramo es un segmento que va del punto (30; 90) al punto (50; 50), con t en segundos y x en metros. ¿Cuál es la velocidad en ese tramo, en m/s?
La velocidad es la pendiente del segmento: (50 − 90) ÷ (50 − 30) = −40 ÷ 20 = −2 m/s. El segmento baja: en ese tramo el cuerpo va en el sentido negativo.
Una gráfica posición–tiempo tiene tres tramos: de (0; 0) a (10; 40), de (10; 40) a (20; 40) y de (20; 40) a (30; 10), con t en segundos y x en metros. ¿Verdadero o falso? La distancia total recorrida es de 70 m.
Se suma cada tramo sin signo: 40 m de ida, 0 m de parada y 30 m de regreso, que dan 70 m. El desplazamiento total, en cambio, es 10 − 0 = 10 m.
¿En cuál de estas situaciones sirve la expresión x = x₀ + vt para predecir la posición?
La expresión solo vale para un movimiento en línea recta con velocidad constante. La pelota acelera, el carro que frena cambia su velocidad y el carrusel no va en línea recta.
Reto
Completa la predicción.
Elige en cada espacio el valor correcto. Escribe primero la ecuación y luego despeja.
Reto
Abre el candado de las predicciones.
Cada pista da un dígito de la clave. Resuelve las cuatro y abre el candado.
Cierre
En resumen
En un movimiento uniforme la posición es x = x₀ + vt; x₀ es la posición cuando el reloj marca cero y v lleva el signo del sentido de avance.
Para predecir dónde estará el cuerpo se reemplaza t; para predecir cuándo llegará se resuelve una ecuación de primer grado en t.
Un instante negativo indica un momento anterior al cero del reloj, y la expresión solo vale mientras la velocidad no cambie.
Un recorrido por tramos tiene una gráfica x–t de segmentos; la pendiente de cada uno es su velocidad y un segmento horizontal es una parada.
El desplazamiento total es final menos inicial; la distancia total suma cada tramo sin signo.
Vocabulario
- Expresión de posición
La fórmula x = x₀ + vt, que da la posición de un cuerpo en movimiento uniforme en cada instante t.
- Predecir
Calcular con la expresión dónde estará un cuerpo o cuándo llegará a un punto, antes de que ocurra.
- Tramo
Una parte de un recorrido en la que el cuerpo mantiene la misma velocidad.
- Gráfica por tramos
Una gráfica posición–tiempo hecha de segmentos de recta, uno por tramo; un segmento horizontal es una parada.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cómo hace una aplicación de mapas para decir a qué hora va a llegar alguien, y anote las ideas que tengan que ver con la velocidad.
- Explicación · 20 min — La expresión x = x₀ + vt con el dron; las dos preguntas, dónde estará y cuándo llegará; cómo leer un instante negativo; la gráfica por tramos de Mateo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; los huecos y el candado se pueden resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante invente un recorrido de dos tramos con una parada, dibuje su gráfica x–t y le pida a un compañero la distancia total.
Preguntas para el salón
- Si el instante que sale de la ecuación es negativo, ¿qué quiere decir en la situación?
- ¿Qué signo tiene la velocidad de un cuerpo que se acerca al origen desde el lado negativo? ¿Y desde el lado positivo?
- ¿Por qué la expresión de un tramo no sirve para predecir lo que pasa en el siguiente?
Errores típicos
- Olvidar la posición inicial y calcular solo v · t. Pida que escriban siempre la expresión completa con los números del problema antes de reemplazar.
- Poner la velocidad positiva aunque el cuerpo vaya hacia el sentido negativo. Que se pregunten si la posición debe subir o bajar con el tiempo, y comprueben el signo con un instante sencillo, como t = 1 s.
- Sumar los tramos con su signo para la distancia total. Use el recorrido de Mateo: que calculen la distancia y el desplazamiento por separado y comparen.
- Descartar un instante negativo como si fuera un error de cuenta. Ubique el punto en la gráfica, prolongando la recta hacia la izquierda del eje vertical.
Tarea sugerida
Planear un recorrido a pie por el colegio con dos tramos y una parada, con velocidades inventadas razonables; escribir la expresión de cada tramo, predecir cuándo se llega al final y dibujar la gráfica x–t por tramos.