La aceleración
Lo que vas a aprender
- Calcular la aceleración de un móvil como el cambio de su velocidad dividido entre el tiempo que tarda ese cambio.
- Predecir la velocidad de un móvil con aceleración constante usando v = v₀ + at.
- Leer la aceleración como la pendiente de la gráfica velocidad–tiempo y dibujar la gráfica aceleración–tiempo.
- Decidir si un móvil frena o va cada vez más rápido comparando el signo de su velocidad con el de su aceleración.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la unidad anterior estudiaste movimientos con velocidad constante: un ciclista que avanza siempre los mismos metros en cada segundo. Pero casi nada se mueve así todo el tiempo. El bus del colegio arranca en el paradero y va cada vez más rápido; una moto reduce la velocidad al llegar a un semáforo; un balón que ruedas cuesta arriba va cada vez más despacio, se detiene y regresa.
En todos esos casos la velocidad cambia, y para describirlo necesitas una magnitud nueva: la aceleración. Con ella vas a poder predecir qué velocidad tendrá un móvil dentro de unos segundos, leer una gráfica velocidad–tiempo y responder una pregunta que confunde a mucha gente: ¿aceleración negativa quiere decir siempre que el móvil frena?
Antes de empezar recuerda que la velocidad lleva signo según el sentido del movimiento, y cómo se calcula la pendiente de una recta a partir de dos de sus puntos.
Explicación
Qué mide la aceleración
La aceleración dice cuánto cambia la velocidad en cada unidad de tiempo. Se calcula dividiendo el cambio de velocidad entre el tiempo que tardó ese cambio:
$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{\text{final}} - v_{\text{inicial}}}{\Delta t}$$
Si la velocidad está en metros por segundo y el tiempo en segundos, la aceleración queda en m/s², que se lee «metros por segundo al cuadrado». La forma más clara de entender esa unidad es leerla como «metros por segundo, cada segundo»: una aceleración de $2$ m/s² quiere decir que la velocidad sube $2$ m/s en cada segundo que pasa.
Fíjate en que la aceleración no habla de dónde está el móvil ni de qué tan rápido va, sino de qué tan rápido cambia su velocidad. Un carro que va muy rápido por una autopista recta, siempre con la misma velocidad, no tiene aceleración. Un carro que apenas empieza a moverse en un semáforo sí la tiene.
El movimiento uniformemente acelerado
Cuando un móvil va en línea recta y su velocidad cambia lo mismo en cada segundo, su aceleración es constante y decimos que el movimiento es uniformemente acelerado. En ese caso es fácil predecir la velocidad. Si empezamos a contar el tiempo cuando el móvil lleva una velocidad $v_0$ (la velocidad inicial), después de un tiempo $t$ la velocidad habrá cambiado $a \cdot t$, y entonces
$$v = v_0 + a\,t$$
Es la misma idea de una cuenta de ahorros en la que cada semana se agrega la misma cantidad: lo que hay al final es lo que había al principio más lo que se agregó en todo ese tiempo.
En esta lección todos los datos de velocidades y aceleraciones son inventados, para practicar; en cada problema se dice cuál es el sentido positivo.
Ejemplo resuelto
La aceleración de una patineta eléctrica
Una patineta eléctrica va por una ciclorruta recta. Tomamos como positivo el sentido en que avanza. Su velocidad pasa de 2 m/s a 8 m/s en 4 s. ¿Cuál es su aceleración?
Ver la solución paso a paso
La aceleración es el cambio de velocidad dividido entre el tiempo: velocidad final menos velocidad inicial, sobre 4 s.
$$\frac{8 - 2}{4}$$
El cambio de velocidad es de 6 m/s:
$$\frac{6}{4}$$
La aceleración es de $1{,}5$ m/s²: la patineta gana 1,5 m/s en cada segundo.
Respuesta: La aceleración es de 1,5 m/s².
Ejemplo resuelto
Predecir la velocidad de un bus
Un bus sale de un paradero por una avenida recta; tomamos como positivo el sentido en que avanza. Cuando empezamos a contar el tiempo va a 3 m/s, y acelera de manera constante a 0,5 m/s². ¿Qué velocidad tiene a los 10 s? ¿En qué instante llega a 6 m/s?
Ver la solución paso a paso
Con $v = v_0 + at$, reemplazamos $v_0 = 3$ m/s, $a = 0{,}5$ m/s² y $t = 10$ s:
$$3 + 0{,}5 \cdot 10$$
En esos 10 s la velocidad aumentó 5 m/s:
$$3 + 5$$
A los 10 s el bus va a $8$ m/s.
Para la segunda pregunta conocemos la velocidad, 6 m/s, y la incógnita es el tiempo:
$$3 + 0{,}5t = 6$$
Restamos 3 a los dos lados:
$$0{,}5t = 3$$
Y dividimos entre 0,5:
$$t = 6$$
Respuesta: A los 10 s el bus va a 8 m/s, y llega a 6 m/s en el instante t = 6 s.
Gráfica velocidad–tiempo del bus. El eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la velocidad, en m/s. La recta corta el eje vertical en la velocidad inicial y sube 0,5 m/s en cada segundo; pasa por (6; 6) y por (10; 8).
La gráfica velocidad–tiempo
Si dibujas la velocidad del bus en cada instante, los puntos quedan sobre una recta. No es casualidad: en un movimiento uniformemente acelerado la velocidad sube (o baja) lo mismo en cada segundo, y eso es justamente lo que hace una recta.
Esa recta se lee así:
- el punto donde corta el eje vertical es la velocidad inicial $v_0$;
- su pendiente es la aceleración: cuánto sube la velocidad por cada segundo. Una recta que sube tiene aceleración positiva, una que baja tiene aceleración negativa y una recta horizontal tiene aceleración cero, como en el movimiento uniforme.
Compara con lo que ya sabes: en la gráfica posición–tiempo, la pendiente era la velocidad. Ahora, en la gráfica velocidad–tiempo, la pendiente es la aceleración. Antes de leer una gráfica, mira siempre qué magnitud está en el eje vertical.
También se puede dibujar la aceleración en función del tiempo. Como en este movimiento la aceleración no cambia, la gráfica aceleración–tiempo es una recta horizontal, a la altura del valor de la aceleración.
Gráfica aceleración–tiempo del bus. El eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la aceleración, en m/s². Es una recta horizontal: la aceleración vale 0,5 m/s² en todo el recorrido, como en el punto (5; 0,5).
¿Aceleración negativa es frenar?
Mucha gente cree que una aceleración negativa siempre quiere decir que el móvil frena. No es así. El signo de la aceleración dice hacia dónde cambia la velocidad, no si el móvil va más despacio. Para saber si frena hay que comparar dos signos, el de la velocidad y el de la aceleración:
- si tienen el mismo signo, la rapidez aumenta: el móvil va cada vez más rápido;
- si tienen signos contrarios, la rapidez disminuye: el móvil frena.
Una moto que avanza en el sentido positivo y tiene aceleración negativa, frena. Pero una moto que avanza en el sentido negativo y tiene aceleración negativa va cada vez más rápido, porque su velocidad se vuelve más y más negativa. El ejemplo siguiente muestra las dos cosas en un mismo movimiento.
Ejemplo resuelto
Un balón que sube y vuelve a bajar
Ruedas un balón cuesta arriba por una calle recta y empinada. Tomamos como positivo el sentido hacia arriba. Cuando empezamos a contar el tiempo el balón sube a 3 m/s, y su aceleración es constante, de −1,5 m/s². ¿Qué velocidad tiene a los 2 s y a los 4 s? ¿Frena o va cada vez más rápido?
Ver la solución paso a paso
A los 2 s, con $v = v_0 + at$:
$$3 + \left(-1{,}5\right) \cdot 2$$
La velocidad cambió −3 m/s:
$$3 - 3$$
A los 2 s la velocidad es $0$: el balón se detuvo un instante. Hasta ahí la velocidad era positiva y la aceleración negativa, signos contrarios: el balón frenaba.
A los 4 s:
$$3 + \left(-1{,}5\right) \cdot 4$$
A los 4 s la velocidad es $-3$ m/s: el signo menos dice que ahora el balón baja.
Entre los 2 s y los 4 s la velocidad y la aceleración son negativas, del mismo signo, y la rapidez pasó de 0 a 3 m/s: el balón va cada vez más rápido, con la misma aceleración negativa de antes.
$$\left|-3\right| > \left|0\right|$$
Respuesta: A los 2 s la velocidad es 0 m/s y a los 4 s es −3 m/s. Hasta los 2 s el balón frena; después baja cada vez más rápido.
Gráfica velocidad–tiempo del balón. El eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la velocidad, en m/s. La recta baja con la misma pendiente todo el tiempo: corta el eje del tiempo en (2; 0), cuando el balón se detiene, y sigue por debajo hasta (4; −3), mientras el balón baja.
En la gráfica del balón se ve todo de una vez. Mientras la recta está por encima del eje del tiempo, el balón sube, y como la recta se acerca al eje, va cada vez más despacio. Justo donde la recta cruza el eje, la velocidad es cero. Después la recta queda por debajo del eje y se aleja de él: el balón baja, cada vez más rápido. Y durante todo ese tiempo la pendiente, que es la aceleración, fue la misma.
Para describir con palabras un movimiento acelerado, entonces, conviene decir tres cosas: hacia dónde va (el signo de la velocidad), si su rapidez sube o baja (comparando los dos signos) y qué tanto cambia su velocidad en cada segundo (el valor de la aceleración).
Práctica
Una moto está quieta en un semáforo. Cuando cambia a verde arranca en línea recta y su velocidad pasa de 0 m/s a 12 m/s en 4 s. Tomando como positivo el sentido en que avanza, ¿cuál es su aceleración, en m/s²?
a = Δv ÷ Δt = (12 − 0) ÷ 4 = 3 m/s². En cada segundo la moto gana 3 m/s.
Un tren de juguete va por una vía recta a 5 m/s (el sentido positivo es el de su avance) y acelera de manera constante a 2 m/s² durante 6 s. ¿Qué velocidad tiene al final, en m/s?
v = v₀ + at = 5 + 2 · 6 = 5 + 12 = 17 m/s. Un error frecuente es responder 12, que es lo que cambió la velocidad, y olvidar la velocidad inicial.
Un patinador va en línea recta y reduce su velocidad de 10 m/s a 4 m/s en 3 s. El sentido positivo es el de su avance. ¿Cuál es su aceleración, en m/s²?
a = (4 − 10) ÷ 3 = −6 ÷ 3 = −2 m/s². El −6 es el cambio de velocidad, todavía sin dividir entre el tiempo; el 2 olvida el signo, y el 14/3 suma las velocidades en vez de restarlas.
Un ciclista va por una ciclorruta recta a 4 m/s (sentido positivo, el de su avance) y acelera de manera constante a 1,5 m/s². ¿Cuántos segundos tarda en llegar a 13 m/s?
4 + 1,5t = 13, así que 1,5t = 9 y t = 6 s. El 9 es lo que debe cambiar la velocidad, no el tiempo; el 26/3 sale de dividir 13 entre 1,5 sin restar antes la velocidad inicial.
La velocidad de un carrito que avanza en línea recta, en m/s, es $v =$ $2 + 3t$, con el tiempo t en segundos. ¿Qué velocidad tiene a los 4 s?
Reemplazamos t = 4: v = 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 m/s. En la expresión, el 2 es la velocidad inicial y el 3 la aceleración.
En la gráfica velocidad–tiempo de un carro que avanza en línea recta, la recta pasa por el punto (0; 10) y por el punto (5; 0), con el tiempo en segundos y la velocidad en m/s. ¿Cuál es la aceleración del carro, en m/s²?
La aceleración es la pendiente de la recta: (0 − 10) ÷ (5 − 0) = −2 m/s². El −1/2 divide al revés, tiempo entre velocidad, y el −10 es el cambio de velocidad sin dividir.
Una camioneta va a 12 m/s por una vía recta (sentido positivo, el de su avance) y frena con aceleración constante de −3 m/s². ¿Cuántos segundos tarda en detenerse?
Se detiene cuando 12 − 3t = 0, o sea t = 4 s: pierde 3 m/s en cada segundo y tenía 12 m/s.
Un carrito de control remoto va en reversa a −3 m/s; el sentido positivo es hacia adelante. Su aceleración es constante, de −2 m/s². ¿Verdadero o falso? A los 2 s su rapidez es mayor que al principio.
A los 2 s va a −3 − 4 = −7 m/s: su rapidez pasó de 3 m/s a 7 m/s. La aceleración es negativa, pero la velocidad también lo es: el carrito va cada vez más rápido hacia atrás.
Un carro avanza a 15 m/s (sentido positivo, el de su avance) y tiene aceleración constante de −2,5 m/s². ¿Verdadero o falso? A los 4 s su velocidad es de 5 m/s.
v = 15 + (−2,5) · 4 = 15 − 10 = 5 m/s. Aquí la velocidad es positiva y la aceleración negativa: el carro frena.
Un móvil va en línea recta con aceleración constante de 2 m/s². ¿Qué forma tiene su gráfica aceleración–tiempo?
La aceleración no cambia, así que la gráfica aceleración–tiempo es horizontal. La recta que sube con pendiente 2 es la de la gráfica velocidad–tiempo.
En los cuatro casos el sentido positivo es hacia adelante. ¿En cuál de ellos el móvil va cada vez más rápido?
La rapidez aumenta cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo: en el primer caso las dos son negativas. En el segundo y el tercero los signos son contrarios y el móvil frena; en el cuarto la velocidad no cambia.
Reto
Une cada cuenta con su resultado, y cada idea con lo que significa.
Toca una ficha y luego la que le corresponde. Las cuentas son aceleraciones o velocidades de esta lección.
Reto
Abre el candado de la aceleración.
Cada pista da un dígito de la clave. Todas las aceleraciones son constantes y el sentido positivo es el del avance.
Cierre
En resumen
La aceleración es lo que cambia la velocidad en cada unidad de tiempo, a = Δv/Δt, y se mide en m/s².
En un movimiento uniformemente acelerado la velocidad cambia lo mismo en cada segundo, y se predice con v = v₀ + at.
La gráfica velocidad–tiempo es una recta que corta el eje vertical en v₀ y cuya pendiente es la aceleración; la gráfica aceleración–tiempo es horizontal.
Aceleración negativa no siempre es frenar; un móvil frena cuando su velocidad y su aceleración tienen signos contrarios.
Vocabulario
- Aceleración
Lo que cambia la velocidad en cada unidad de tiempo, a = Δv/Δt. En el SI se mide en metros por segundo al cuadrado (m/s²).
- Movimiento uniformemente acelerado
Movimiento en línea recta en el que la velocidad cambia lo mismo en cada segundo, es decir, con aceleración constante.
- Velocidad inicial
La velocidad v₀ que tiene el móvil en el instante en que empezamos a contar el tiempo, t = 0.
- Rapidez
El valor de la velocidad sin su signo: cuántos metros recorre por segundo, sin importar hacia dónde.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué tienen en común un bus que arranca, una moto que llega al semáforo y un balón que se devuelve en una cuesta. Anote las respuestas para volver a ellas.
- Explicación · 20 min — Definición y unidad de la aceleración con la patineta; v = v₀ + at con el bus y su gráfica; la gráfica aceleración–tiempo. Cierre con el balón para discutir el signo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El dominó y el candado se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Pida a cada pareja que invente un movimiento con aceleración negativa en el que el móvil vaya cada vez más rápido, y que diga cuál es su sentido positivo.
Preguntas para el salón
- ¿Puede un móvil tener velocidad cero y aceleración distinta de cero en el mismo instante? Piensen en el balón de la cuesta.
- Si cambiamos el sentido positivo del problema del balón, ¿qué signos cambian y qué conclusión se mantiene?
- ¿Por qué la unidad m/s² se puede leer como «metros por segundo, cada segundo»?
Errores típicos
- Confundir velocidad y aceleración: creer que un móvil muy rápido tiene mucha aceleración. Contraste un carro a velocidad constante en una autopista con uno que arranca: pregunte cuál cambia su velocidad.
- Creer que toda aceleración negativa es frenar. Use el balón de la cuesta y el carrito en reversa: pida que calculen la rapidez al principio y al final y la comparen.
- Olvidar la velocidad inicial en v = v₀ + at y dar solo el producto at. Pida que escriban primero la expresión con letras y reemplacen dato por dato, con paréntesis en los negativos.
- Leer la gráfica velocidad–tiempo como si fuera de posición y decir que la pendiente es la velocidad. Antes de cada gráfica, pida que lean en voz alta qué magnitud y qué unidad tiene el eje vertical.
Tarea sugerida
Inventar un movimiento de un objeto del barrio (una bicicleta, un bus, un balón) con una velocidad inicial y una aceleración constante, dichas como inventadas; elegir el sentido positivo, calcular la velocidad cada segundo durante 5 s en una tabla y dibujar la gráfica velocidad–tiempo. Explicar en una frase si el objeto frena o va cada vez más rápido.