La distancia como área
Lo que vas a aprender
- Calcular el desplazamiento de un móvil como el área bajo su gráfica velocidad–tiempo, partiéndola en rectángulos y triángulos.
- Calcular la distancia total de un recorrido por tramos de arranque, velocidad constante y frenado.
- Distinguir el desplazamiento de la distancia recorrida cuando la gráfica velocidad–tiempo pasa por debajo del eje.
- Describir cómo se curva la gráfica posición–tiempo de un movimiento acelerado.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El velocímetro de una moto dice qué tan rápido va en cada instante, pero no dice cuántos metros lleva recorridos. Si alguien anotara la velocidad durante todo un viaje y te diera la gráfica velocidad–tiempo, ¿podrías saber cuánto avanzó la moto?
Sí, y de una manera muy visual: el desplazamiento está escondido en el área que queda entre la gráfica y el eje del tiempo. En esta lección vas a calcular esa área con figuras que ya conoces, rectángulos y triángulos, para saber cuánto recorre un móvil que arranca, va a velocidad constante y luego frena. También vas a ver por qué la gráfica posición–tiempo de un movimiento acelerado ya no es una recta, sino una curva.
Antes de empezar recuerda el área de un rectángulo (base por altura) y la de un triángulo (base por altura, dividido entre dos), y la expresión $v = v_0 + at$.
Explicación
Con velocidad constante: un rectángulo
Empecemos por lo que ya sabes. Si un móvil va siempre a la misma velocidad, su desplazamiento es velocidad por tiempo. En la gráfica velocidad–tiempo ese movimiento es una recta horizontal, y la región que queda debajo de ella es un rectángulo: su base es el tiempo y su altura es la velocidad. Base por altura es tiempo por velocidad, o sea, ¡el desplazamiento! Fíjate también en las unidades: segundos por metros sobre segundo dan metros.
Cuando la velocidad cambia
¿Y si la velocidad no es constante? Imagina que partes el tiempo en pedacitos muy cortos. En cada pedacito la velocidad casi no cambia, así que lo que avanza el móvil es casi un rectángulo delgado. Si sumas todos esos rectángulos delgados, llenas la región bajo la gráfica. Por eso, en cualquier movimiento en línea recta:
El desplazamiento entre dos instantes es el área entre la gráfica velocidad–tiempo y el eje del tiempo, entre esos dos instantes.
En un movimiento uniformemente acelerado la gráfica es una recta inclinada, y el área se calcula con figuras sencillas:
- si el móvil arranca desde el reposo, la región es un triángulo: base (el tiempo) por altura (la velocidad final), dividido entre dos;
- si frena hasta detenerse, también es un triángulo;
- si la velocidad pasa de un valor a otro sin empezar ni terminar en cero, la región es un trapecio, que puedes partir en un rectángulo y un triángulo.
Ejemplo resuelto
El arranque de un tren
Un tren de un parque de diversiones arranca desde el reposo por una vía recta (sentido positivo, el de su avance) y, con aceleración constante, llega a 8 m/s en 4 s. ¿Cuántos metros avanza en esos 4 s?
Ver la solución paso a paso
La gráfica velocidad–tiempo es una recta que va de (0; 0) a (4; 8). La región debajo es un triángulo de base 4 s y altura 8 m/s:
$$\frac{4 \cdot 8}{2}$$
Base por altura da 32, y la mitad es:
$$\frac{32}{2}$$
El tren avanza $16$ m.
Compara: si hubiera ido los 4 s a 8 m/s, habría avanzado el rectángulo completo, 32 m. Como empezó quieto, recorre la mitad: dos triángulos como este forman el rectángulo.
$$2 \cdot \left(\frac{4 \cdot 8}{2}\right) = 4 \cdot 8$$
Respuesta: El tren avanza 16 m en los 4 s.
Ejemplo resuelto
Una moto que pasa de 4 m/s a 10 m/s
Una moto va por una avenida recta a 4 m/s (sentido positivo, el de su avance) y acelera de manera constante hasta 10 m/s en 6 s. ¿Cuántos metros avanza en esos 6 s?
Ver la solución paso a paso
La región bajo la gráfica es un trapecio. Lo partimos en un rectángulo de base 6 s y altura 4 m/s, lo que habría avanzado sin acelerar:
$$6 \cdot 4$$
El rectángulo vale $24$ m.
Encima queda un triángulo de base 6 s y altura 10 − 4 = 6 m/s, lo que avanza de más por ir acelerando:
$$\frac{6 \cdot \left(10 - 4\right)}{2}$$
El triángulo vale $18$ m.
Sumamos las dos áreas:
$$24 + 18$$
La moto avanza $42$ m.
Otra forma de calcular el área del trapecio: el promedio de las dos alturas por la base. Da lo mismo.
$$\frac{\left(4 + 10\right) \cdot 6}{2} = 42$$
Respuesta: La moto avanza 42 m en los 6 s.
Ejemplo resuelto
Un recorrido por tramos
Un ciclista arranca desde el reposo y en 4 s llega a 6 m/s; sigue 10 s a 6 m/s y luego frena de manera uniforme hasta detenerse en 3 s. Todo ocurre en una ciclorruta recta, en el sentido positivo. ¿Cuántos metros recorre en total?
Ver la solución paso a paso
Arranque: un triángulo de base 4 s y altura 6 m/s.
$$\frac{4 \cdot 6}{2}$$
En el arranque recorre $12$ m.
Velocidad constante: un rectángulo de base 10 s y altura 6 m/s.
$$10 \cdot 6$$
En ese tramo recorre $60$ m.
Frenado: otro triángulo, de base 3 s y altura 6 m/s.
$$\frac{3 \cdot 6}{2}$$
Frenando recorre $9$ m.
Sumamos los tres tramos:
$$12 + 60 + 9$$
En total recorre $81$ m.
Y el recorrido completo dura 17 s, la suma de los tres tiempos:
$$4 + 10 + 3 = 17$$
Respuesta: El ciclista recorre 81 m en total.
Gráfica velocidad–tiempo del ciclista. El eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la velocidad, en m/s. Las líneas punteadas parten la región bajo la gráfica en un triángulo (el arranque, hasta (4; 6)), un rectángulo (hasta (14; 6)) y otro triángulo (el frenado, hasta (17; 0)).
Cuando la gráfica pasa por debajo del eje
Si la velocidad se vuelve negativa, el móvil va en el sentido contrario, y el área que queda por debajo del eje del tiempo cuenta como negativa: es un desplazamiento hacia atrás. Entonces hay que tener cuidado con lo que pide la pregunta:
- el desplazamiento es la suma de las áreas con su signo: las de arriba suman y las de abajo restan;
- la distancia recorrida es la suma de todas las áreas sin signo, porque cuenta todos los metros, vaya hacia donde vaya.
Piensa en el balón que sube por una cuesta, se detiene y regresa: mientras sube, el área está arriba del eje; mientras baja, está abajo. Si vuelve al punto de partida, las dos áreas son iguales, el desplazamiento es cero y, sin embargo, el balón sí recorrió metros.
La gráfica posición–tiempo se curva
En el movimiento uniforme, el móvil avanza lo mismo en cada segundo y la gráfica posición–tiempo es una recta. En un arranque, en cambio, el móvil avanza cada segundo más que en el anterior, porque va cada vez más rápido. Por eso su gráfica posición–tiempo se curva hacia arriba: se empina, porque su pendiente, que es la velocidad, va creciendo. En un frenado ocurre lo contrario: el móvil avanza cada segundo menos, la curva se va aplanando y queda horizontal en el instante en que se detiene.
No necesitas una fórmula nueva para dibujar esa curva: cada punto sale de un área, como muestra el ejemplo siguiente.
Ejemplo resuelto
La gráfica posición–tiempo del tren, punto por punto
El tren del primer ejemplo arranca desde el reposo con aceleración constante de 2 m/s² (llega a 8 m/s en 4 s). Calcula cuánto ha avanzado a los 2 s y a los 4 s, y compara lo que avanza en los dos primeros segundos con lo que avanza en los dos siguientes.
Ver la solución paso a paso
A los 2 s su velocidad es $v = v_0 + at$:
$$0 + 2 \cdot 2$$
Va a $4$ m/s.
Lo que avanzó hasta los 2 s es el triángulo de base 2 s y altura 4 m/s:
$$\frac{2 \cdot 4}{2}$$
A los 2 s está a $4$ m del punto de partida.
Hasta los 4 s, el triángulo de base 4 s y altura 8 m/s, del primer ejemplo:
$$\frac{4 \cdot 8}{2}$$
A los 4 s está a $16$ m.
Del mismo modo, al primer segundo va a 2 m/s y al tercero a 6 m/s; sus triángulos dan 1 m y 9 m:
$$\frac{1 \cdot 2}{2} = 1 \quad\text{y}\quad \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$$
En los dos primeros segundos avanzó 4 m; en los dos siguientes, 16 − 4 = 12 m, el triple. Por eso la gráfica posición–tiempo se empina.
$$16 - 4 = 3 \cdot \left(4 - 0\right)$$
Respuesta: A los 2 s el tren ha avanzado 4 m y a los 4 s, 16 m: en los dos segundos siguientes avanza 12 m, el triple que en los dos primeros.
Gráfica posición–tiempo del tren, con el origen en el punto de partida. El eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la posición, en metros. Cada punto sale del área de un triángulo: (1; 1), (2; 4), (3; 9) y (4; 16). La curva se empina porque el tren avanza más en cada segundo.
Práctica
Un carro va por una vía recta a velocidad constante de 15 m/s durante 8 s, en el sentido positivo. ¿Cuántos metros mide el área bajo su gráfica velocidad–tiempo en esos 8 s, es decir, cuánto avanza?
La región es un rectángulo de base 8 s y altura 15 m/s: 8 · 15 = 120 m.
Una patineta arranca desde el reposo en línea recta y, con aceleración constante, llega a 6 m/s en 5 s. ¿Cuántos metros avanza en esos 5 s?
La región es un triángulo de base 5 s y altura 6 m/s: 5 · 6 ÷ 2 = 15 m. Si olvidas dividir entre 2, obtienes 30 m, que es lo que avanzaría yendo todo el tiempo a 6 m/s.
Un bus va en línea recta y su velocidad pasa de 6 m/s a 12 m/s en 4 s, con aceleración constante y sin devolverse. ¿Cuántos metros avanza en esos 4 s?
El trapecio se parte en un rectángulo de 4 · 6 = 24 m y un triángulo de 4 · 6 ÷ 2 = 12 m: en total 36 m. El 48 supone que fue todo el tiempo a 12 m/s, el 24 que fue todo el tiempo a 6 m/s, y el 72 olvida dividir entre 2.
Un carro va a 10 m/s por una vía recta y frena de manera uniforme hasta detenerse en 4 s. ¿Cuántos metros recorre mientras frena?
La región bajo la gráfica del frenado es un triángulo de base 4 s y altura 10 m/s: 4 · 10 ÷ 2 = 20 m.
Un ascensor sube por su hueco en línea recta: arranca desde el reposo y en 2 s llega a 2 m/s, sube 8 s a 2 m/s y frena de manera uniforme hasta detenerse en 2 s más. ¿Cuántos metros sube en total?
Arranque: 2 · 2 ÷ 2 = 2 m. Velocidad constante: 8 · 2 = 16 m. Frenado: 2 · 2 ÷ 2 = 2 m. En total, 2 + 16 + 2 = 20 m.
Una moto arranca desde el reposo por una vía recta y, con aceleración constante, llega a 10 m/s en 4 s; desde ahí sigue a 10 m/s. ¿Cuántos segundos debe ir a 10 m/s para completar 100 m desde la salida?
En el arranque avanza el triángulo 4 · 10 ÷ 2 = 20 m. Le faltan 80 m, que a 10 m/s le toman 8 s. El 10 olvida los metros del arranque y el 6 resta los 4 s del arranque a ese tiempo.
Un carrito avanza por un pasillo recto a 6 m/s (sentido positivo, hacia adelante). Con aceleración constante se detiene a los 3 s y sigue con la misma aceleración hacia atrás, hasta ir a −2 m/s a los 4 s. ¿Verdadero o falso? Su desplazamiento entre 0 s y 4 s es de 10 m.
Arriba del eje queda un triángulo de 6 · 3 ÷ 2 = 9 m; abajo, uno de 1 · 2 ÷ 2 = 1 m, que resta. El desplazamiento es 9 − 1 = 8 m. Los 10 m son la distancia recorrida, que suma las dos áreas sin signo.
Con el mismo carrito: avanza a 6 m/s, se detiene a los 3 s y regresa hasta ir a −2 m/s a los 4 s, siempre con la misma aceleración. ¿Cuántos metros recorre en total entre 0 s y 4 s, sin importar el sentido?
La distancia suma las áreas sin signo: 9 m hacia adelante y 1 m hacia atrás, 10 m en total.
Un carrito parte del reposo y llega a 6 m/s en 3 s; con la misma aceleración, a los 6 s va a 12 m/s. ¿Verdadero o falso? En los 6 s avanza el doble de metros que en los primeros 3 s.
En 3 s avanza el triángulo 3 · 6 ÷ 2 = 9 m; en 6 s, el triángulo 6 · 12 ÷ 2 = 36 m: cuatro veces más, no el doble. Al duplicar el tiempo se duplican la base y la altura del triángulo.
Un carro frena de manera uniforme hasta detenerse. ¿Cómo es su gráfica posición–tiempo mientras frena?
El carro sigue avanzando, así que la posición sigue aumentando, pero cada segundo avanza menos: la pendiente, que es la velocidad, se reduce hasta cero. La recta que baja hasta el eje es la gráfica velocidad–tiempo del frenado, no la de posición.
Reto
Completa el recorrido de una bicicleta.
Elige el número que completa cada espacio. Calcula cada área con base por altura, y divide entre 2 si es un triángulo.
Reto
Abre el candado de las áreas.
Cada pista da un dígito de la clave. Todos los movimientos son en línea recta y con aceleración constante en cada tramo.
Cierre
En resumen
El desplazamiento entre dos instantes es el área entre la gráfica velocidad–tiempo y el eje del tiempo.
Con velocidad constante el área es un rectángulo; en un arranque o un frenado hasta cero, un triángulo; si la velocidad cambia sin pasar por cero, un trapecio.
El área por debajo del eje es desplazamiento negativo; la distancia recorrida suma todas las áreas sin signo.
En un movimiento acelerado la gráfica posición–tiempo se curva, y cada uno de sus puntos se puede calcular con un área.
Vocabulario
- Área bajo la gráfica
La región entre la gráfica velocidad–tiempo y el eje del tiempo, en un intervalo. Su medida, con signo, es el desplazamiento en ese intervalo.
- Desplazamiento
El cambio de posición, posición final menos posición inicial. Puede ser positivo, negativo o cero.
- Distancia recorrida
Todos los metros que el móvil recorre, sin importar el sentido. Nunca es negativa.
- Trapecio
Figura de cuatro lados con dos lados paralelos. Bajo una gráfica velocidad–tiempo aparece cuando la velocidad cambia sin empezar ni terminar en cero.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una gráfica velocidad–tiempo horizontal y pregunte cuánto avanzó el móvil. Haga notar que la cuenta es el área del rectángulo.
- Explicación · 20 min — Por qué el área es el desplazamiento (rectángulos delgados); el tren, la moto y el ciclista por tramos; el área bajo el eje; la gráfica posición–tiempo del tren punto por punto.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas, con un dibujo de la gráfica velocidad–tiempo antes de cada cuenta. Los huecos y el candado se pueden resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Pida que dibujen a mano alzada la gráfica posición–tiempo del ciclista por tramos y que expliquen dónde se curva y dónde es recta.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el área de un rectángulo bajo la gráfica velocidad–tiempo da metros y no metros cuadrados?
- Si un balón sube por una cuesta y vuelve al mismo punto, ¿cuánto vale el desplazamiento? ¿Y la distancia?
- En la gráfica posición–tiempo del ciclista, ¿qué tramo es recto y por qué?
Errores típicos
- Olvidar dividir entre 2 el área de un triángulo, o multiplicar la velocidad final por todo el tiempo en un arranque. Pida que dibujen la gráfica y sombreen la región antes de calcular; que comparen el triángulo con el rectángulo que lo contiene.
- Restar las áreas cuando la pregunta pide la distancia recorrida. Pregunte si el móvil recorrió o no esos metros hacia atrás, y separe las preguntas «¿dónde quedó?» y «¿cuánto anduvo?».
- Creer que la gráfica posición–tiempo de un frenado baja, porque la de velocidad baja. Pregunte si el carro se devuelve mientras frena. Si no se devuelve, su posición sigue aumentando.
- Suponer que al duplicar el tiempo de un arranque se duplica la distancia. Dibuje los dos triángulos, uno dentro del otro, y cuente cuántas copias del pequeño caben en el grande.
Tarea sugerida
Inventar el recorrido de un bus entre dos paraderos con tres tramos (arranque, velocidad constante y frenado), con velocidades y tiempos dichos como inventados; dibujar su gráfica velocidad–tiempo, calcular la distancia entre los paraderos con áreas y dibujar a mano alzada la gráfica posición–tiempo.