Movimientos en dos dimensiones
Lo que vas a aprender
- Describir el movimiento parabólico como un avance horizontal uniforme junto con un movimiento vertical acelerado.
- Reconocer, en una tabla de posiciones, cuál componente del movimiento es uniforme y cuál es acelerada.
- Describir sin cuentas las gráficas de cada componente en función del tiempo.
- Explicar por qué en el movimiento circular uniforme la velocidad cambia aunque la rapidez sea constante.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Hasta ahora todos los movimientos fueron en línea recta: bastaba una recta numérica y un sentido positivo. Pero un balón pateado hacia el arco sube y baja mientras avanza; una canica que rueda por la mesa cae por el borde haciendo una curva; las sillas de una rueda de Chicago dan vueltas y vueltas. Para describir esos movimientos una sola recta ya no alcanza.
La buena noticia es que no necesitas empezar de cero. Un movimiento en el plano se puede describir con dos rectas, una horizontal y una vertical. En el movimiento parabólico, en cada una de ellas ocurre un movimiento que ya conoces: uniforme en la horizontal y acelerado en la vertical. El movimiento circular lo miraremos de otra manera: con su rapidez y con la dirección de su velocidad. Todo, leyendo tablas y gráficas, sin fórmulas nuevas.
Antes de empezar recuerda cómo se ve en una gráfica un movimiento uniforme (recta posición–tiempo) y uno acelerado (recta velocidad–tiempo inclinada, y posición–tiempo curva).
Explicación
Dos rectas en vez de una
Para saber dónde está un objeto que se mueve en un plano vertical, como una pelota en el aire, usamos dos ejes: uno horizontal, $x$, que dice cuánto ha avanzado, y uno vertical, $y$, que dice a qué altura está. Lo que pasa en cada eje se llama una componente del movimiento.
Ojo con una confusión frecuente: la trayectoria es el dibujo del camino, con $x$ en un eje y $y$ en el otro. En ella no aparece el tiempo. Las gráficas de cada componente, en cambio, tienen el tiempo en el eje horizontal: una muestra $x$ contra $t$ y otra muestra $y$ contra $t$. Son dibujos distintos del mismo movimiento.
La canica que cae de la mesa
Imagina una canica que rueda por una mesa y sale por el borde. Supón que filmamos la caída y anotamos su posición cada décima de segundo, con el origen en el borde de la mesa, $x$ hacia adelante y $y$ hacia arriba. Los datos de la tabla son inventados para esta lección y están redondeados:
| $t$ (s) | $0$ | $0{,}1$ | $0{,}2$ | $0{,}3$ | $0{,}4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ (m) | $0$ | $0{,}2$ | $0{,}4$ | $0{,}6$ | $0{,}8$ |
| $y$ (m) | $0$ | $-0{,}05$ | $-0{,}2$ | $-0{,}45$ | $-0{,}8$ |
Vamos a mirar cada fila por separado, como si fueran dos movimientos en línea recta.
Ejemplo resuelto
El avance horizontal es uniforme
Con la tabla de la canica, decide si su avance horizontal es uniforme.
Ver la solución paso a paso
Se mira la columna del avance $x$: de una décima de segundo a la siguiente, la posición crece siempre lo mismo.
Avanzar lo mismo en tiempos iguales es justamente lo que define un movimiento uniforme: la velocidad horizontal no cambia.
Eso pasa porque, una vez que la canica deja la mesa, nada la empuja ni la frena en horizontal (el aire casi no la frena).
Respuesta: Sí: avanza lo mismo en cada décima de segundo, así que en horizontal el movimiento es uniforme.
Ejemplo resuelto
La caída es acelerada
Con la misma tabla, decide si la caída de la canica es uniforme.
Ver la solución paso a paso
Se mira la columna de la altura $y$: en cada décima de segundo la canica baja más que en la anterior.
Si baja cada vez más en tiempos iguales, la rapidez con que cae va creciendo: la caída no es uniforme.
Es lo mismo que pasó con el tren de la lección anterior, que en cada segundo avanzaba más que en el anterior: en vertical el movimiento es uniformemente acelerado, por la gravedad.
Respuesta: No: la canica baja cada vez más en cada décima. En vertical el movimiento es acelerado.
Trayectoria de la canica, con el origen en el borde de la mesa. El eje horizontal es el avance x y el vertical la altura y, los dos en metros. Los puntos son los de la tabla, como (0,4; −0,2) y (0,8; −0,8): en cada décima avanza lo mismo, pero baja cada vez más, y el camino se curva en forma de parábola. En este dibujo no aparece el tiempo.
Las gráficas de cada componente
Ahora pongamos el tiempo en el eje horizontal y dibujemos cada componente por separado.
- Posición horizontal contra tiempo: una recta que sube, porque la canica avanza lo mismo en cada décima. Su velocidad horizontal es constante, así que la gráfica velocidad horizontal–tiempo es una recta horizontal.
- Altura contra tiempo: una curva que baja cada vez más empinada, porque en cada décima la canica cae más. Su velocidad vertical empieza en cero y se hace cada vez más negativa al mismo ritmo, así que la gráfica velocidad vertical–tiempo es una recta inclinada hacia abajo, como la de cualquier movimiento uniformemente acelerado.
Lo sorprendente es que las dos componentes no se estorban. El avance horizontal no hace que la canica caiga más despacio ni más rápido: si en el mismo instante otra canica se dejara caer desde el borde, sin avanzar, las dos irían a la misma altura en cada momento y llegarían juntas al piso. La que rueda, simplemente, cae mientras avanza.
Las dos componentes de la canica contra el tiempo. El eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la posición, en metros. La posición horizontal es una recta que sube, por (0,2; 0,4) y (0,4; 0,8); la altura es una curva que baja cada vez más rápido, por (0,2; −0,2) y (0,4; −0,8).
Un balón pateado hacia arriba
Cuando pateas un balón hacia arriba y hacia adelante pasa lo mismo, pero la componente vertical empieza subiendo. Mientras sube, el balón va frenando en vertical; arriba, en el punto más alto, su velocidad vertical es cero por un instante; después baja cada vez más rápido. Es exactamente lo que le pasaba al balón de la cuesta en la primera lección de esta unidad: su gráfica velocidad vertical–tiempo es una recta que baja, cruza el eje del tiempo en el punto más alto y sigue por debajo.
Mientras tanto, si el aire casi no lo frena, el balón sigue avanzando en horizontal al mismo ritmo. Por eso en el punto más alto no está quieto: solo dejó de subir. La trayectoria es una parábola que sube, llega a su punto más alto y baja.
El movimiento circular uniforme
Piensa ahora en una silla de una rueda de Chicago que gira siempre al mismo ritmo. En tiempos iguales recorre arcos iguales de la circunferencia: su rapidez es constante. Pero su dirección cambia todo el tiempo. En cada instante la silla se mueve en la dirección de la tangente, la recta que toca la circunferencia en ese punto. Si algo se soltara de la silla, al principio saldría en esa dirección, como el barro que sale disparado de la llanta de una bicicleta.
Como la velocidad incluye la dirección, la velocidad de la silla sí cambia, aunque su rapidez no. Y si la velocidad cambia, hay aceleración. Esa es la gran diferencia con el movimiento rectilíneo uniforme: un objeto que gira a ritmo constante está acelerado. En el grado 10 aprenderás a medir esa aceleración; por ahora basta con reconocerla.
Lanza el balón y mira las dos flechas de la velocidad. La horizontal tiene el mismo largo en todo el vuelo; la vertical se achica mientras sube, desaparece en el punto más alto y crece al bajar. Cambia el ángulo y vuelve a lanzar: pasa lo mismo.
Ejemplo resuelto
Rapidez constante, velocidad que cambia
Una ciclista da vueltas a una pista circular sin acelerar ni frenar: su ciclocomputador marca siempre la misma rapidez. ¿Cambia su velocidad?
Ver la solución paso a paso
La rapidez dice qué tan rápido va, sin importar hacia dónde. La de la ciclista es la misma en toda la pista.
La velocidad dice qué tan rápido va y hacia dónde. En el punto más al este de la pista va hacia el norte; media vuelta después, en el punto más al oeste, va hacia el sur.
La dirección cambia en cada punto de la curva, así que la velocidad cambia todo el tiempo, aunque el ciclocomputador marque lo mismo.
Respuesta: Sí: la rapidez es siempre la misma, pero la velocidad cambia porque cambia la dirección del movimiento.
Mira la flecha verde de la velocidad de la piedra que gira: siempre tiene el mismo largo, pero apunta hacia otro lado en cada punto del círculo. Suelta la piedra: sale en línea recta, en la dirección que llevaba en ese instante.
Práctica
Una canica sale rodando del borde de una mesa. En una tabla, su posición horizontal crece lo mismo en cada décima de segundo. ¿Qué indica eso?
Avanzar lo mismo en tiempos iguales es un movimiento uniforme. La caída es otra componente, y esa sí es acelerada.
En esa misma canica, lo que baja en cada décima de segundo es cada vez mayor. ¿Cómo es su movimiento vertical?
Bajar cada vez más en tiempos iguales quiere decir que la rapidez hacia abajo aumenta: es un movimiento acelerado, por la gravedad.
¿Por qué se curva el camino de la canica que cae de la mesa?
La trayectoria junta las dos componentes: un avance uniforme y una caída acelerada. Esa combinación dibuja una parábola.
Un caballito de un carrusel va hacia el norte en un punto, y media vuelta después va hacia el sur, con la misma rapidez. ¿Su velocidad es la misma en los dos puntos?
La velocidad es rapidez y dirección. La rapidez no cambió, pero el caballito pasó de ir al norte a ir al sur: la velocidad es otra.
Si se suelta una piedra que gira atada a una cuerda, ¿hacia dónde sale?
La cuerda es la que obliga a la piedra a cambiar de dirección. Sin ella, la piedra sigue derecho, por la tangente al círculo, como se ve en la escena.
Un balón pateado hacia arriba sube, llega al punto más alto y baja. Si el aire casi no lo frena, ¿cómo es su avance horizontal?
La gravedad solo actúa en vertical. En horizontal nada empuja ni frena el balón, así que avanza siempre lo mismo en tiempos iguales.
En el punto más alto del vuelo, ¿cómo se mueve el balón?
Arriba la componente vertical vale cero un instante, pero la horizontal sigue igual. Por eso el balón no se detiene: pasa por el punto más alto avanzando.
Una canica sale rodando del borde de una mesa y el aire casi no la frena. ¿Cómo es la gráfica de su velocidad horizontal contra el tiempo mientras cae?
En horizontal la canica avanza lo mismo en cada décima de segundo, así que su velocidad horizontal es constante. La curva que baja cada vez más rápido es la de su altura.
Una silla de una rueda de Chicago gira siempre al mismo ritmo. ¿Qué afirmación describe bien su movimiento?
En tiempos iguales recorre arcos iguales, así que la rapidez no cambia. Pero la dirección del movimiento cambia todo el tiempo, y con ella la velocidad: por eso sí hay aceleración.
Reto
¿De qué componente de la canica que cae se habla?
Arrastra cada frase a la canasta de la componente que describe: la horizontal o la vertical. El aire casi no frena la canica.
Reto
El crucigrama de los movimientos en el plano.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Un movimiento en el plano se describe con dos componentes, la horizontal y la vertical; en el parabólico, cada una es un movimiento en línea recta que ya conoces.
En el movimiento parabólico el avance horizontal es uniforme y el movimiento vertical es uniformemente acelerado; las dos componentes no se estorban.
La trayectoria es el camino, sin el tiempo; las gráficas de cada componente tienen el tiempo en el eje horizontal.
En el movimiento circular uniforme la rapidez es constante, pero la velocidad cambia de dirección en cada instante, así que hay aceleración.
Vocabulario
- Trayectoria
El camino que dibuja el móvil en el espacio. En un plano se dibuja con dos ejes de posición, el horizontal y el vertical.
- Componente
Cada una de las partes en que se describe un movimiento en el plano: lo que pasa en la dirección horizontal y lo que pasa en la vertical.
- Movimiento parabólico
El de un objeto lanzado cerca del suelo cuando el aire casi no lo frena: avanza de manera uniforme en horizontal y con aceleración constante en vertical, y su trayectoria es una parábola.
- Movimiento circular uniforme
El de un objeto que recorre una circunferencia con rapidez constante. La dirección de su velocidad cambia en cada instante.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Haga rodar una canica por una mesa hasta que caiga, y deje caer otra desde el borde en el mismo instante. Pregunte cuál llega primero al piso antes de que lo vean.
- Explicación · 20 min — Dos componentes en vez de una; la tabla de la canica, fila por fila; la trayectoria frente a las gráficas contra el tiempo; el balón pateado y la rueda de Chicago.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Las canastas y el crucigrama se pueden resolver en grupo, discutiendo cada frase.
- Cierre · 5 min — Pida que dibujen a mano alzada las gráficas de velocidad horizontal y velocidad vertical contra el tiempo de un balón pateado hacia arriba, y que marquen el punto más alto.
Preguntas para el salón
- En el punto más alto de su vuelo, ¿un balón pateado está quieto? ¿Qué componente de su velocidad es cero y cuál no?
- ¿Por qué decimos que un objeto que gira a ritmo constante está acelerado, si nunca va más rápido?
- Si una canica sale de la mesa el doble de rápido, ¿tarda más, menos o lo mismo en llegar al piso?
Errores típicos
- Confundir la trayectoria con una gráfica contra el tiempo. Pida que digan qué magnitud tiene cada eje antes de interpretar el dibujo; en la trayectoria no hay tiempo.
- Creer que el avance horizontal hace caer más despacio a la canica. Haga la experiencia de las dos canicas, la que rueda y la que se deja caer, y compare cuándo suena cada una al tocar el piso.
- Pensar que en el punto más alto la velocidad del balón es cero. Separe las componentes: en vertical sí es cero por un instante, pero en horizontal el balón sigue avanzando.
- Creer que en el movimiento circular uniforme no hay aceleración porque la rapidez no cambia. Pida que comparen la dirección del movimiento en dos puntos opuestos de la vuelta y recuerde que la velocidad incluye la dirección.
Tarea sugerida
Grabar con el celular, con permiso y acompañados, una pelota que rueda y cae de una mesa (o, si no es posible, dibujar la situación). Hacer a mano una tabla aproximada de cinco posiciones, dibujar la trayectoria y las dos gráficas de posición contra el tiempo, y explicar en dos frases cuál componente es uniforme y cuál es acelerada.