Cambiar de marco de referencia
Lo que vas a aprender
- Calcular la velocidad de un objeto respecto al suelo sumando su velocidad respecto a un vehículo y la velocidad del vehículo, con sus signos.
- Calcular la velocidad de un móvil vista desde otro que se mueve en la misma recta.
- Calcular tiempos de ida y vuelta de una lancha en un río con corriente.
- Explicar cómo cambian las gráficas posición–tiempo y velocidad–tiempo al cambiar de observador, y por qué la aceleración no cambia.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Vas sentado en un bus junto a un amigo. Para ti, tu amigo está quieto: no se acerca ni se aleja. Para una señora que espera en el paradero, tu amigo pasa a toda velocidad, junto con el bus. ¿Quién tiene la razón? Los dos. La velocidad de un objeto depende de quién la mide.
En la primera unidad viste que para describir un movimiento hace falta un marco de referencia: un cuerpo de referencia, un origen, un sentido positivo y un reloj. En esta lección vas a cambiar de marco: vas a pasar de lo que ve alguien en el suelo a lo que ve alguien que va en un bus, en una bicicleta o en una lancha. Con eso podrás saber a qué velocidad se acerca un carro que viene de frente, por qué una lancha tarda más en volver río arriba y cómo cambian las gráficas cuando cambia el observador.
Antes de empezar recuerda que la velocidad lleva signo, y que en una gráfica posición–tiempo la pendiente es la velocidad.
Explicación
La velocidad depende del marco
Piensa en un pasajero que camina por el pasillo de un bus hacia el conductor. Para los demás pasajeros, camina despacio, a paso normal. Pero mientras camina, el bus lo lleva hacia adelante. Para alguien en el andén, el pasajero se mueve con la velocidad del bus más su paso. Si camina hacia la parte de atrás, su paso se resta.
Las dos situaciones caben en una sola regla, siempre que todas las velocidades vayan con su signo sobre la misma recta y con el mismo sentido positivo:
$$v_{\text{respecto al suelo}} = v_{\text{respecto al vehículo}} + v_{\text{del vehículo}}$$
El signo hace todo el trabajo: caminar hacia atrás es una velocidad negativa respecto al bus, y la suma da menos que la velocidad del bus.
Ejemplo resuelto
Un pasajero que camina en el bus
Un bus va por una avenida recta a 10 m/s respecto al suelo; el sentido positivo es el de su avance. Un pasajero camina por el pasillo a 1,5 m/s respecto al bus. ¿Cuál es su velocidad respecto al suelo si camina hacia adelante? ¿Y si camina hacia atrás?
Ver la solución paso a paso
Hacia adelante, su velocidad respecto al bus es +1,5 m/s:
$$1{,}5 + 10$$
Respecto al suelo va a $11{,}5$ m/s.
Hacia atrás, su velocidad respecto al bus es −1,5 m/s:
$$-1{,}5 + 10$$
Respecto al suelo va a $8{,}5$ m/s: sigue avanzando, aunque camine hacia atrás, porque el bus lo lleva.
Respuesta: Hacia adelante va a 11,5 m/s respecto al suelo; hacia atrás, a 8,5 m/s.
Un móvil visto desde otro
A veces conocemos dos velocidades respecto al suelo y queremos saber cómo ve uno de los móviles al otro. Basta con despejar de la misma regla: la velocidad de A vista desde B es la velocidad de A menos la velocidad de B, las dos respecto al suelo.
$$v_{A \text{ vista desde } B} = v_A - v_B$$
Si dos carros van en el mismo sentido, la resta da un número pequeño: uno ve al otro alejarse o acercarse despacio. Si van en sentidos contrarios, las velocidades tienen signos distintos, y la resta da un número grande: por eso un carro que viene de frente parece pasar tan rápido.
Ejemplo resuelto
Dos carros y una moto
En una carretera recta, con el sentido positivo hacia el norte, un carro va a 20 m/s y un camión va delante de él a 15 m/s, los dos hacia el norte. Una moto viene hacia el sur a 12 m/s. ¿A qué velocidad ve el conductor del carro al camión? ¿Y a la moto?
Ver la solución paso a paso
El camión visto desde el carro: velocidad del camión menos velocidad del carro.
$$15 - 20$$
Da $-5$ m/s: desde el carro, el camión se le acerca a 5 m/s, aunque los dos vayan hacia el norte.
La moto va hacia el sur, así que su velocidad es −12 m/s. Vista desde el carro:
$$-12 - 20$$
Da $-32$ m/s: el conductor ve venir la moto a 32 m/s, mucho más rápido que lo que marca el velocímetro de cualquiera de los dos.
Respuesta: El conductor ve al camión a −5 m/s (se le acerca despacio) y a la moto a −32 m/s.
Una lancha en un río
El agua de un río es un marco de referencia que se mueve: la corriente arrastra todo lo que flota. Una lancha con su motor siempre igual tiene la misma velocidad respecto al agua, pero respecto a la orilla va más rápido río abajo, cuando la corriente la empuja, y más despacio río arriba, cuando la corriente va en contra.
Ejemplo resuelto
Ida y vuelta por el río
Una lancha va a 6 m/s respecto al agua, y la corriente del río va a 2 m/s respecto a la orilla. Tomamos como positivo río abajo. La lancha va 240 m río abajo y vuelve. ¿Cuánto tarda en total? ¿Cuánto tardaría si el agua estuviera quieta?
Ver la solución paso a paso
Río abajo, la velocidad de la lancha respecto a la orilla es su velocidad respecto al agua más la de la corriente:
$$6 + 2$$
Va a $8$ m/s.
El tiempo de ida sale de distancia = velocidad × tiempo:
$$8t = 240$$
La ida tarda:
$$t = 30$$
Río arriba, su velocidad respecto al agua es −6 m/s, y la corriente sigue sumando 2 m/s:
$$-6 + 2$$
Respecto a la orilla va a $-4$ m/s: sube, pero solo 4 m en cada segundo.
El tiempo de vuelta:
$$4t = 240$$
La vuelta tarda:
$$t = 60$$
En total:
$$30 + 60$$
Son $90$ s.
Con el agua quieta, recorrería dos veces 240 m a 6 m/s:
$$\frac{2 \cdot 240}{6}$$
Serían $80$ s. La corriente ayuda a la ida, pero estorba más tiempo a la vuelta, y en total el viaje se alarga.
Respuesta: Con corriente tarda 90 s en total (30 s de ida y 60 s de vuelta); con el agua quieta tardaría 80 s.
Cómo cambian las gráficas
Si cambias de observador, cambia la descripción del movimiento, y con ella las gráficas. Supón que una ciclista y un trotador salen juntos del mismo punto y en el mismo sentido. Desde el suelo, la gráfica posición–tiempo de la ciclista es una recta con pendiente igual a su velocidad. Desde el trotador, que sale con ella pero va más despacio en el mismo sentido, la ciclista se aleja más despacio: la recta sigue siendo recta, pero su pendiente se reduce en la velocidad del trotador. En la gráfica velocidad–tiempo, toda la gráfica baja esa misma cantidad.
Gráficas posición–tiempo de la misma ciclista, que va a 5 m/s respecto al suelo, vista por dos observadores que salen con ella del mismo punto: alguien quieto en el suelo y un trotador que va a 3 m/s en el mismo sentido. El eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la posición de la ciclista en el marco de cada observador, en metros. A los 10 s, para el del suelo está en (10; 50) y para el trotador en (10; 20).
¿Y la aceleración? Si el observador va a velocidad constante, a todas las velocidades que mide les resta siempre la misma cantidad. Entonces los cambios de velocidad son los mismos para él que para alguien en el suelo, y la aceleración no cambia. En la gráfica velocidad–tiempo, las dos rectas son paralelas: tienen la misma pendiente. Ojo: esto vale para observadores que no aceleran. Si el observador va en un bus que frena, la suma de velocidades sigue valiendo en cada instante, pero la aceleración que él mide ya no es la misma que desde el suelo; eso queda para cursos posteriores.
Ejemplo resuelto
La aceleración es la misma en los dos marcos
Un bus acelera en una avenida recta y su velocidad respecto al suelo pasa de 2 m/s a 8 m/s en 3 s. Un carro va al lado a 5 m/s constantes, en el mismo sentido, que es el positivo. Calcula la aceleración del bus vista desde el suelo y vista desde el carro.
Ver la solución paso a paso
Desde el suelo:
$$\frac{8 - 2}{3}$$
La aceleración es de $2$ m/s².
Desde el carro, al principio el bus va a $2 - 5$ m/s; se queda atrás:
$$2 - 5$$
Va a $-3$ m/s respecto al carro.
A los 3 s va a $8 - 5$ m/s; ahora va más rápido que el carro:
$$8 - 5$$
Va a $3$ m/s respecto al carro.
La aceleración vista desde el carro es el cambio de esa velocidad entre el tiempo, y da lo mismo que desde el suelo:
$$\frac{3 - \left(-3\right)}{3} = \frac{8 - 2}{3}$$
Respuesta: Desde el suelo y desde el carro la aceleración del bus es de 2 m/s². Lo que cambia son sus velocidades: de 2 m/s a 8 m/s para el suelo, de −3 m/s a 3 m/s para el carro.
Gráficas velocidad–tiempo del bus vistas desde el suelo y desde el carro. El eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la velocidad, en m/s. Desde el carro, toda la gráfica baja 5 m/s: va de (0; −3) a (3; 3) en vez de ir de (0; 2) a (3; 8). Las rectas son paralelas porque la aceleración es la misma.
Práctica
Un tren va por una vía recta a 20 m/s respecto al suelo, en el sentido positivo. Una pasajera camina hacia la locomotora, en el sentido del avance, a 2 m/s respecto al tren. ¿Cuál es su velocidad respecto al suelo, en m/s?
v respecto al suelo = v respecto al tren + v del tren = 2 + 20 = 22 m/s.
Un bus va a 12 m/s respecto al suelo por una avenida recta, en el sentido positivo. Un niño camina hacia la parte de atrás del bus a 1 m/s respecto al bus. ¿Cuál es su velocidad respecto al suelo, en m/s?
Hacia atrás, su velocidad respecto al bus es −1 m/s: −1 + 12 = 11 m/s. Sigue avanzando respecto al suelo, solo que un poco menos que el bus.
Una escalera eléctrica sube a 0,5 m/s respecto al edificio. Una persona camina hacia abajo por ella a 0,8 m/s respecto a los escalones. Con el sentido positivo hacia arriba, ¿cuál es su velocidad respecto al edificio, en m/s?
v = −0,8 + 0,5 = −0,3 m/s: la persona baja, pero despacio, porque la escalera la sube mientras camina. El 0,3 olvida el signo, y el −1,3 suma las dos velocidades como si la escalera también bajara.
Por una carretera recta, un carro va a 25 m/s y un bus a 18 m/s, los dos en el sentido positivo. ¿A qué velocidad ve el conductor del bus al carro, en m/s?
v del carro vista desde el bus = 25 − 18 = 7 m/s: desde el bus, el carro se aleja hacia adelante a 7 m/s.
En una vía recta, un bus va a 10 m/s en el sentido positivo y una moto viene de frente a 15 m/s, en el sentido negativo. ¿A qué velocidad ve el conductor del bus a la moto, en m/s?
La velocidad de la moto respecto al suelo es −15 m/s. Vista desde el bus: −15 − 10 = −25 m/s; se acerca a 25 m/s. El −5 resta las rapideces como si fueran en el mismo sentido.
Una lancha va a 5 m/s respecto al agua en un río cuya corriente va a 1 m/s. Recorre 120 m río abajo y vuelve al punto de partida. ¿Cuántos segundos tarda en total?
Río abajo va a 5 + 1 = 6 m/s y tarda 120 ÷ 6 = 20 s. Río arriba va a 5 − 1 = 4 m/s y tarda 120 ÷ 4 = 30 s. En total, 50 s.
La misma lancha, a 5 m/s respecto al agua, hace los 120 m de ida y los 120 m de vuelta. ¿Verdadero o falso? Con la corriente de 1 m/s tarda lo mismo que con el agua quieta, porque lo que gana a la ida lo pierde a la vuelta.
Con corriente tarda 20 + 30 = 50 s; con el agua quieta, 240 ÷ 5 = 48 s. A la ida gana 4 s, pero a la vuelta pierde 6 s, porque va despacio durante más tiempo.
Un carro acelera en línea recta y su velocidad respecto al suelo pasa de 4 m/s a 10 m/s en 3 s. Una bicicleta va al lado a 4 m/s constantes, en el mismo sentido. ¿Verdadero o falso? Vista desde la bicicleta, la aceleración del carro es menor que vista desde el suelo.
Desde la bicicleta, el carro pasa de 4 − 4 = 0 m/s a 10 − 4 = 6 m/s en 3 s: su aceleración es 2 m/s², la misma que desde el suelo. Las velocidades cambian de un marco a otro; la aceleración no, si el observador no acelera.
Una corredora va a 6 m/s respecto al suelo. Un ciclista sale con ella del mismo punto y va a 4 m/s en el mismo sentido. ¿Qué pendiente tiene la gráfica posición–tiempo de la corredora en el marco del ciclista, en m/s?
La pendiente es la velocidad de la corredora vista desde el ciclista: 6 − 4 = 2 m/s. El 6 es la pendiente vista desde el suelo; el −2 sería la del ciclista visto desde la corredora.
En la figura de la ciclista y el trotador, la ciclista va a 5 m/s y el trotador a 3 m/s, y salen juntos. ¿A cuántos metros del trotador está la ciclista a los 10 s, es decir, cuál es su posición en el marco del trotador?
En el marco del trotador la ciclista va a 5 − 3 = 2 m/s, y en 10 s se aleja 2 · 10 = 20 m. Desde el suelo, la ciclista está a 5 · 10 = 50 m de la salida y el trotador a 3 · 10 = 30 m: la diferencia es la misma, 20 m.
La gráfica posición–tiempo de un carro que va a velocidad constante, hecha desde el suelo, es una recta. ¿Qué cambio necesita esa gráfica para describir el mismo carro desde un bus que va a velocidad constante en el mismo sentido?
Desde el bus, cada velocidad del carro se reduce en la velocidad del bus, así que la recta conserva su forma pero su pendiente es menor (o negativa, si el bus va más rápido). Sumar sería el cambio inverso: del bus al suelo.
Reto
Une cada cuenta con su resultado, y cada situación con lo que ve el observador.
Toca una ficha y luego la que le corresponde. Fíjate en los signos.
Reto
Completa el viaje de una lancha por el río.
Elige el número que completa cada espacio. El sentido positivo es río abajo.
Cierre
En resumen
La velocidad de un objeto depende del marco de referencia desde el que se mide.
Velocidad respecto al suelo = velocidad respecto al vehículo + velocidad del vehículo, con sus signos y el mismo sentido positivo.
La velocidad de A vista desde B es la velocidad de A menos la de B; de frente, las rapideces se suman.
Una corriente acelera la ida y frena la vuelta de una lancha, y el viaje completo se alarga.
Al cambiar a un observador que va a velocidad constante, la pendiente de la gráfica posición–tiempo se reduce en su velocidad; la aceleración no cambia.
Vocabulario
- Marco de referencia
El punto de vista desde el que se describe un movimiento: un cuerpo de referencia, un origen, un sentido positivo y un reloj, unidos a un observador.
- Velocidad relativa
La velocidad de un objeto medida desde un marco de referencia que también se mueve.
- Observador
Quien describe el movimiento desde su marco de referencia; puede estar quieto en el suelo o ir en un vehículo.
- Corriente
El movimiento del agua de un río respecto a la orilla. Arrastra todo lo que flota en ella.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte a qué velocidad se mueve un estudiante sentado en su puesto. Deje que discutan respuestas como «cero» o «lo que gira la Tierra», y llévelos a que la respuesta depende del marco.
- Explicación · 25 min — La regla de la suma con el pasajero del bus; un móvil visto desde otro con los carros y la moto; la lancha en el río; las gráficas de los dos observadores y la aceleración que no cambia.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas, escribiendo siempre el sentido positivo antes de reemplazar. El dominó y los huecos se pueden resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Pida que cada pareja dibuje la gráfica posición–tiempo de un compañero que camina, vista desde el piso y vista desde otro que camina a su lado más despacio.
Preguntas para el salón
- Si dos carros van uno al lado del otro a la misma velocidad, ¿cómo ve cada conductor al otro? ¿Qué gráfica posición–tiempo dibujaría cada uno?
- ¿Por qué una lancha tarda más en un viaje de ida y vuelta por un río que en un lago, si la corriente ayuda a la ida?
- En un bus que frena de golpe, los pasajeros se van hacia adelante. ¿Por qué, vista desde ese bus, la aceleración de las cosas ya no es la misma que desde el suelo, si la suma de velocidades sigue valiendo en cada instante?
Errores típicos
- Sumar siempre las rapideces, sin mirar los sentidos. Pida que escriban el sentido positivo y el signo de cada velocidad antes de sumar; contraste el pasajero que camina hacia adelante con el que camina hacia atrás.
- Restar en el orden equivocado al calcular la velocidad de A vista desde B. Pida que digan con palabras quién mira a quién y que comprueben con el sentido común: ¿desde el carro rápido, el lento se acerca o se aleja?
- Creer que la corriente no cambia el tiempo total de ida y vuelta. Pida que calculen los dos tiempos por separado y que comparen con el lago; luego pregunte en qué tramo pasa más tiempo la lancha.
- Creer que la aceleración también cambia al pasar a un marco que va a velocidad constante. Use la gráfica velocidad–tiempo del bus visto desde el carro: las dos rectas son paralelas.
Tarea sugerida
Inventar una situación con dos observadores (por ejemplo, alguien en un andén y alguien en un bus, o una lancha en un río), con velocidades dichas como inventadas; calcular las velocidades en los dos marcos y dibujar las dos gráficas posición–tiempo en el mismo plano. Explicar en dos frases qué cambió de una gráfica a la otra y qué no.