Cruce de prueba y probabilidad
Lo que vas a aprender
- Usar el cruce de prueba con el homocigoto recesivo para averiguar si un organismo de fenotipo dominante es homocigoto o heterocigoto.
- Calcular la probabilidad de que varios descendientes tengan un carácter con la regla del producto.
- Explicar por qué los hermanos de una misma familia pueden ser distintos entre sí.
- Explicar por qué pocos descendientes no bastan para estar seguros del genotipo de un progenitor.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un ganadero tiene un toro mocho, es decir, sin cuernos. En el ganado, el alelo M (sin cuernos) es dominante sobre m (con cuernos). El ganadero quiere que todos sus terneros salgan mochos, pero mirando al toro no puede saber si es MM o Mm: los dos se ven iguales. ¿Cómo averiguarlo sin hacer ningún examen de laboratorio?
En esta lección aprendes el cruce de prueba, el cruce que revela el genotipo escondido, y la regla del producto, que permite calcular la probabilidad de que varias crías salgan de cierta manera. Con las dos entenderás también por qué los hermanos de una misma camada pueden ser tan distintos.
Antes de empezar repasa cómo se arma una tabla de Punnett y cómo se multiplican dos fracciones.
Explicación
El problema: el fenotipo no muestra el genotipo
Ya sabes que una planta de guisante alta puede ser TT o Tt, y que las dos se ven iguales. Para un agricultor o un ganadero la diferencia importa mucho: una planta TT solo pasa el alelo T a sus hijas, y una Tt puede pasar el alelo t escondido.
El cruce de prueba
La solución es cruzar el organismo de genotipo desconocido con un homocigoto recesivo, tt: es el cruce de prueba. (Si la planta tt es uno de sus padres, ese cruce es además un retrocruce, un cruce con un progenitor; por eso muchos textos usan los dos nombres.) ¿Por qué precisamente con tt? Porque tt solo forma gametos t, que nunca tapan nada. Así, el fenotipo de cada hijo muestra qué alelo le pasó el otro progenitor: si el hijo es alto, recibió un T; si es enano, recibió un t.
Hay dos casos posibles:
| Planta probada | Gametos | Hijos con tt |
|---|---|---|
| TT | solo T | todos Tt, todos altos |
| Tt | T y t | la mitad Tt (altos) y la mitad tt (enanos) |
Si la planta probada es Tt, los hijos salen altos y enanos en proporción 1:1. Si es TT, todos salen altos. Basta con que aparezca un solo hijo enano para estar seguros de que la planta probada es Tt.
La regla del producto
Cada hijo de un cruce es un sorteo nuevo: el gameto que da cada progenitor no depende de lo que les tocó a los hermanos anteriores. Se dice que los hijos son eventos independientes. Para eventos independientes vale la regla del producto: la probabilidad de que pasen los dos a la vez es el producto de sus probabilidades.
Por ejemplo, si cada cría de una pareja tiene probabilidad un cuarto de ser blanca, la probabilidad de que dos crías sean blancas es un cuarto de un cuarto. Cada condición más que se pide hace la probabilidad más pequeña.
Un error muy común es creer que «ya le toca»: si nacieron dos crías negras, la tercera no tiene más probabilidad de ser blanca. Los gametos no recuerdan lo que pasó antes.
Cuántos hijos hacen falta
La regla del producto explica una trampa del cruce de prueba. Si la planta probada es Tt, cada hijo tiene la mitad de probabilidad de salir alto. Puede pasar, por puro azar, que los primeros hijos salgan todos altos, y el agricultor crea que la planta es TT. Con pocos hijos esa equivocación es bastante probable; con muchos, se vuelve muy improbable. Por eso un cruce de prueba serio necesita muchos descendientes.
Por qué los hermanos son distintos
Dos crías de los mismos padres reciben cada una su propia combinación de gametos. En un cruce Nn × Nn, una cría puede ser NN, otra Nn y otra nn. Por eso los hermanos de una camada pueden tener colores distintos aunque tengan los mismos padres: es la segregación de los alelos, cría por cría. Esa es una de las causas de la variabilidad entre organismos de una misma familia; otra, que verás en la próxima unidad, es la manera en que se combinan varios genes a la vez.
Ejemplo resuelto
El cruce de prueba de una planta alta
Una planta alta de genotipo desconocido se cruza con una planta enana tt. ¿Qué probabilidad tiene un hijo de ser alto si la planta es TT? ¿Y si es Tt?
Ver la solución paso a paso
Si la planta es TT, todos sus gametos son T y todos los hijos son Tt: $P(\mathit{T\_})\text{ en }\mathit{TT} \times \mathit{tt}$
$1$: todos los hijos son altos.
Y no puede nacer ningún hijo enano:
$$P(\mathit{tt})\text{ en }\mathit{TT} \times \mathit{tt} = 0$$
Si la planta es Tt, la tabla tiene dos casillas Tt y dos tt: $P(\mathit{T\_})\text{ en }\mathit{Tt} \times \mathit{tt}$
$\frac{1}{2}$
Los hijos altos y los enanos son igual de probables: es la proporción 1:1.
$$P(\mathit{T\_})\text{ en }\mathit{Tt} \times \mathit{tt} = P(\mathit{tt})\text{ en }\mathit{Tt} \times \mathit{tt}$$
Respuesta: Si la planta es TT, la probabilidad de un hijo alto es 1; si es Tt, es 1/2, y la otra mitad de los hijos se espera enana.
Ejemplo resuelto
La regla del producto en una camada
En el curí, el pelo negro (N) es dominante sobre el blanco (n). Un macho Nn y una hembra Nn esperan crías. ¿Qué probabilidad hay de que sus 3 primeras crías sean blancas? ¿Y de que la primera sea negra y la segunda blanca?
Ver la solución paso a paso
Una cría es blanca si es nn: $P(\mathit{nn})\text{ en }\mathit{Nn} \times \mathit{Nn}$
$\frac{1}{4}$
Las crías son independientes, así que para tres crías blancas multiplicamos un cuarto tres veces: $\left(\frac{1}{4}\right)^{3}$
$\frac{1}{64}$: más o menos una de cada sesenta y cuatro parejas Nn tendría sus tres primeras crías blancas.
Para la segunda pregunta necesitamos la probabilidad de una cría negra, N_: $P(\mathit{N\_})\text{ en }\mathit{Nn} \times \mathit{Nn}$
$\frac{3}{4}$
Negra la primera y blanca la segunda: $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{3}{16}$
Respuesta: La probabilidad de 3 crías blancas seguidas es 1/64, y la de una negra y después una blanca es 3/16.
Ejemplo resuelto
¿Cuántos hijos hacen falta?
Una planta alta que en realidad es Tt se cruza con tt. ¿Qué probabilidad hay de que sus 5 primeros hijos salgan todos altos, y el agricultor crea por error que es TT? ¿Y con 10 hijos?
Ver la solución paso a paso
Cada hijo sale alto con probabilidad $P(\mathit{T\_})\text{ en }\mathit{Tt} \times \mathit{tt}$
$\frac{1}{2}$
Para cinco hijos altos seguidos multiplicamos cinco veces: $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$
$\frac{1}{32}$: no es tan raro.
Con diez hijos: $\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
$\frac{1}{1024}$: muy improbable, más o menos una vez de cada mil.
Con más hijos, la equivocación es mucho menos probable:
$$\frac{1}{1024} < \frac{1}{32}$$
Respuesta: Con 5 hijos la probabilidad de equivocarse es 1/32; con 10 hijos baja a 1/1024.
Ejemplo resuelto
Hermanos de distinto color
Un macho y una hembra de curí, los dos Nn, tienen 2 crías. ¿Qué probabilidad hay de que las dos crías tengan colores distintos?
Ver la solución paso a paso
Ya calculamos que una cría es negra con probabilidad tres cuartos:
$$P(\mathit{N\_})\text{ en }\mathit{Nn} \times \mathit{Nn} = \frac{3}{4}$$
Y blanca con probabilidad un cuarto:
$$P(\mathit{nn})\text{ en }\mathit{Nn} \times \mathit{Nn} = \frac{1}{4}$$
Las dos negras, por la regla del producto: $\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$
$\frac{9}{16}$
Las dos blancas: $\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$
$\frac{1}{16}$
Si no son del mismo color, son de colores distintos. Restamos de 1 los dos casos de igual color: $1 - \frac{9}{16} - \frac{1}{16}$
$\frac{3}{8}$: en más de un tercio de las parejas de hermanos, uno es negro y el otro blanco, aunque tengan los mismos padres.
Respuesta: La probabilidad de que las 2 crías tengan colores distintos es 3/8.
Práctica
Una planta alta Tt se cruza con una enana tt. ¿Qué probabilidad tiene un hijo de ser enano?
La planta Tt da gametos T y t por mitades, y la tt solo da t: la mitad de los hijos son tt. El 1/4 es el de un cruce Tt × Tt.
Una planta alta TT se cruza con una enana tt. ¿Qué probabilidad tiene un hijo de ser alto?
Todos los gametos de la planta TT llevan T, así que todos los hijos son Tt y todos son altos.
Una planta de semilla amarilla (A es dominante sobre a, verde) se cruza con una planta aa, y salen semillas amarillas y también semillas verdes. ¿Qué genotipo tenía la planta amarilla?
Una semilla verde es aa: recibió un a de cada progenitor. La planta aa solo da a, pero el otro a tuvo que venir de la planta amarilla, que por eso es Aa. Una planta AA no podría tener hijos verdes con aa.
¿Verdadero o falso? Si una planta Tt se cruza con tt, la probabilidad de que 4 hijos seguidos salgan altos es 1/16.
Cada hijo sale alto con probabilidad 1/2, y los hijos son independientes: (1/2)⁴ = 1/16.
Un macho y una hembra de curí, los dos Nn (N, negro, dominante sobre n, blanco), esperan crías. ¿Qué probabilidad hay de que sus 2 primeras crías sean blancas? Escribe la fracción.
Cada cría es blanca (nn) con probabilidad 1/4. Por la regla del producto, 1/4 · 1/4 = 1/16.
En el mismo cruce de curíes Nn × Nn, ¿qué probabilidad hay de que la primera cría sea blanca y la segunda negra?
Blanca la primera, 1/4; negra la segunda, 3/4. Como son independientes, 1/4 · 3/4 = 3/16. El 1 sale de sumar 1/4 + 3/4, que no responde a esta pregunta.
En la F2 de Tt × Tt, de cada cuatro plantas se esperan tres altas. Si escoges al azar una de las plantas altas, ¿qué probabilidad hay de que sea heterocigota, Tt? Escribe la fracción.
En la tabla de Punnett hay tres casillas altas: una TT y dos Tt. Entre las altas, dos de cada tres son Tt: 2/3. Por eso, para saber si una planta alta sirve como línea pura, hay que hacerle un cruce de prueba.
En un cruce de curíes Nn × Nn ya nacieron 2 crías negras. ¿Verdadero o falso? Para la tercera cría se cumple $P(\mathit{nn})\text{ en }\mathit{Nn} \times \mathit{Nn} > \frac{1}{4}$
La probabilidad de una cría blanca sigue siendo 1/4: los gametos no recuerdan lo que les tocó a los hermanos anteriores. Creer que «ya le toca» a una blanca es un error común.
En el ganado, el alelo M (sin cuernos, mocho) es dominante sobre m (con cuernos). Un toro mocho Mm se cruza con vacas con cuernos mm y nacen 20 terneros (número inventado). ¿Cuántos terneros mochos se esperan?
En el cruce de prueba de un heterocigoto, la mitad de los hijos son Mm (mochos) y la mitad mm: 20 · 1/2 = 10, aproximadamente.
Dos curíes Nn × Nn tienen dos crías. ¿Qué probabilidad hay de que las dos crías sean de colores distintos, una negra y otra blanca?
Las dos negras, 9/16; las dos blancas, 1/16. Lo que queda es 1 − 9/16 − 1/16 = 6/16 = 3/8. El 3/16 cuenta solo un orden (negra y después blanca) y olvida el otro.
Dos curíes negros, los dos Nn, tienen una camada con crías negras y crías blancas. ¿Por qué los hermanos salen distintos?
Cada progenitor Nn forma gametos N y n por mitades, y cada cría resulta de juntar un gameto de cada uno. Unas crías reciben N de alguno de los dos, y otras reciben n de los dos: esas son blancas.
Reto
¿Puede nacer o no puede nacer?
Cada tarjeta es la probabilidad de un genotipo en un cruce. Si vale más que cero, ese hijo puede nacer; si vale cero, no puede. «A_» quiere decir AA o Aa.
Reto
Abre el candado con los hijos esperados.
Cada pista da un dígito: multiplica el número de hijos por la probabilidad del genotipo que se pide.
Cierre
En resumen
El cruce de prueba junta un organismo de fenotipo dominante con el homocigoto recesivo; el fenotipo de cada hijo muestra qué alelo le pasó el organismo probado.
Si el organismo probado es homocigoto dominante, todos los hijos tienen el fenotipo dominante; si es heterocigoto, se esperan en proporción 1:1.
Un solo hijo de fenotipo recesivo en el cruce de prueba basta para saber que el progenitor es heterocigoto; muchos hijos dominantes seguidos hacen muy improbable que sea heterocigoto: con 10, la probabilidad de equivocarse es 1/1024.
Los hijos son eventos independientes, y la probabilidad de varios resultados a la vez es el producto de sus probabilidades.
Los hermanos son distintos porque cada uno recibe al azar su propia combinación de alelos de los mismos padres.
Vocabulario
- Cruce de prueba
Cruce de un organismo de fenotipo dominante y genotipo desconocido con un homocigoto recesivo, para averiguar su genotipo. Si ese homocigoto recesivo es uno de los padres del organismo, el cruce es además un retrocruce (un cruce con un progenitor), y por eso en muchos textos se usan los dos nombres.
- Eventos independientes
Dos resultados en los que lo que pasa en uno no cambia la probabilidad del otro, como el color de dos crías distintas de la misma pareja.
- Regla del producto
La probabilidad de que ocurran a la vez dos eventos independientes es el producto de sus probabilidades.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee el problema del toro mocho y pida propuestas para saber su genotipo sin laboratorio.
- Explicación · 20 min — El cruce de prueba con las dos tablas de Punnett (TT × tt y Tt × tt) y la regla del producto con el ejemplo de la camada de curíes. Resuelva en el tablero el ejemplo de los 5 y los 10 hijos.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas y los dos retos. Pida que cada pareja explique la pregunta de las crías que «ya les toca» a la otra pareja.
- Cierre · 5 min — Vuelva al toro: ¿con cuántas vacas con cuernos lo cruzarían, y qué tendría que pasar para estar casi seguros de que es MM? ¿Se puede estar seguro del todo?
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el cruce de prueba se hace con el homocigoto recesivo y no con un heterocigoto?
- Si en un cruce de prueba sale un solo hijo de fenotipo recesivo, ¿qué sabemos del progenitor? ¿Y si salen todos dominantes?
- Si ya nacieron dos crías negras, ¿la tercera tiene más probabilidad de ser blanca?
- ¿Por qué dos hermanos de una misma camada pueden tener colores distintos?
Errores típicos
- Sumar las probabilidades cuando se pide que ocurran dos cosas a la vez. Pregunte si es más fácil o más difícil que pasen dos cosas que una sola: la probabilidad tiene que bajar, y al sumar sube.
- Creer que pocos hijos dominantes prueban que el progenitor es homocigoto. Calcule con ellos (1/2)⁵ y compare con lanzar una moneda y sacar cinco caras seguidas.
- Creer que los resultados anteriores cambian la probabilidad del siguiente hijo. Recuerde que cada gameto se forma sin saber nada de los hermanos; la moneda tampoco recuerda.
- Contar un solo orden cuando se pide que dos hermanos sean distintos. Pida que escriban los dos casos (negra-blanca y blanca-negra) antes de calcular.
Tarea sugerida
Diseñar el cruce de prueba para averiguar si una mosca de alas normales es VV o Vv: escribir las dos tablas de Punnett, decir qué resultado esperarían en cada caso y calcular la probabilidad de equivocarse si solo nacen 6 moscas y todas tienen alas normales.