Magnitudes y unidades
Lo que vas a aprender
- Distinguir una magnitud física de una cualidad que no se puede medir, y una magnitud fundamental de una derivada.
- Reconocer las unidades del Sistema Internacional y usar sus prefijos para expresar una medida.
- Escribir una medida en notación científica y pasarla de un prefijo a otro.
- Contar las cifras significativas de una medida y redondear un resultado sin inventar precisión.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Si alguien te dice que la tienda queda «a cinco», no sabes si son cinco minutos, cinco cuadras o cinco kilómetros. En física pasa lo mismo: un número solo no dice nada; necesita su unidad. Además, la física trabaja con cosas diminutas, como el grosor de un cabello, y con cosas enormes, como la distancia entre dos ciudades. Escribir muchos ceros es una invitación a equivocarse.
En esta lección aprendes el idioma común de las medidas: las magnitudes, el Sistema Internacional, sus prefijos, la notación científica y las cifras significativas, que dicen qué tan precisa es una medida. Todo el curso se escribe en este idioma.
Antes de empezar repasa las potencias de 10 con exponente negativo, por ejemplo $10^{-2} = \tfrac{1}{100}$, y cómo se multiplica y se divide un decimal por 10, 100 y 1000.
Explicación
Magnitudes físicas
Una magnitud física es una propiedad de un cuerpo o de un fenómeno que se puede medir: la longitud de una mesa, la masa de una fruta, el tiempo que tarda un bus en llegar, la temperatura del agua. Medir es comparar con una cantidad fija que se toma como patrón: la unidad. Por eso toda medida tiene dos partes, un número y una unidad. Decir que una mesa mide 1,2 m es decir que su largo es 1,2 veces el metro.
No toda cualidad es una magnitud. Lo bonito de un paisaje o lo agradable de una canción no se pueden comparar con un patrón ni expresar con un número y una unidad.
Fundamentales y derivadas
Algunas magnitudes se eligen como base del sistema y no se definen a partir de otras: son las magnitudes fundamentales. Las demás, las derivadas, se obtienen multiplicando y dividiendo las fundamentales. El área de un rectángulo es longitud por longitud, y se mide en m²; la velocidad es longitud dividida entre tiempo, en m/s; la densidad es masa dividida entre volumen, en kg/m³.
El Sistema Internacional
Para que una medida signifique lo mismo en cualquier laboratorio, la ciencia usa el Sistema Internacional de Unidades (SI). Sus siete magnitudes fundamentales son:
| Magnitud | Unidad | Símbolo |
|---|---|---|
| Longitud | metro | m |
| Masa | kilogramo | kg |
| Tiempo | segundo | s |
| Intensidad de corriente eléctrica | ampere (amperio) | A |
| Temperatura | kelvin | K |
| Cantidad de sustancia | mol | mol |
| Intensidad luminosa | candela | cd |
En este curso usarás casi siempre las tres primeras. Las unidades derivadas se nombran con las fundamentales que las forman: m/s se lee «metro por segundo». Algunas tienen nombre propio; la unidad de fuerza, el newton (N), equivale a kg·m/s².
Cuidado con una confusión muy común. La masa es una magnitud fundamental, se mide en kilogramos y no cambia si llevas el objeto a otro lugar. El peso es la fuerza con que la gravedad atrae al objeto: es una magnitud derivada, se mide en newtons y sí depende del lugar. Cuando en la tienda dicen «pesa dos kilos», en física eso es una masa.
Los símbolos de las unidades se escriben sin punto, sin plural y separados del número por un espacio: 5 kg, no «5 kgs.» ni «5Kg». La mayúscula se reserva, sobre todo, para los símbolos que vienen del apellido de una persona: N por Newton, A por Ampère.
Prefijos
Para no escribir tantos ceros, el SI usa prefijos que multiplican la unidad por una potencia de 10. Estos son los que más vas a usar:
| Prefijo | Símbolo | Factor |
|---|---|---|
| giga | G | $10^{9}$ |
| mega | M | $10^{6}$ |
| kilo | k | $10^{3}$ |
| centi | c | $10^{-2}$ |
| mili | m | $10^{-3}$ |
| micro | μ | $10^{-6}$ |
| nano | n | $10^{-9}$ |
Así, un kilómetro son mil metros y un milisegundo es una milésima de segundo. Fíjate en las mayúsculas: M (mega) y m (mili) no son lo mismo, y la diferencia entre ellos es enorme.
Hay una rareza: el kilogramo es la única unidad fundamental que ya trae prefijo. Por eso los prefijos de masa se le ponen al gramo: se dice miligramo, no «microkilogramo».
Notación científica
Un número está en notación científica cuando se escribe como $a \times 10^{n}$, con $a$ mayor o igual que 1 y menor que 10, y $n$ entero. El exponente cuenta cuántos lugares se movió la coma: en los números mayores que 10 la coma se corre a la izquierda y el exponente es positivo; en los menores que 1 se corre a la derecha y el exponente es negativo. Si el número ya está entre 1 y 10, la coma no se mueve y el exponente es 0.
Los prefijos y la notación científica se llevan bien, porque los dos hablan en potencias de 10. Pasar de un prefijo a otro es multiplicar o dividir por la potencia que los separa.
Cifras significativas
Ningún instrumento mide con exactitud perfecta. Si con una regla graduada en milímetros mides un lápiz, puedes leer con seguridad los centímetros y los milímetros, y estimar una cifra más, a ojo, entre dos rayitas. Las cifras significativas de una medida son las que el instrumento permite conocer: todas las seguras y la primera estimada.
Para contarlas en una medida ya escrita:
- Toda cifra distinta de cero es significativa.
- Los ceros que están entre cifras distintas de cero son significativos.
- Los ceros de la izquierda no son significativos: solo ubican la coma.
- Los ceros del final, después de la coma, sí son significativos: dicen que esa cifra se midió. Por eso 12,0 cm y 12 cm no son la misma medida: la primera es más precisa.
- Los ceros del final de un número sin coma son ambiguos. La notación científica resuelve la duda, porque en $a$ solo se escriben las cifras que se midieron.
Cuando calculas con medidas, la calculadora muestra muchas cifras, pero el resultado no puede ser más preciso que los datos. Una regla práctica para multiplicar y dividir: deja en el resultado tantas cifras significativas como tenga el dato que menos tiene, y redondea solo al final.
Ejemplo resuelto
De metros a micrómetros
Con un instrumento mides el grosor de un cabello y obtienes 0,000075 m (medida inventada). Escríbelo en notación científica y en micrómetros.
Ver la solución paso a paso
Corremos la coma cinco lugares a la derecha, hasta que quede una sola cifra distinta de cero delante de ella. Como el número es pequeño, el exponente es negativo:
$$0{,}000075 = 7{,}5 \times 10^{-5}$$
Un micrómetro es $10^{-6}$ m. Para saber cuántos micrómetros caben en la medida, la dividimos entre el tamaño de un micrómetro: $\frac{7{,}5 \times 10^{-5}}{10^{-6}}$
Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes, y queda $7{,}5 \times 10^{1}$
Es decir, $75$ micrómetros.
Respuesta: el grosor es $7{,}5 \times 10^{-5}$ m, que son 75 μm. Las dos escrituras tienen dos cifras significativas, como la medida original: los ceros de la izquierda de 0,000075 no cuentan.
Respuesta: 7,5 × 10⁻⁵ m = 75 μm.
Ejemplo resuelto
De kilómetros a metros en notación científica
La distancia por carretera entre dos pueblos es 345 km (dato inventado). Escríbela en metros y en notación científica.
Ver la solución paso a paso
Un kilómetro son $10^{3}$ m, así que multiplicamos por esa potencia: $345 \times 10^{3}$
En metros, la distancia es $345\,000$ m.
Para la notación científica corremos la coma cinco lugares a la izquierda, hasta dejar una sola cifra delante. El exponente es positivo porque el número es grande: $3{,}45 \times 10^{5}$
Comprobación: $3{,}45$ está entre 1 y 10, y $10^{5}$ es cien mil. Mil veces 345 da lo mismo que 3,45 por cien mil.
Respuesta: 345 000 m = 3,45 × 10⁵ m.
Ejemplo resuelto
Contar cifras significativas
Cuenta las cifras significativas de 0,0450 kg, 2,03 s y 1200 m, y escribe cada medida en notación científica sin cambiar lo que dice de su precisión.
Ver la solución paso a paso
En 0,0450 kg, los dos ceros de la izquierda solo ubican la coma. El 4, el 5 y el cero final sí cuentan: son tres cifras significativas, y en notación científica se conservan las tres.
$$0{,}0450 = 4{,}50 \times 10^{-2}$$
En 2,03 s el cero está entre dos cifras distintas de cero, así que cuenta: tres cifras. El número ya tiene una sola cifra delante de la coma, y el exponente es cero.
$$2{,}03 = 2{,}03 \times 10^{0}$$
En 1200 m no sabemos si los ceros se midieron. Si la distancia se midió con aproximación a la centena, tiene dos cifras significativas y se escribe así:
$$1200 = 1{,}2 \times 10^{3}$$
Si se midió con aproximación a la decena, tiene tres, y el cero que se midió se escribe:
$$1200 = 1{,}20 \times 10^{3}$$
Y si se midió al metro, tiene cuatro, y se escriben los dos ceros:
$$1200 = 1{,}200 \times 10^{3}$$
Conclusión: 0,0450 kg y 2,03 s tienen tres cifras significativas cada una. 1200 m es ambiguo, y la notación científica deja clara la precisión: dos cifras en $1{,}2 \times 10^{3}$, tres en $1{,}20 \times 10^{3}$ y cuatro en $1{,}200 \times 10^{3}$. Como valores son iguales; como medidas, no.
Respuesta: 0,0450 kg = 4,50 × 10⁻² kg (tres cifras); 2,03 s (tres cifras); 1200 m = 1,2 × 10³ m (dos cifras), 1,20 × 10³ m (tres) o 1,200 × 10³ m (cuatro), según cómo se midió.
Práctica
¿Cuál de estas magnitudes es fundamental en el Sistema Internacional?
El tiempo es una de las siete magnitudes fundamentales del SI, y su unidad es el segundo. La velocidad (m/s), el área (m²) y la densidad (kg/m³) se obtienen combinando fundamentales: son derivadas.
Un tornillo mide 4,2 mm de largo (medida inventada). ¿Cuánto mide en metros? Escribe el número decimal.
Un milímetro es una milésima de metro: 4,2 mm = 4,2 × 10⁻³ m = 0,0042 m. Al dividir entre mil, la coma se corre tres lugares a la izquierda.
Un cronómetro electrónico registra un tiempo de 0,00052 s. ¿Cómo se escribe en notación científica?
Se corre la coma cuatro lugares a la derecha para dejar 5,2, así que el exponente es −4. 0,52 × 10⁻² vale 0,0052, y además no está en notación científica, porque 0,52 es menor que 1.
Una carrera de atletismo inventada tiene un recorrido de 42 km. ¿Cuál es esa distancia en metros, en notación científica?
42 km = 42 × 10³ m = 42 000 m. Para dejar una sola cifra delante de la coma se corre un lugar más: 4,2 × 10⁴ m.
Un destello de luz de un aparato inventado dura 0,003 s. ¿Cuántos microsegundos dura?
Un microsegundo es 10⁻⁶ s. Se divide la medida entre ese tamaño: 0,003 ÷ 10⁻⁶ = 3 × 10⁻³ × 10⁶ = 3 × 10³ = 3000 μs.
Una señal eléctrica inventada tarda 2 μs en recorrer un cable. ¿Cuántos nanosegundos son?
2 μs = 2 × 10⁻⁶ s, y un nanosegundo es 10⁻⁹ s. El cociente es 2 × 10³ = 2000 ns: entre micro y nano hay un factor de mil.
¿Verdadero o falso? Como un milímetro es 10⁻³ m y un micrómetro es 10⁻⁶ m, en un milímetro caben mil micrómetros: $\frac{10^{-3}}{10^{-6}} = 1000$
10⁻³ ÷ 10⁻⁶ = 10³ = 1000. Un milímetro tiene mil micrómetros, igual que un metro tiene mil milímetros.
¿Verdadero o falso? Como un kilómetro tiene mil metros, 0,05 km son 500 m: $0{,}05 \cdot 1000 = 500$
0,05 × 1000 = 50, así que 0,05 km son 50 m. Al multiplicar por mil la coma se corre tres lugares a la derecha, no cuatro.
¿Verdadero o falso? Como mega es 10⁶ y mili es 10⁻³, un megámetro equivale a mil millones de milímetros: $\frac{10^{6}}{10^{-3}} = 10^{9}$
10⁶ ÷ 10⁻³ = 10⁹, que es mil millones. Por eso confundir la M mayúscula con la m minúscula es un error enorme.
¿Cuántas cifras significativas tiene la medida 0,0300 m?
Los dos ceros de la izquierda solo ubican la coma. El 3 y los dos ceros del final sí cuentan, porque están después de la coma y dicen que esas cifras se midieron: 3,00 × 10⁻² m, tres cifras.
Un bloque tiene una masa de 25,0 g y un volumen de 7,00 cm³ (datos inventados). Su densidad es la masa dividida entre el volumen. ¿Cuánto vale, en g/cm³? Escríbela con las cifras significativas que permiten los datos.
25,0 ÷ 7,00 = 3,571428… Los dos datos tienen tres cifras significativas (los ceros después de la coma se midieron), así que el resultado lleva tres: 3,57 g/cm³. Escribir todas las cifras de la calculadora haría creer que la medida es mucho más precisa de lo que es.
Cada marca de la escala es una potencia de diez de metros: 10⁻⁹ es un nanómetro, 10⁻⁶ un micrómetro, 10⁻³ un milímetro y 10³ un kilómetro. Escribe cada longitud en notación científica, lleva la ficha a la marca de su exponente y toca «Comprobar».
En la escala de potencias de diez, ¿junto a qué marca va la longitud 0,000002 m?
0,000002 m = 2 × 10⁻⁶ m: la coma se corre seis lugares a la derecha. Va junto a 10⁻⁶ m, el micrómetro: son 2 μm.
Reto
Une cada prefijo con su factor.
Cada prefijo multiplica la unidad por una potencia de 10. Une las fichas que dicen lo mismo.
Reto
Abre el candado con conversiones.
Cada pista da un dígito. Usa los prefijos: kilo es mil y centi es una centésima.
Cierre
En resumen
Una magnitud física es una propiedad que se puede medir; toda medida es un número con su unidad.
Las magnitudes fundamentales son la base del sistema; las derivadas se forman multiplicando y dividiendo fundamentales.
En el SI, la longitud se mide en metros, la masa en kilogramos y el tiempo en segundos; masa y peso son magnitudes distintas.
Los prefijos (kilo, mili, micro…) multiplican la unidad por una potencia de 10, y la notación científica escribe a × 10ⁿ con a mayor o igual que 1 y menor que 10.
Las cifras significativas dicen qué tan precisa es una medida; un resultado no puede tener más precisión que sus datos.
Vocabulario
- Magnitud física
Propiedad de un cuerpo o de un fenómeno que se puede medir comparándola con una unidad, y que se expresa con un número y esa unidad.
- Unidad
Cantidad fija de una magnitud que se toma como patrón para medir las demás cantidades de esa magnitud.
- Magnitud fundamental
Magnitud que se toma como base del sistema de unidades y no se define a partir de otras. En el SI son siete; la longitud, la masa y el tiempo son tres de ellas.
- Magnitud derivada
Magnitud que se obtiene multiplicando o dividiendo magnitudes fundamentales, como el área, la velocidad o la densidad.
- Notación científica
Escritura de un número como a × 10ⁿ, con a mayor o igual que 1 y menor que 10 (en valor absoluto) y n entero.
- Cifras significativas
Las cifras de una medida que el instrumento permite conocer: todas las seguras y la primera estimada.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Diga «la tienda queda a cinco» y pregunte qué falta para entender la frase. Pida tres ejemplos de cosas que se miden y uno de algo que no se pueda medir.
- Explicación · 20 min — Magnitudes, SI y prefijos con las dos tablas en el tablero; después los tres ejemplos, con énfasis en el sentido en que se corre la coma.
- Práctica · 20 min — Preguntas y retos en parejas. Lleve una regla y un objeto pequeño para que cada pareja mida y diga cuántas cifras significativas tiene su medida.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe en un papel una medida con un prefijo y la misma medida en notación científica, y se la pasa a un compañero para que la revise.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no basta con decir «la mesa mide 2»?
- Si en la tienda le dicen «pesa dos kilos», ¿de qué magnitud le están hablando, en física?
- ¿Es lo mismo medir 12 cm que 12,0 cm? ¿Qué instrumento daría cada medida?
- ¿Por qué el kilogramo, que es fundamental, ya trae un prefijo?
Errores típicos
- Correr la coma hacia el lado equivocado al pasar a notación científica. Pida que comprueben el signo del exponente: un número menor que 1 lleva exponente negativo; uno mayor que 10, positivo.
- Confundir M (mega) con m (mili), o escribir Kg y Km con mayúscula. Ponga en el tablero 5 Mm y 5 mm y pida que digan cuántas veces es mayor una que otra.
- Contar como significativos los ceros de la izquierda. Pase la medida a notación científica: los ceros que desaparecen no eran significativos.
- Copiar todas las cifras de la calculadora en el resultado. Pregunte si la regla con la que se midió aprecia millonésimas de centímetro.
- Decir que la masa y el peso son lo mismo. Anuncie que el peso se estudia en la unidad de las leyes de Newton, y por ahora pida que digan masa cuando la unidad es el kilogramo.
Tarea sugerida
Buscar en la casa cinco empaques o etiquetas con medidas (masa, volumen, potencia, tiempo). Para cada una, escribir la magnitud, la unidad, si es fundamental o derivada, y la medida en notación científica con la unidad básica del SI.