Conversión de unidades
Lo que vas a aprender
- Construir factores de conversión y encadenarlos para cambiar las unidades de una medida.
- Convertir unidades compuestas como km/h a m/s y g/cm³ a kg/m³.
- Convertir unidades de área y de volumen elevando el factor al cuadrado o al cubo.
- Usar el análisis dimensional para decidir si una fórmula puede tener sentido.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El velocímetro de un bus marca kilómetros por hora, pero las fórmulas de física se escriben en metros y segundos. Una etiqueta da la densidad de un líquido en gramos por centímetro cúbico, y una tabla de ingeniería la pide en kilogramos por metro cúbico. Si mezclas unidades en una cuenta, el resultado puede salir mil veces más grande de lo que es, y nadie lo nota hasta que algo falla.
En esta lección aprendes un método que sirve para cualquier conversión, por enredada que sea: multiplicar por factores que valen 1. También aprendes a revisar una fórmula sin hacer ninguna cuenta, mirando solo sus unidades.
Antes de empezar repasa los prefijos del SI (kilo, centi, mili…) y cómo se multiplican fracciones simplificando factores iguales arriba y abajo.
Explicación
El factor de conversión
Como un kilómetro y mil metros son la misma longitud, la fracción $\dfrac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}$ vale exactamente 1. Una fracción así, con la misma cantidad arriba y abajo escrita en unidades distintas, es un factor de conversión. Multiplicar una medida por 1 no la cambia: solo cambia la unidad en que está escrita.
El truco es tratar las unidades como si fueran letras del álgebra: se multiplican, se dividen y se cancelan cuando aparecen arriba y abajo. Por eso el factor se elige de modo que la unidad que quieres quitar quede en el lado contrario al que tiene en la medida. Si los kilómetros están arriba, el factor los lleva abajo:
$$d\ \text{km} \cdot \frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} = 1000\,d\ \text{m}$$
Cada factor se puede usar al derecho o al revés, porque las dos fracciones valen 1. Lo que decide cuál usar es qué unidad tiene que desaparecer.
Conversiones en cadena
Cuando cambian varias unidades a la vez, se ponen varios factores seguidos. Para pasar una rapidez de km/h a m/s hay que cambiar los kilómetros por metros y las horas por segundos:
$$v\ \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} \cdot \frac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}}$$
Los kilómetros se cancelan con los kilómetros y las horas con las horas, y quedan metros sobre segundos. Juntos, los dos factores equivalen a dividir entre 3,6. Al revés, para pasar de m/s a km/h se multiplica por 3,6.
Antes de dar un resultado, pregúntate si el tamaño tiene sentido. Un metro por segundo es más que un kilómetro por hora, así que la misma rapidez se escribe con un número menor en m/s que en km/h. Si al convertir te sale un número mayor, usaste un factor al revés.
Unidades al cuadrado y al cubo
Aquí está la trampa más frecuente. Un metro tiene cien centímetros, pero un metro cuadrado no tiene cien centímetros cuadrados. Un cuadrado de 1 m de lado tiene 100 cm de lado, y su área es $100 \cdot 100$ cm². El factor de conversión también se eleva al cuadrado:
$$1\ \text{m}^2 = (100\ \text{cm})^2 = 100^2\ \text{cm}^2$$
Con los volúmenes pasa lo mismo, pero al cubo: un metro cúbico son $100^3$ centímetros cúbicos, un millón. Por eso, cuando conviertas unidades de área o de volumen, eleva el factor completo, número y unidad.
Las unidades compuestas, como la densidad, se convierten pieza por pieza: un factor para la masa y otro para el volumen, este último al cubo.
Análisis dimensional
La dimensión de una cantidad dice de qué clase es, sin importar la unidad: 3 km y 40 cm son distintas medidas, pero las dos tienen dimensión de longitud. Se escriben con las letras de las fundamentales: $L$ para longitud, $M$ para masa y $T$ para tiempo. Una velocidad tiene dimensión $L/T$; una aceleración, $L/T^2$; un área, $L^2$; una densidad, $M/L^3$.
Hay tres reglas:
- Solo se suman o se restan cantidades de la misma dimensión. Tres metros más dos segundos no tiene sentido.
- Los dos lados de una igualdad tienen la misma dimensión.
- Los números puros, como el 2, el ½ o $\pi$, no tienen dimensión.
Ojo: esta $L$ de longitud no es el litro, aunque el símbolo del litro también sea L. Cuando hablamos de dimensiones, $L$ es siempre longitud.
Para revisar una fórmula, reemplaza cada letra por su dimensión y simplifica como en el álgebra. Si los dos lados no coinciden, la fórmula está mal con seguridad. Si coinciden, la fórmula puede estar bien, pero no queda demostrada: el análisis dimensional no ve los números puros, así que no detecta un ½ que falta o un 2 que sobra.
Ejemplo resuelto
De kilómetros por hora a metros por segundo
Un bus inventado va a 72 km/h. ¿Cuál es su rapidez en m/s?
Ver la solución paso a paso
Necesitamos dos equivalencias: un kilómetro son mil metros, y una hora son 60 minutos de 60 segundos cada uno:
$$60 \cdot 60 = 3600$$
Multiplicamos por el factor que quita los kilómetros (1000 m sobre 1 km) y por el que quita las horas (1 h sobre 3600 s). Los kilómetros y las horas se cancelan, y quedan metros sobre segundos: $\frac{72 \cdot 1000}{3600}$
Hacemos la cuenta: la rapidez es $20$ m/s.
Los dos factores juntos equivalen a dividir entre 3,6:
$$\frac{1000}{3600} = \frac{1}{3{,}6}$$
Comprobación: 20 es menor que 72, como debe ser, porque el metro por segundo es una unidad más grande que el kilómetro por hora.
Respuesta: 72 km/h = 20 m/s.
Ejemplo resuelto
Una densidad de g/cm³ a kg/m³
Un material inventado tiene una densidad de 1,8 g/cm³. Escríbela en kg/m³.
Ver la solución paso a paso
Para la masa usamos que un kilogramo son mil gramos. Para el volumen, un metro son cien centímetros, así que un metro cúbico son $100^3$ centímetros cúbicos:
$$100^{3} = 10^{6}$$
Multiplicamos por el factor de la masa (1 kg sobre 1000 g) y por el del volumen ($10^6$ cm³ sobre 1 m³). Los gramos y los centímetros cúbicos se cancelan: $1{,}8 \cdot \frac{1}{1000} \times 10^{6}$
Hacemos la cuenta: $1800$ kg/m³.
Comprobación: el factor neto es $10^6 \div 10^3 = 10^3$. Para pasar de g/cm³ a kg/m³ basta multiplicar por mil.
Respuesta: 1,8 g/cm³ = 1800 kg/m³.
Ejemplo resuelto
Un área de metros cuadrados a centímetros cuadrados
La pantalla de un aparato inventado tiene un área de 0,06 m². ¿Cuántos centímetros cuadrados son?
Ver la solución paso a paso
Como cada metro tiene cien centímetros, el factor para el área se eleva al cuadrado: $0{,}06 \cdot 100^{2}$
El cuadrado de cien es diez mil: $0{,}06 \cdot 10\,000$
El área es $600$ cm².
Comprobación: si se hubiera multiplicado solo por cien, saldrían $0{,}06 \cdot 100 = 6$ cm².
Esa es el área de un cuadrado de menos de 3 cm de lado, porque $\sqrt{6} < 3$: un tamaño absurdo para una pantalla.
Con el factor al cuadrado, en cambio, el área es la de un cuadrado de entre 24 y 25 cm de lado: $24 < \sqrt{600} < 25$
Respuesta: 0,06 m² = 600 cm².
Ejemplo resuelto
Revisar dos fórmulas con sus dimensiones
Un compañero propone dos fórmulas para la distancia x que recorre un carro que va con velocidad constante v durante un tiempo t: x = v·t y x = v·t². ¿Cuál puede ser correcta?
Ver la solución paso a paso
La distancia tiene dimensión $L$, la velocidad $L/T$ y el tiempo $T$. En la primera fórmula, el lado derecho tiene dimensión $\frac{L T}{T}$
El tiempo se cancela y queda $L$, la misma dimensión del lado izquierdo.
En la segunda fórmula, el lado derecho tiene dimensión $\frac{L T^{2}}{T}$
Simplificando queda $L T$: longitud por tiempo, que no es una longitud.
Conclusión: $x = v \cdot t^2$ está mal con seguridad. $x = v \cdot t$ pasa la prueba; en este caso además es correcta, como verás en la unidad de cinemática, pero la prueba sola no lo demostraría.
Respuesta: Solo x = v·t puede ser correcta: sus dos lados tienen dimensión L. La otra da L·T.
Práctica
Pasa los 90 km/h del carro a m/s. Pon detrás del dato los factores que hagan falta, voltea los que tengan la unidad al revés, y mira cómo se tachan km y h hasta que solo quede m/s. Dos fichas sobran.
Un carro inventado va a 90 km/h. ¿Cuál es su rapidez en m/s?
90 · 1000 / 3600 = 25 m/s. Es lo mismo que dividir 90 entre 3,6.
Una ciclista inventada va a 15 m/s. ¿Cuál es su rapidez en km/h?
Ahora los factores van al revés: 3600 s sobre 1 h y 1 km sobre 1000 m. 15 · 3600 / 1000 = 54 km/h. El número crece, porque el km/h es una unidad más pequeña.
Un viaje inventado dura 2,5 h. ¿Cuántos segundos son?
Una hora tiene 60 · 60 = 3600 s, así que 2,5 h son 2,5 · 3600 = 9000 s.
Para pasar una rapidez de km/h a m/s en un solo paso, ¿por qué número se multiplica?
Se multiplica por 1000 m sobre 1 km y por 1 h sobre 3600 s: en total por 1000/3600, que es lo mismo que dividir entre 3,6. 3600/1000 es el factor para ir al revés.
Un aceite inventado tiene una densidad de 0,9 g/cm³. ¿Cuánto vale en kg/m³?
Factor de la masa: 1 kg sobre 1000 g. Factor del volumen: 100³ = 10⁶ cm³ sobre 1 m³. En total se multiplica por 10⁶/10³ = 1000: 0,9 · 1000 = 900 kg/m³.
Una mesa inventada tiene una superficie de 0,6 m². ¿Cuántos centímetros cuadrados son?
El factor se eleva al cuadrado: 1 m² = 100² cm² = 10 000 cm². Entonces 0,6 · 10 000 = 6000 cm².
Una caja inventada tiene un volumen de 2500 cm³. ¿Cuántos metros cúbicos son? Escribe el número decimal.
Un metro cúbico tiene 100³ = 1 000 000 cm³. Se divide: 2500 / 1 000 000 = 0,0025 m³.
¿Verdadero o falso? Como 1 m = 100 cm, también 1 m² = 100 cm²: $100^{2} = 100$
Al elevar al cuadrado la longitud se eleva también el factor: (100 cm)² = 10 000 cm². Un metro cuadrado tiene diez mil centímetros cuadrados, no cien.
Una llave mal cerrada gotea 3 mL cada minuto (dato inventado). ¿Cuántos litros pierde en un día completo?
En cadena: 3 mL/min · 60 min/h · 24 h/día · 1 L/1000 mL = 4,32 L por día. Cada factor cancela una unidad hasta dejar litros por día.
Usa L para longitud y T para tiempo: una velocidad tiene dimensión L/T y una aceleración L/T². ¿Cuál de estas combinaciones tiene dimensión de longitud?
Velocidad por tiempo da L. Velocidad entre tiempo da L/T², que es una aceleración; aceleración por tiempo da L/T, una velocidad; y velocidad por tiempo al cuadrado da L·T, que no es ninguna magnitud de este curso.
¿Verdadero o falso? En la fórmula x = ½·a·t² el ½ no tiene dimensión, y el producto de una aceleración por un tiempo al cuadrado es una longitud: $\frac{L T^{2}}{T^{2}} = L$
L/T² · T² = L: los tiempos se cancelan. La fórmula pasa el análisis dimensional. El ½ no se puede comprobar así, porque es un número puro.
Una fórmula pasa el análisis dimensional: sus dos lados tienen la misma dimensión. ¿Qué se puede concluir?
Si las dimensiones no coinciden, la fórmula está mal con seguridad. Si coinciden, todavía puede faltarle un factor como ½ o 2, que no tiene dimensión.
Reto
Abre el candado convirtiendo unidades.
Cada pista da un dígito. Recuerda que una hora tiene 3600 segundos y que en las áreas el factor va al cuadrado.
Reto
Completa la conversión.
Elige en cada espacio el valor correcto. Piensa si el número debe crecer o disminuir.
Cierre
En resumen
Un factor de conversión es una fracción que vale 1; multiplicar por él cambia la unidad sin cambiar la cantidad.
El factor se elige para que la unidad que sobra quede en el lado contrario y se cancele; varios factores seguidos forman una conversión en cadena.
Para pasar de km/h a m/s se divide entre 3,6, y para volver se multiplica por 3,6.
En áreas y volúmenes el factor se eleva al cuadrado o al cubo; un metro cuadrado tiene diez mil centímetros cuadrados.
Si los dos lados de una fórmula no tienen la misma dimensión, la fórmula está mal; si la tienen, puede estar bien.
Vocabulario
- Factor de conversión
Fracción que vale 1 porque su numerador y su denominador son la misma cantidad escrita en dos unidades distintas, como 1000 m sobre 1 km.
- Conversión en cadena
Multiplicación de una medida por varios factores de conversión seguidos, hasta llegar a las unidades que se buscan.
- Dimensión
La clase de magnitud que expresa una cantidad, escrita con las fundamentales: L para longitud, M para masa, T para tiempo. Una velocidad tiene dimensión L/T.
- Análisis dimensional
Comprobación de que los dos lados de una fórmula tienen la misma dimensión y de que solo se suman cantidades de la misma dimensión.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte si 20 m/s es más rápido o más lento que 50 km/h, y deje que voten antes de hacer cuentas.
- Explicación · 20 min — Factores de conversión cancelando unidades en el tablero, con colores para lo que se tacha. Después el ejemplo del área, dibujando un cuadrado de 1 m de lado dividido en centímetros.
- Práctica · 20 min — Preguntas y retos en parejas. Exija que escriban los factores con sus unidades y tachen las que se cancelan, no solo el número final.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una fórmula falsa y otra pareja la descarta con el análisis dimensional.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué multiplicar por 1000 m sobre 1 km no cambia la longitud?
- Si al pasar de km/h a m/s el número les crece, ¿qué hicieron mal?
- ¿Cuántas baldosas de 1 cm de lado caben en un cuadrado de 1 m de lado?
- ¿Por qué el análisis dimensional no puede detectar si en una fórmula falta un ½?
Errores típicos
- Poner el factor al revés, de modo que las unidades no se cancelan. Exija escribir las unidades en cada factor y tachar las que se cancelan; si no se tacha nada, el factor está al revés.
- Usar el factor lineal en áreas y volúmenes (1 m² = 100 cm²). Dibuje un cuadrado de 1 m de lado y cuente cuántas filas y columnas de centímetros tiene.
- Multiplicar por 3,6 para pasar de km/h a m/s. Pida que se pregunten antes de calcular si el número debe crecer o disminuir.
- Creer que una fórmula con dimensiones correctas queda demostrada. Muestre x = v·t y x = 2·v·t: las dos pasan el análisis y solo una es correcta.
Tarea sugerida
Medir con un cronómetro cuánto tarda un compañero en caminar 10 m. Calcular su rapidez en m/s y en km/h, y revisar con el análisis dimensional que la fórmula usada da una velocidad.