Vectores y sus componentes

¿Para qué sirve esto?

Si te dicen que una amiga caminó trescientos metros desde la puerta del colegio, no sabes dónde está: pudo ir hacia la cancha o hacia la tienda. Para ubicarla falta un dato, la dirección. En cambio, si te dicen que la clase dura cincuenta minutos, no hace falta nada más.

La física distingue con cuidado estas dos clases de magnitudes, porque se suman y se combinan de maneras distintas. Las que necesitan dirección se representan con vectores, y casi todo lo que viene en el curso (velocidades, aceleraciones, fuerzas) está hecho de vectores. En esta lección aprendes a partir un vector en dos piezas fáciles de manejar, sus componentes, y a reconstruirlo desde ellas.

Antes de empezar ten la calculadora en modo grados y repasa el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo, y el teorema de Pitágoras.

Escalares y vectores

Una magnitud escalar queda dicha con un número y su unidad: la masa de una maleta, el tiempo de una carrera, la temperatura del salón, la distancia total que recorres en el día. Una magnitud vectorial necesita, además, una dirección: el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la fuerza son vectoriales. Empujar una caja con la misma fuerza hacia la derecha o hacia la izquierda no produce el mismo efecto.

En muchos textos se distingue la dirección (la recta sobre la que actúa el vector) del sentido (hacia cuál de los dos lados de esa recta apunta). En este curso los dos se dicen a la vez con un solo ángulo.

Ojo con una pareja que se confunde mucho: la distancia recorrida es escalar y cuenta todo el camino; el desplazamiento es un vector que va en línea recta del punto de partida al de llegada. Si das una vuelta completa a la cancha, recorriste una distancia, pero tu desplazamiento es cero.

Cómo se dibuja un vector

Un vector se dibuja como una flecha. Su longitud, según una escala, representa la magnitud, y la punta indica hacia dónde apunta. Se escribe con una flechita encima, $\vec{A}$, y su magnitud con la letra sola, $A$, o entre barras, $|\vec{A}|$. La magnitud es una longitud: nunca es negativa.

La dirección se da con el ángulo θ que forma el vector con el eje x positivo, medido en sentido antihorario. Así, un vector a 90° apunta hacia el eje y positivo, uno a 180° hacia el eje x negativo y uno a 270° hacia el eje y negativo. Cuando la situación habla de puntos cardinales, el este es el eje x positivo y el norte el eje y positivo.

Las componentes

Pon la cola del vector en el origen del plano cartesiano. La punta cae en un punto $(A_x;\ A_y)$: esos dos números son las componentes del vector. $A_x$ dice cuánto avanza en la dirección del eje x y $A_y$ cuánto en la del eje y. Por eso un vector se puede escribir con sus componentes, como $\vec{A} = (4;\ 3)$.

Si dibujas la componente x sobre el eje x y desde allí subes en vertical hasta la punta, se forma un triángulo rectángulo con la flecha como hipotenusa. De ahí salen las fórmulas:

$$A_x = A\cos\theta \qquad A_y = A \operatorname{sen}\theta$$

Estas fórmulas sirven para cualquier ángulo medido desde el eje x positivo, no solo para los agudos: el coseno y el seno ya traen el signo correcto. En el primer cuadrante las dos componentes son positivas; en el segundo, $A_x$ es negativa y $A_y$ positiva; en el tercero, las dos son negativas; en el cuarto, $A_x$ es positiva y $A_y$ negativa.

Las componentes sí pueden ser negativas. Un signo menos en una componente solo dice hacia qué lado del eje avanza el vector.

De las componentes a la magnitud y el ángulo

Si conoces las componentes, la magnitud sale del teorema de Pitágoras:

$$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$$

Para el ángulo se usa la tangente, $\tan\theta = \dfrac{A_y}{A_x}$, y la tecla $\tan^{-1}$. Aquí hay una trampa: esa tecla solo devuelve ángulos entre −90° y 90°, es decir, apunta siempre hacia la derecha del eje y. Por eso:

• si $A_x > 0$ y $A_y \ge 0$ (primer cuadrante), el ángulo de la calculadora es el correcto;
• si $A_x < 0$ (segundo o tercer cuadrante), hay que sumarle 180°;
• si $A_x > 0$ y $A_y < 0$ (cuarto cuadrante), la calculadora da un ángulo negativo, que es correcto medido en sentido horario; para tenerlo entre 0° y 360° se le suman 360°;
• si $A_x = 0$, el vector es vertical: apunta a 90° si $A_y > 0$ y a 270° si $A_y < 0$.

La costumbre que evita casi todos los errores es dibujar el vector antes de calcular: el dibujo dice en qué cuadrante está, y el ángulo final tiene que caer en ese cuadrante.

En resumen

• Una magnitud escalar queda dicha con un número y su unidad; una vectorial necesita además una dirección.

• Un vector se dibuja como una flecha; su magnitud es la longitud de la flecha y nunca es negativa.

• Con el ángulo θ medido desde el eje x positivo, en sentido antihorario, la componente x es A cos θ y la componente y es A sen θ, con el signo que da el cuadrante.

• La magnitud sale de las componentes con Pitágoras, como la raíz de la suma de sus cuadrados.

• La tecla tan⁻¹ solo da ángulos entre −90° y 90°; si la componente x es negativa hay que sumar 180°, y el dibujo dice siempre el cuadrante.

Vocabulario

Magnitud escalar

Magnitud que queda determinada con un número y su unidad, como la masa, el tiempo, la temperatura o la distancia recorrida.

Magnitud vectorial

Magnitud que, además de un número y su unidad, necesita una dirección para quedar determinada, como el desplazamiento, la velocidad o la fuerza.

Magnitud de un vector

El tamaño del vector, representado por la longitud de la flecha. Nunca es negativa.

Componentes de un vector

Los números (Ax; Ay) que dicen cuánto avanza el vector en la dirección del eje x y en la del eje y. Pueden ser positivos, negativos o cero.

Ángulo de un vector

En este curso, el ángulo que forma el vector con el eje x positivo, medido en sentido antihorario.