Suma de vectores
Lo que vas a aprender
- Sumar vectores por el método gráfico del polígono (punta con cola) y explicar por qué el orden no cambia la resultante.
- Sumar y restar vectores por componentes, y hallar la magnitud y el ángulo del resultado.
- Calcular el desplazamiento total de un recorrido de varios tramos y compararlo con la distancia recorrida.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Sales de tu casa, caminas unas cuadras hacia el oriente, doblas y caminas otras hacia el norte. ¿A qué distancia en línea recta quedaste de la casa? No basta con sumar las cuadras: el resultado depende de hacia dónde caminaste en cada tramo.
Lo mismo pasa con las velocidades y con las fuerzas. Un nadador que cruza un río avanza con su propia velocidad y además lo arrastra la corriente; una caja empujada por dos personas se mueve según cómo se combinen los dos empujes. En todos esos casos hay que sumar vectores, y la suma de vectores no es la suma de sus magnitudes. En esta lección aprendes a hacerla con un dibujo y con las componentes.
Antes de empezar repasa cómo se hallan las componentes de un vector y cómo se recupera su magnitud y su ángulo a partir de ellas.
Explicación
La resultante
Sumar vectores es encontrar un solo vector, la resultante, que produce el mismo efecto que todos juntos. En un recorrido, por ejemplo, el desplazamiento total va en línea recta del punto de partida al de llegada, sin importar las vueltas del camino.
Lo más importante de esta lección es que las magnitudes no se suman como números. Dos desplazamientos pueden dar una resultante igual a la suma de sus magnitudes solo si apuntan en la misma dirección y el mismo sentido. Si apuntan en sentidos contrarios, la resultante mide la diferencia. En cualquier otro caso, la magnitud de la resultante queda entre la diferencia y la suma. Nunca supera la suma: el camino recto entre dos puntos es el más corto.
Método gráfico: el polígono (punta con cola)
Un vector queda definido por su magnitud y su dirección, no por el lugar donde se dibuja. Por eso, para sumarlos, se pueden trasladar sin girarlos ni estirarlos:
- Dibuja el primer vector, $\vec{A}$, a escala.
- Dibuja el segundo, $\vec{B}$, con su cola en la punta de $\vec{A}$.
- La resultante $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ va de la cola de $\vec{A}$ a la punta de $\vec{B}$.
Si los dibujas al revés, primero $\vec{B}$ y después $\vec{A}$, llegas al mismo punto: los dos caminos son los lados de un paralelogramo, y la resultante es su diagonal. Así se ve que $\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$. Con más de dos vectores se sigue encadenando, cada uno en la punta del anterior.
El método gráfico es muy bueno para entender y para estimar, pero depende de la regla y del transportador: sus resultados son aproximados.
Método de componentes
Para sumar con precisión se usan las componentes. Si $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$, entonces
$$R_x = A_x + B_x \qquad R_y = A_y + B_y$$
Es decir, se suman las componentes x entre sí y las componentes y entre sí, cada una con su signo. El método tiene cuatro pasos:
- Halla las componentes de cada vector, con su signo.
- Suma las componentes x y, por separado, las componentes y.
- Halla la magnitud de la resultante con el teorema de Pitágoras.
- Halla su ángulo con la tecla $\tan^{-1}$ y corrígelo según el cuadrante.
La razón de fondo es que las dos direcciones, la del eje x y la del eje y, no se mezclan: avanzar hacia el norte no cambia cuánto has avanzado hacia el oriente. Como en la lección anterior, el oriente (el este) es el eje x positivo y el norte el eje y positivo.
La resta de vectores
El vector opuesto de $\vec{B}$, que se escribe $-\vec{B}$, tiene la misma magnitud que $\vec{B}$ y apunta en sentido contrario. Sus componentes son las de $\vec{B}$ con el signo cambiado. Restar es sumar el opuesto:
$$\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \qquad\Longrightarrow\qquad (A_x - B_x;\ A_y - B_y)$$
Si dibujas $\vec{A}$ y $\vec{B}$ desde el mismo punto, $\vec{A} - \vec{B}$ es la flecha que va de la punta de $\vec{B}$ a la punta de $\vec{A}$. Cuidado: la resta no es conmutativa. $\vec{B} - \vec{A}$ tiene la misma magnitud que $\vec{A} - \vec{B}$, pero apunta al revés.
La resta aparece cada vez que algo cambia. El cambio de velocidad de un cuerpo es la velocidad final menos la inicial, y puede ser grande aunque la rapidez casi no cambie, porque también cuenta el cambio de dirección.
Desplazamientos sucesivos
En un recorrido de varios tramos, el desplazamiento total es la suma vectorial de los desplazamientos de los tramos. La distancia recorrida, en cambio, es la suma de las longitudes de los tramos, que son números positivos. Por eso la distancia recorrida nunca es menor que la magnitud del desplazamiento, y las dos son iguales solo cuando el recorrido es una línea recta, sin devolverse.
Suma de A = (4; 1) y B = (1; 3). Las líneas punteadas son B trasladado a la punta de A y A trasladado a la punta de B: los dos caminos llegan a la misma punta, y la resultante R = (5; 4) es la diagonal del paralelogramo.
Ejemplo resuelto
Sumar por componentes
Suma los desplazamientos A = (4; 1) y B = (1; 3) de la figura, en metros. Halla la magnitud y el ángulo de la resultante, y compara esa magnitud con la suma de las magnitudes de A y B.
Ver la solución paso a paso
Sumamos las componentes x entre sí y las componentes y entre sí: $\left(4 + 1;\ 1 + 3\right)$
La resultante es $\vec{R} =$ $\left(5;\ 4\right)$ m.
Su magnitud, con Pitágoras: $\sqrt{5^{2} + 4^{2}}$
Es decir, $R =$ $\sqrt{41}$ m.
Con la calculadora, $R \approx 6{,}40$ m, redondeado a la centésima, porque $6{,}4 < \sqrt{41} < 6{,}405$.
Las dos componentes son positivas: R está en el primer cuadrante y el ángulo de la calculadora sirve tal cual. En grados, $\tan^{-1}\left(\tfrac{4}{5}\right) \approx 38{,}66^\circ$, porque $38{,}655 < \operatorname{tan}^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) < 38{,}665$.
Comparación: las magnitudes de A y B, $\sqrt{17}$ y $\sqrt{10}$, suman más que la de R, porque A y B no apuntan en la misma dirección:
$$\sqrt{4^{2} + 1^{2}} + \sqrt{1^{2} + 3^{2}} > \sqrt{41}$$
Respuesta: $\vec{R} = (5;\ 4)$ m, con magnitud $\sqrt{41} \approx 6{,}40$ m y ángulo de unos 38,66°.
El recorrido del robot del segundo ejemplo: un tramo de 10 m a 30° y otro de 6 m a 90°, puestos punta con cola. La línea punteada es el desplazamiento total, del punto de partida al de llegada.
Ejemplo resuelto
El recorrido de un robot
Un robot de limpieza inventado avanza por el piso 10 m en la dirección de 30° y después 6 m en la dirección de 90°. Halla su desplazamiento total y compáralo con la distancia que recorrió.
Ver la solución paso a paso
Componente x del primer tramo: $10\operatorname{cos} 30^{\circ}$
Es decir, $5\sqrt{3}$ m.
Componente y del primer tramo: $10\operatorname{sen} 30^{\circ}$
Es decir, $5$ m.
El segundo tramo apunta a 90°, hacia el eje y positivo: su componente x es cero y su componente y es 6 m. Sumamos las componentes y de los dos tramos: $10\operatorname{sen} 30^{\circ} + 6\operatorname{sen} 90^{\circ}$
La componente y del desplazamiento total es $11$ m, y la componente x sigue siendo $5\sqrt{3}$ m.
Magnitud del desplazamiento: $\sqrt{\left(5\sqrt{3}\right)^{2} + 11^{2}}$
Los cuadrados son 75 y 121, que suman 196: $\sqrt{196}$
El desplazamiento mide $14$ m.
Ángulo: las dos componentes son positivas, así que sirve el de la calculadora en grados, unos 51,79°: $51{,}785 < \operatorname{tan}^{-1}\left(\frac{11}{5\sqrt{3}}\right) < 51{,}795$
La distancia recorrida es la suma de los dos tramos: $10 + 6$
Es decir, $16$ m, más que los 14 m del desplazamiento.
Respuesta: Desplazamiento total de 14 m a unos 51,79°; distancia recorrida de 16 m.
Ejemplo resuelto
Restar dos velocidades
Un carrito de juguete inventado tiene una velocidad (4; 0) m/s, hacia el oriente. Poco después su velocidad es (0; 3) m/s, hacia el norte. Halla su cambio de velocidad, la velocidad final menos la inicial.
Ver la solución paso a paso
Restamos componente a componente, la final menos la inicial: $\left(0 - 4;\ 3 - 0\right)$
El cambio de velocidad es $\left(-4;\ 3\right)$ m/s.
Su magnitud: $\sqrt{\left(-4\right)^{2} + 3^{2}}$
Es decir, $5$ m/s.
La componente x es negativa y la y positiva: el vector está en el segundo cuadrante, y al ángulo de la calculadora hay que sumarle 180°. Queda en unos 143,13°: $143{,}125 < 180 + \operatorname{tan}^{-1}\left(\frac{3}{-4}\right) < 143{,}135$
Fíjate: la rapidez solo bajó de 4 a 3 m/s, pero el cambio de velocidad mide 5 m/s, porque también cambió la dirección. Restar las rapideces, 3 − 4, no da el cambio de velocidad.
Respuesta: El cambio de velocidad es $(-4;\ 3)$ m/s: mide 5 m/s y apunta a unos 143,13°.
Práctica
Los vectores A = (3; −2) y B = (−5; 6) están en metros. ¿Cuánto vale A + B?
Componente x: 3 + (−5) = −2. Componente y: −2 + 6 = 4. Entonces A + B = (−2; 4) m.
Dos fuerzas, A = (2; 5) y B = (4; 3), en newtons, actúan sobre una caja. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante, en newtons?
R = (2 + 4; 5 + 3) = (6; 8), y su magnitud es √(36 + 64) = √100 = 10 N.
Con A = (7; 1) y B = (3; 4), en metros, ¿cuál es la magnitud de A − B, en metros?
A − B = (7 − 3; 1 − 4) = (4; −3), y su magnitud es √(16 + 9) = √25 = 5 m.
Con A = (2; 5) y B = (6; 1), en metros, ¿cuánto vale B − A?
B − A = (6 − 2; 1 − 5) = (4; −4). La opción (−4; 4) es A − B: la misma magnitud, pero en sentido contrario. La resta no es conmutativa.
¿Verdadero o falso? Un desplazamiento de 3 m hacia el oriente seguido de uno de 4 m hacia el norte da un desplazamiento total de 7 m: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 7$
Los dos tramos son perpendiculares: el desplazamiento total es √(9 + 16) = 5 m. Los 7 m son la distancia recorrida, no la magnitud del desplazamiento.
¿Verdadero o falso? Un desplazamiento de 5 m hacia el oriente seguido de uno de 3 m hacia el occidente da un desplazamiento total de 2 m hacia el oriente: $5 + \left(-3\right) = 2$
Los dos vectores están sobre el eje x: (5; 0) + (−3; 0) = (2; 0). Cuando apuntan en sentidos contrarios, la resultante mide la diferencia de las magnitudes.
Una persona camina 12 m hacia el oriente y luego 5 m hacia el norte (datos inventados). ¿A qué distancia en línea recta queda del punto de partida, en metros?
El desplazamiento total es (12; 5) m, y su magnitud es √(144 + 25) = √169 = 13 m. Caminó 17 m, pero quedó a 13 m del punto de partida.
Una hormiga camina 3 cm hacia el oriente, 3 cm hacia el norte y 3 cm hacia el occidente. ¿Cuánto mide su desplazamiento total, en centímetros?
Componente x: 3 − 3 = 0; componente y: 3. El desplazamiento es (0; 3) cm y mide 3 cm, aunque la hormiga recorrió 9 cm.
Con A = (−2; 3) y B = (−4; 3), ¿cuál es el ángulo de A + B, en grados, medido desde el eje x positivo en sentido antihorario?
A + B = (−6; 6). La calculadora da tan⁻¹(6/−6) = −45°, pero la componente x es negativa y la y positiva: el vector está en el segundo cuadrante. Se suman 180° y queda 135°.
Un bote avanza 10 m hacia el oriente y luego 10 m en la dirección de 60° (datos inventados). ¿Cuánto mide su desplazamiento total, en metros? Redondea a la centésima.
Componentes: x = 10 + 10 · cos 60° = 15 y y = 10 · sen 60° = 5√3. La magnitud es √(225 + 75) = √300 = 10√3 ≈ 17,32 m, menos que los 20 m recorridos.
Para calcular A − B se suma a A otro vector. ¿Cuál?
A − B = A + (−B), y −B es el vector opuesto: misma magnitud que B, sentido contrario. Sus componentes son las de B con el signo cambiado.
Empieza con los vectores A = (4; 1) y B = (1; 3) del primer ejemplo, y su resultante R = (5; 4). El tesoro está en (6; 5). Mueve solo B con sus deslizadores hasta que R llegue al tesoro, y toca «Comprobar».
Con A = (4; 1), ¿qué vector B hace que la resultante A + B llegue al tesoro (6; 5)?
Por componentes, 4 + Bx = 6 y 1 + By = 5, así que B = (2; 4). (10; 6) es sumar A y el tesoro, y (−2; −4) es A menos el tesoro: B es el tesoro menos A.
Reto
Abre el candado sumando y restando vectores.
Cada pista da un dígito. Opera componente a componente.
Reto
Desplazamiento y distancia.
Elige en cada espacio el valor correcto. Uno es un vector y el otro no.
Cierre
En resumen
La resultante es el vector que produce el mismo efecto que todos los sumados; su magnitud no es, en general, la suma de las magnitudes.
En el método gráfico cada vector empieza en la punta del anterior, y la resultante va de la primera cola a la última punta; el orden no cambia el resultado.
Por componentes, se suman las x con las x y las y con las y; después se hallan la magnitud y el ángulo, corrigiendo por el cuadrante.
Restar B es sumar su opuesto, −B; A − B y B − A tienen la misma magnitud y sentidos contrarios.
En un recorrido, el desplazamiento total es la suma vectorial de los tramos, y la distancia recorrida nunca es menor que su magnitud.
Vocabulario
- Resultante
El vector que se obtiene al sumar varios vectores; produce el mismo efecto que todos ellos juntos.
- Método del polígono (punta con cola)
Suma gráfica en la que se dibuja cada vector empezando en la punta del anterior; la resultante va de la cola del primero a la punta del último.
- Vector opuesto
El vector −B, que tiene la misma magnitud que B y apunta en sentido contrario; sus componentes son las de B cambiadas de signo.
- Desplazamiento total
El vector que va del punto de partida al punto de llegada de un recorrido; es la suma de los desplazamientos de todos sus tramos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a un estudiante que camine en el salón tres baldosas en una dirección y cuatro en otra perpendicular. Pregunte a cuántas baldosas quedó del punto de partida y compare con siete.
- Explicación · 25 min — El método del polígono (punta con cola) con la figura del paralelogramo; después el método de componentes con una tabla de dos columnas (x e y), y los ejemplos del robot y del carrito.
- Práctica · 20 min — Preguntas y retos en parejas. Para las restas, pida que escriban primero el vector opuesto y después sumen.
- Cierre · 5 min — Cada pareja describe un recorrido en el que la distancia recorrida sea mucho mayor que el desplazamiento.
Preguntas para el salón
- ¿Pueden dos vectores de 3 m y 4 m sumar 1 m? ¿Y 8 m? ¿Por qué?
- ¿Por qué se pueden trasladar los vectores para sumarlos, sin que cambie el resultado?
- Si un carro da una curva sin cambiar su rapidez, ¿cambia su velocidad?
- ¿En qué caso la distancia recorrida es igual a la magnitud del desplazamiento?
Errores típicos
- Sumar las magnitudes en vez de los vectores (3 m + 4 m = 7 m siempre). Use la caminata del inicio y pida medir con una cinta la distancia al punto de partida.
- Sumar componentes x con componentes y. Exija una tabla con una columna para x y otra para y, y que cada suma se haga dentro de una columna.
- Olvidar el signo de una componente al restar. Pida escribir el vector opuesto con sus signos cambiados antes de sumar, en vez de restar directamente.
- Aceptar el ángulo de la calculadora sin mirar el cuadrante de la resultante. Pida un dibujo aproximado de la resultante antes del cálculo del ángulo.
- Confundir el cambio de velocidad con el cambio de rapidez. Retome el ejemplo del carrito: la rapidez cambió 1 m/s y la velocidad 5 m/s.
Tarea sugerida
Diseñar el recorrido de una búsqueda del tesoro en el patio con tres tramos (distancia y dirección de cada uno). Calcular por componentes el desplazamiento total, comprobarlo caminando y midiendo, y comparar con la distancia recorrida.