Posición, desplazamiento y distancia
Lo que vas a aprender
- Elegir un sistema de referencia en una recta y escribir la posición de un objeto con su signo.
- Calcular el desplazamiento de un movimiento como posición final menos posición inicial e interpretar su signo.
- Calcular la distancia recorrida sumando los tramos sin signo, y distinguirla del desplazamiento.
- Calcular la velocidad media y la rapidez media de un recorrido y explicar por qué pueden ser distintas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina a Valeria, una domiciliaria que reparte en bicicleta por una avenida larga y recta. Al final del turno su aplicación le muestra dos números distintos: cuántos metros pedaleó y a qué distancia quedó del punto donde empezó. El primero le sirve para saber cuánto se cansó; el segundo, para saber cuánto le falta para volver.
La física necesita las dos ideas y les pone nombres distintos: distancia recorrida y desplazamiento. Confundirlas lleva a errores grandes, por ejemplo a creer que alguien que fue y volvió no se movió, o que alguien que dio muchas vueltas llegó muy lejos.
En esta lección vas a describir movimientos sobre una recta con un sistema de referencia, y vas a separar lo que depende del camino de lo que solo depende del principio y del final. Es la base de todo lo que sigue en cinemática.
Antes de empezar recuerda cómo se ubican los números negativos en la recta numérica y qué es el valor absoluto de un número.
Explicación
El sistema de referencia
Decir «Valeria está a 150 metros» no basta: ¿a 150 metros de qué, y hacia dónde? Para describir un movimiento en una recta hay que elegir cuatro cosas, y decirlas:
- un origen, el punto que llamamos cero;
- un sentido positivo, por ejemplo hacia el oriente;
- una unidad de longitud, casi siempre el metro;
- un reloj, que dice desde cuándo contamos el tiempo.
Con eso, la posición $x$ de un objeto es un número con signo: positivo si está del lado positivo del origen y negativo si está del otro lado. El sistema de referencia lo elige quien describe el movimiento; lo importante es mantenerlo durante todo el problema.
El desplazamiento
El desplazamiento es el cambio de posición entre dos instantes:
$$\Delta x = x_{f} - x_{i}$$
Siempre se resta final menos inicial, en ese orden. El desplazamiento es una magnitud vectorial: en una recta, su valor absoluto dice cuánto cambió la posición y su signo dice hacia dónde. Si sale positivo, el objeto terminó del lado positivo de donde empezó; si sale negativo, terminó del lado negativo; si sale cero, terminó donde empezó.
Fíjate en que el desplazamiento no mira el camino: solo mira dónde empezó y dónde terminó el objeto. Lo que pasó en la mitad no cuenta.
La distancia recorrida
La distancia recorrida sí mira el camino. Se parte el recorrido en tramos en los que el objeto no cambia de sentido, se calcula cuánto mide cada tramo sin signo y se suman:
$$d = |\Delta x_{1}| + |\Delta x_{2}| + \cdots$$
La distancia es una magnitud escalar y nunca es negativa. Si el objeto se mueve siempre en el mismo sentido, la distancia es igual al valor absoluto del desplazamiento; si se devuelve, la distancia es mayor.
La avenida de Valeria vista como una recta: el origen es la tienda y el oriente es positivo. Sale de la posición 150 m, hace la primera entrega en 600 m y termina en −100 m, al occidente de la tienda.
Ejemplo resuelto
El recorrido de Valeria
En la avenida de la figura, Valeria sale de la posición 150 m, pedalea hacia el oriente hasta 600 m y luego se devuelve hasta −100 m. Halla su desplazamiento y la distancia que recorrió.
Ver la solución paso a paso
El desplazamiento es la posición final menos la inicial:
$$-100 - 150$$
Da $-250$ m. Es negativo: Valeria terminó 250 m al occidente de donde salió.
Para la distancia partimos el recorrido en los dos tramos en que no cambia de sentido, y sumamos cada uno sin signo:
$$\left|600 - 150\right| + \left|-100 - 600\right|$$
El primer tramo mide 450 m y el segundo 700 m:
$$450 + 700$$
En total pedaleó $1150$ m.
El desplazamiento y la distancia no tienen por qué coincidir. Aquí la distancia es mayor que el valor absoluto del desplazamiento, porque Valeria se devolvió:
$$1150 > \left|-250\right|$$
Respuesta: Su desplazamiento es −250 m (250 m hacia el occidente) y la distancia recorrida es 1150 m.
El recorrido de Valeria con flechas, cada cuadro de 100 m: A es el tramo hacia el oriente (450 m) y B el de regreso (700 m). Toca el botón de la suma: B se pone en la punta de A, y la resultante R = (−2,5; 0) es el desplazamiento, 250 m hacia el occidente. La distancia es lo que miden las flechas, 4,5 + 7 = 11,5 cuadros: 1150 m.
Si cambia el origen
¿Qué pasa si otra persona describe el mismo recorrido con otro origen? Las posiciones cambian, porque se miden desde otro punto. Pero el desplazamiento no cambia: las dos posiciones se corren la misma cantidad y, al restarlas, esa cantidad se cancela. La distancia recorrida tampoco cambia, porque el camino es el mismo.
¿Y si lo que cambia es el sentido positivo? Si ahora el occidente es positivo, cada posición cambia de signo, y el desplazamiento también: el mismo movimiento de Valeria pasaría a tener desplazamiento positivo. Eso no es una contradicción. El signo no dice «bien» o «mal», ni «adelante» o «atrás» en un sentido absoluto: dice si el objeto se movió hacia el lado que tú llamaste positivo o hacia el otro. Por eso, en cada problema, lo primero es escribir el sistema de referencia, y lo último es traducir el signo a palabras: «250 m hacia el occidente» se entiende mejor que «−250 m» suelto.
Un detalle más sobre el tiempo: el desplazamiento siempre se calcula entre dos instantes. No tiene sentido preguntar por el desplazamiento «a los 30 segundos», sino entre el instante en que empezamos a contar y los 30 segundos.
Ejemplo resuelto
El mismo recorrido con otro origen
Ahora el origen se pone en la casa de un cliente que queda 350 m al occidente de la tienda, y el oriente sigue siendo positivo. En ese sistema, Valeria sale de 500 m y termina en 250 m. Comprueba que su desplazamiento no cambia.
Ver la solución paso a paso
Cada posición del sistema anterior aumenta en 350 m, porque el nuevo origen está 350 m más al occidente. La salida pasa a ser $150 + 350$
Es decir, $500$ m, como dice el enunciado.
La llegada pasa a ser $-100 + 350$
Es decir, $250$ m.
El desplazamiento en el nuevo sistema es $250 - 500$
Es decir, $-250$ m: el mismo de antes.
Respuesta: En los dos sistemas el desplazamiento es −250 m: cambian las posiciones, no el desplazamiento.
Velocidad media y rapidez media
Cuando además se conoce el tiempo, salen dos cocientes distintos, uno para cada idea.
La velocidad media divide el desplazamiento entre el tiempo transcurrido:
$$\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Tiene el signo del desplazamiento, así que también dice hacia dónde fue el movimiento en conjunto. La rapidez media divide la distancia recorrida entre el tiempo:
$$\text{rapidez media} = \frac{d}{\Delta t}$$
y nunca es negativa. Las dos se miden en m/s si la longitud está en metros y el tiempo en segundos.
Hay dos errores frecuentes. El primero es creer que la rapidez media es siempre el valor absoluto de la velocidad media: eso solo pasa si el objeto no se devuelve. El segundo es calcular la velocidad media promediando las velocidades de los tramos. Ese promedio no sirve cuando los tramos duran tiempos distintos, porque en el tramo lento el objeto pasa más tiempo y ese tramo pesa más. La regla segura es siempre la misma: el total de la longitud entre el total del tiempo.
Ejemplo resuelto
Velocidad media y rapidez media de Valeria
El recorrido de Valeria, desde que sale hasta la segunda entrega, le tomó 250 s. Usa el desplazamiento de −250 m y la distancia de 1150 m para hallar su velocidad media y su rapidez media.
Ver la solución paso a paso
La velocidad media divide el desplazamiento entre el tiempo:
$$-\frac{250}{250}$$
Da $-1$ m/s. El signo menos dice que, en conjunto, avanzó hacia el occidente.
La rapidez media divide la distancia entre el tiempo:
$$\frac{1150}{250}$$
Da $4{,}6$ m/s, mucho más que el valor absoluto de la velocidad media, porque buena parte del camino lo deshizo al devolverse.
Respuesta: La velocidad media es −1 m/s y la rapidez media es 4,6 m/s.
Práctica
Un bus urbano está en la posición 40 m de una calle recta y, poco después, en la posición 15 m. ¿Cuál fue su desplazamiento, en metros?
Δx = x final − x inicial = 15 − 40 = −25 m. El bus se movió 25 m en el sentido negativo. El 25 sale de restar al revés, inicial menos final.
Cada opción es la cuenta posición final menos posición inicial de un viaje por una calle recta, con el oriente como sentido positivo. Marca todos los viajes que terminaron al occidente del punto de partida.
Marca todas las que apliquen.
Terminar al occidente es tener desplazamiento negativo: 15 − 40 = −25, −20 − 10 = −30 y 0 − 5 = −5. En cambio −30 − (−50) = 20 es positivo, y 70 − 70 = 0 quiere decir que el viaje terminó donde empezó.
Un atleta entrena en una pista recta. Sale de la marca 0 m, trota hasta la marca 80 m y se devuelve hasta la marca 30 m. ¿Qué distancia recorrió, en metros?
Son dos tramos sin cambio de sentido: de 0 a 80 m mide 80 m, y de 80 a 30 m mide 50 m. La distancia es 80 + 50 = 130 m.
Para el mismo atleta, que sale de la marca 0 m, llega a la marca 80 m y termina en la marca 30 m, ¿cuál fue su desplazamiento, en metros?
El desplazamiento solo mira el principio y el final: 30 − 0 = 30 m. El 130 es la distancia recorrida, y el −50 es solo el desplazamiento del segundo tramo.
Andrés camina 300 m desde su casa hasta la panadería, por una calle recta, y vuelve por el mismo camino. ¿Verdadero o falso? Su desplazamiento total es de 600 m.
Andrés terminó donde empezó, así que su desplazamiento es 300 − 300 = 0 m. Los 600 m son la distancia que caminó.
Una moto de domicilios pasa por la posición −120 m y, 40 s después, por la posición 360 m, sin devolverse. ¿Cuál fue su velocidad media en ese intervalo, en m/s?
Δx = 360 − (−120) = 480 m en 40 s: 480 ÷ 40 = 12 m/s. Cuidado con el signo: restar −120 es sumar 120.
Un perro corre 24 m hacia el oriente y luego 12 m hacia el occidente, en una línea recta. Todo le toma 9 s. ¿Cuál fue su rapidez media, en m/s?
La rapidez media usa la distancia: 24 + 12 = 36 m en 9 s, que da 4 m/s. El 4/3 es la velocidad media, que usa el desplazamiento de 12 m.
Para el mismo perro, que corre 24 m hacia el oriente y luego 12 m hacia el occidente en 9 s, ¿cuál fue su velocidad media, en m/s? El oriente es el sentido positivo.
El desplazamiento es 24 − 12 = 12 m hacia el oriente, en 9 s: 12 ÷ 9 = 4/3 m/s, unos 1,33 m/s. Es positiva porque terminó al oriente de donde salió.
Una ciclista va de un parque a otro que está a 6 km por una ciclovía recta. La ida la hace a 12 km/h y regresa por el mismo camino a 6 km/h. ¿Verdadero o falso? Su rapidez media en el viaje de ida y vuelta es de 9 km/h.
La ida dura 6 ÷ 12 = 0,5 h y el regreso 6 ÷ 6 = 1 h. Son 12 km en 1,5 h: la rapidez media es 8 km/h. El 9 es el promedio de las dos rapideces, que no sirve porque el regreso dura el doble.
¿Cuál de estas magnitudes puede ser negativa?
El desplazamiento es un vector y su signo dice el sentido. La distancia y la rapidez media suman tramos sin signo, y el tiempo transcurrido entre un instante y otro posterior siempre es positivo.
Dos estudiantes describen el mismo viaje de un bus por una calle recta, pero cada uno pone el origen en un sitio distinto, con el mismo sentido positivo. ¿Qué obtienen?
Cambiar el origen corre todas las posiciones la misma cantidad. Al restar final menos inicial, esa cantidad se cancela y el desplazamiento queda igual.
Reto
Une cada magnitud con lo que mide o cada cuenta con su resultado.
Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Reto
Abre el candado del recorrido.
Cada pista da un dígito de la clave. Resuelve las cuatro y abre el candado.
Cierre
En resumen
Para describir un movimiento en una recta se elige un sistema de referencia, con origen, sentido positivo, unidad y reloj.
El desplazamiento es Δx = x final − x inicial; es un vector y su signo dice el sentido.
La distancia recorrida suma los tramos sin signo; es un escalar y nunca es negativa.
Cambiar el origen cambia las posiciones, pero no el desplazamiento ni la distancia.
La velocidad media es Δx/Δt y la rapidez media es d/Δt. En general no salen de promediar las velocidades (o las rapideces) de los tramos, que solo da lo mismo si los tramos duran lo mismo; lo seguro es el total de la longitud entre el total del tiempo.
Vocabulario
- Sistema de referencia
Un origen, un sentido positivo, una unidad de longitud y un reloj, elegidos para describir un movimiento.
- Posición
El número, con signo, que dice dónde está un objeto sobre la recta respecto al origen.
- Desplazamiento
El cambio de posición, Δx = x final − x inicial. Es un vector: su signo dice el sentido.
- Distancia recorrida
La longitud total del camino, sumando cada tramo sin signo. Es un escalar y nunca es negativa.
- Velocidad media
El desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido, Δx/Δt. Tiene signo.
- Rapidez media
La distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. Nunca es negativa.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte a un estudiante cuántos metros caminó desde la puerta del salón hasta su puesto y a qué distancia quedó de la puerta. Anote las dos respuestas sin corregirlas todavía.
- Explicación · 20 min — Sistema de referencia en una recta pintada en el piso o en el tablero; el recorrido de Valeria para separar desplazamiento y distancia; el cambio de origen; velocidad media y rapidez media.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El dominó y el candado pueden proyectarse y resolverse en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante describa un recorrido suyo en que el desplazamiento sea cero y la distancia no.
Preguntas para el salón
- ¿Puede la distancia recorrida ser menor que el valor absoluto del desplazamiento? ¿Por qué?
- Si cambio el sentido positivo, de oriente a occidente, ¿qué le pasa al signo del desplazamiento de Valeria?
- ¿En qué caso la rapidez media es igual al valor absoluto de la velocidad media?
Errores típicos
- Restar posición inicial menos posición final. Insista en leer Δ como «final menos inicial» y compruebe el signo con el dibujo: si terminó al lado negativo, el desplazamiento tiene que salir negativo.
- Sumar los tramos con signo para hallar la distancia. Pida que dibujen cada tramo como una flecha y que midan cada flecha con una regla, sin importar hacia dónde apunta.
- Calcular la velocidad media como el promedio de las velocidades de los tramos. Use la pregunta de la ciclista: que calculen cuánto dura cada tramo antes de dividir.
- Creer que el desplazamiento cambia si se cambia el origen, como cambian las posiciones. Repita el segundo ejemplo con un origen que propongan ellos y comparen el resultado.
Tarea sugerida
Describir un recorrido real de la casa a la tienda del barrio (o por un pasillo del colegio) como si fuera en línea recta: elegir un sistema de referencia, anotar las posiciones de ida y de vuelta y calcular el desplazamiento, la distancia, la velocidad media y la rapidez media con un tiempo medido con el reloj.