Movimiento rectilíneo uniforme
Lo que vas a aprender
- Reconocer un movimiento rectilíneo uniforme porque recorre desplazamientos iguales en tiempos iguales.
- Usar la ecuación x = x₀ + vt para hallar la posición en un instante o el instante en que se llega a una posición.
- Leer la velocidad como la pendiente de la gráfica posición–tiempo y la posición inicial como su corte con el eje vertical.
- Plantear y resolver el encuentro de dos móviles igualando sus ecuaciones de posición.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un conductor de tractomula sale de un peaje por una recta larga de la autopista y pone el control de crucero: el velocímetro se queda quieto en un mismo valor. Desde ese momento, con una sola fórmula se puede saber dónde estará el camión dentro de un minuto, cuándo llegará al siguiente retorno o en qué kilómetro se cruzará con un bus que viene en sentido contrario.
Ese movimiento, en línea recta y con velocidad constante, es el más sencillo de la cinemática, y por eso es el punto de partida. Más adelante, en las leyes de Newton, vas a ver que es justamente el movimiento que tiene un cuerpo cuando las fuerzas que actúan sobre él se anulan.
Antes de empezar recuerda qué es el desplazamiento, cómo se calcula la velocidad media y cómo se halla la pendiente de una recta a partir de dos de sus puntos.
Explicación
Velocidad constante
Un movimiento es rectilíneo uniforme (MRU) cuando ocurre en línea recta y su velocidad no cambia: ni su valor ni su sentido. La consecuencia práctica es que el móvil recorre desplazamientos iguales en tiempos iguales. Si en el primer segundo avanza 15 m, en cada segundo siguiente avanza otros 15 m, ni uno más ni uno menos.
En un MRU la velocidad media de cualquier intervalo es la misma, y coincide con la velocidad en cada instante. Por eso basta un número $v$, con su signo, para describir qué tan rápido va y hacia dónde.
¿Cómo se reconoce un MRU en una tabla de datos? Se miran las posiciones a intervalos de tiempo iguales y se restan las consecutivas. Si todas las diferencias son iguales, la velocidad es constante. Si las diferencias crecen o decrecen, el móvil está cambiando de velocidad y ya no es un MRU, aunque siga en línea recta.
En la vida diaria casi ningún movimiento es exactamente uniforme: un carro con control de crucero sube y baja un poco su velocidad en cada pendiente de la vía. El MRU es un modelo: una descripción simplificada que funciona bien mientras la velocidad cambie tan poco que no se note en las cuentas.
La ecuación de posición
Si empezamos a contar el tiempo en $t = 0$, cuando el móvil está en la posición inicial $x_0$, la definición de velocidad dice que $v = \dfrac{x - x_0}{t}$. Despejando la posición:
$$x = x_0 + v\,t$$
Esta ecuación sirve en los dos sentidos. Si te dan el instante, la reemplazas y obtienes la posición. Si te dan la posición, es una ecuación lineal en t y la despejas para hallar el instante. En las dos cuentas las unidades tienen que ser coherentes: metros, segundos y metros por segundo, o kilómetros, horas y kilómetros por hora, sin mezclarlos.
Ejemplo resuelto
Dónde está y cuándo llega
Una tractomula avanza por una recta con velocidad constante de 15 m/s. Cuando empezamos a contar el tiempo está en la posición 50 m. ¿Dónde está a los 8 s? ¿En qué instante pasa por la posición 500 m?
Ver la solución paso a paso
Su ecuación de posición es $x = 50 + 15t$. Para la primera pregunta reemplazamos $t$ por 8:
$$50 + 15 \cdot 8$$
A los 8 s está en la posición $170$ m.
Para la segunda, la posición es dato y el instante es la incógnita:
$$50 + 15t = 500$$
Restamos 50 a los dos lados:
$$15t = 450$$
Y dividimos entre 15:
$$t = 30$$
Respuesta: A los 8 s está en la posición 170 m, y pasa por la posición 500 m a los 30 s.
La gráfica posición–tiempo
Si dibujas $x = x_0 + v\,t$ con el tiempo en el eje horizontal y la posición en el vertical, obtienes una recta. Es la misma función afín que conoces de matemáticas, con otras letras:
- el corte con el eje vertical es la posición inicial $x_0$;
- la pendiente es la velocidad $v$, porque es el cambio de posición dividido entre el cambio de tiempo.
Una recta más empinada es un móvil más rápido. Una recta que baja tiene pendiente negativa: el móvil avanza en el sentido negativo del eje, y lo hace con rapidez constante. No está frenando: frenar sería que la recta se fuera volviendo horizontal, y entonces ya no sería una recta. Una recta horizontal es un móvil en reposo, con velocidad cero.
Gráfica posición–tiempo de un bus en MRU: el eje horizontal es el tiempo t, en segundos, y el vertical es la posición, en metros. La recta corta el eje vertical en 120 y pasa por (6; 30): su pendiente, −15, es la velocidad en m/s.
Ejemplo resuelto
Leer la velocidad en la gráfica
La figura es la gráfica posición–tiempo de un bus. En t = 0 s está en la posición 120 m y en t = 6 s está en la posición 30 m. Halla su velocidad y el instante en que pasa por el origen.
Ver la solución paso a paso
La velocidad es la pendiente de la recta: cambio de posición entre cambio de tiempo.
$$\frac{30 - 120}{6 - 0}$$
Da $-15$ m/s. Es negativa: el bus avanza en el sentido negativo del eje, 15 m en cada segundo.
Con la posición inicial y la velocidad, su ecuación es $x = 120 - 15t$. Pasa por el origen cuando la posición es cero:
$$120 - 15t = 0$$
Sumamos $15t$ a los dos lados:
$$15t = 120$$
Y dividimos entre 15. Es el punto (8; 0) de la figura.
$$t = 8$$
Respuesta: La velocidad es −15 m/s y el bus pasa por el origen a los 8 s.
Encuentros de dos móviles
Dos móviles se encuentran cuando están en la misma posición en el mismo instante. Para hallar ese instante se escriben las dos ecuaciones de posición con el mismo sistema de referencia y el mismo reloj, y se igualan:
$$x_A(t) = x_B(t)$$
Sale una ecuación lineal en $t$. Con el instante, cualquiera de las dos ecuaciones da la posición del encuentro, y la otra sirve de comprobación. En la gráfica, el encuentro es el punto de corte de las dos rectas.
Si los móviles van uno hacia el otro, sus velocidades tienen signos contrarios. Si uno persigue al otro en el mismo sentido, las velocidades tienen el mismo signo y solo hay alcance si el de atrás es más rápido.
Cuando resuelvas un encuentro, lee el resultado antes de darlo por bueno. Si el instante sale negativo, las rectas se cortan antes de que empezaras a contar el tiempo: con esas velocidades, los móviles ya se habían cruzado y ahora se alejan. Si la ecuación no tiene solución, las dos rectas son paralelas: los móviles van a la misma velocidad y la distancia entre ellos nunca cambia.
Ejemplo resuelto
Dos buses que se cruzan
Dos buses van por la misma vía recta, uno hacia el otro. El bus A sale del origen a 12 m/s en el sentido positivo; el bus B sale al mismo tiempo de la posición 400 m a 8 m/s en el sentido negativo. ¿Cuándo y dónde se cruzan?
Ver la solución paso a paso
Las ecuaciones son $x_A = 12t$ y $x_B = 400 - 8t$; la velocidad de B lleva signo menos porque va en el sentido negativo. Las igualamos:
$$12t = 400 - 8t$$
Sumamos $8t$ a los dos lados:
$$20t = 400$$
Y dividimos entre 20:
$$t = 20$$
La posición del cruce sale de la ecuación de A:
$$12 \cdot 20$$
Se cruzan en la posición $240$ m.
La ecuación de B tiene que dar lo mismo, y lo da:
$$400 - 8 \cdot 20 = 240$$
Respuesta: Se cruzan a los 20 s, en la posición 240 m.
Gráficas posición–tiempo de los dos buses: el eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la posición, en metros. La recta de A sube (velocidad positiva) y la de B baja (velocidad negativa). Se cortan en (20; 240), el cruce.
Práctica
Un ciclista va por una ciclovía recta con velocidad constante de 6 m/s. Cuando se empieza a contar el tiempo está en la posición 30 m. ¿En qué posición está a los 12 s, en metros?
x = 30 + 6 · 12 = 30 + 72 = 102 m. No basta con 6 · 12 = 72: eso es el desplazamiento, y el ciclista no empezó en el origen.
Un tren de carga avanza a 20 m/s constantes y en t = 0 s está en la posición −100 m. ¿En qué instante, en segundos, pasa por la posición 500 m?
−100 + 20t = 500, así que 20t = 600 y t = 30 s. El 25 sale de dividir 500 entre 20 sin tener en cuenta que el tren empezó en −100 m.
La gráfica posición–tiempo de un carro es una recta que pasa por t = 2 s, x = 18 m y por t = 7 s, x = 53 m. ¿Cuál es su velocidad, en m/s?
La velocidad es la pendiente: (53 − 18) ÷ (7 − 2) = 35 ÷ 5 = 7 m/s. Dividir 18 entre 2 o 53 entre 7 solo daría lo mismo si la recta pasara por el origen.
¿Cuál es la ecuación de posición, en metros, de un carro en MRU que en t = 0 s está en la posición −40 m y tiene velocidad de 12 m/s?
En x = x₀ + vt, la posición inicial es −40 y la velocidad es 12: x = −40 + 12t.
La posición de un patinador, en metros, es $x =$ $80 - 5t$, con t en segundos. ¿Verdadero o falso? A los 16 s pasa por el origen.
x = 80 − 5 · 16 = 80 − 80 = 0. El patinador va en el sentido negativo a 5 m/s y tarda 16 s en recorrer los 80 m que lo separaban del origen.
Un bus mantiene una velocidad constante de 54 km/h por una recta. ¿Cuántos metros avanza en 20 s?
Primero se pasan las unidades: 54 km/h = 54 · 1000 m ÷ 3600 s = 15 m/s. En 20 s avanza 15 · 20 = 300 m.
Dos amigas están a 360 m una de la otra en un sendero recto y empiezan a caminar al mismo tiempo, una hacia la otra, a 1,5 m/s y a 2,5 m/s. ¿Cuántos segundos tardan en encontrarse?
Con el origen en la primera amiga: 1,5t = 360 − 2,5t, así que 4t = 360 y t = 90 s. Cada segundo la distancia entre ellas se acorta 1,5 + 2,5 = 4 m.
Una moto pasa por el origen a 20 m/s en el mismo instante en que un camión, que va en el mismo sentido a 14 m/s, pasa por la posición 150 m. ¿A los cuántos segundos la moto alcanza al camión?
20t = 150 + 14t da 6t = 150 y t = 25 s. En cada segundo la moto le descuenta 20 − 14 = 6 m al camión. El 7,5 sería el tiempo para llegar a 150 m si el camión estuviera quieto.
Una moto que va a 20 m/s constantes desde el origen alcanza a un camión 25 s después. ¿En qué posición lo alcanza, en metros?
x = 0 + 20 · 25 = 500 m. El camión de la pregunta anterior también está ahí: 150 + 14 · 25 = 500 m.
En la gráfica posición–tiempo de un carrito, la recta baja de izquierda a derecha. ¿Qué está pasando?
Una recta tiene pendiente constante, así que la velocidad no cambia. La pendiente negativa dice el sentido del movimiento, no que el carrito frene.
Un carro tiene velocidad constante de −15 m/s. ¿Cuál descripción es correcta?
El signo de la velocidad dice el sentido, y el número dice cuántos metros avanza por segundo. Como es constante, no hay frenado ni aumento de rapidez.
Reto
Completa la descripción del movimiento.
La posición del carro, en metros, es [[25 + 4*t]], con t en segundos. Reemplaza t o compara con x = x₀ + vt.
Reto
¿Hacia dónde va cada carrito?
Cada ficha es la pendiente de la gráfica posición–tiempo de un carrito entre dos lecturas: cambio de posición entre cambio de tiempo. Llévala a la canasta que dice qué hace el carrito.
Cierre
En resumen
En un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y el móvil recorre desplazamientos iguales en tiempos iguales.
La ecuación de posición es x = x₀ + vt; si la posición es dato, se despeja t como en una ecuación lineal.
La gráfica posición–tiempo es una recta; su pendiente es la velocidad y su corte con el eje vertical es la posición inicial.
Una pendiente negativa quiere decir que el móvil avanza en el sentido negativo, no que esté frenando.
Dos móviles se encuentran cuando sus posiciones son iguales en el mismo instante; se igualan sus ecuaciones con el mismo sistema de referencia.
Vocabulario
- Movimiento rectilíneo uniforme
Movimiento en línea recta con velocidad constante: en tiempos iguales, desplazamientos iguales. Se abrevia MRU.
- Posición inicial
La posición x₀ del móvil en el instante t = 0, cuando se empieza a contar el tiempo.
- Ecuación de posición
La fórmula que da la posición en cada instante; en el MRU es x = x₀ + vt.
- Gráfica posición–tiempo
La gráfica con el tiempo en el eje horizontal y la posición en el vertical. En el MRU es una recta.
- Encuentro
El instante en que dos móviles están en la misma posición.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué hace el control de crucero de un carro y qué se puede predecir si el velocímetro no cambia. Recoja las ideas.
- Explicación · 20 min — Desplazamientos iguales en tiempos iguales; la ecuación x = x₀ + vt con la tractomula; la gráfica del bus y su pendiente negativa; el cruce de los dos buses en el tablero, con las dos rectas.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Los huecos y las canastas pueden proyectarse para resolverlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante dibuje a mano alzada la gráfica posición–tiempo de un móvil en reposo, de uno que va en el sentido positivo y de uno que va en el negativo.
Preguntas para el salón
- Si dos rectas posición–tiempo son paralelas, ¿los móviles se encuentran alguna vez? ¿Por qué?
- ¿Qué cambia en la ecuación de posición si empezamos a contar el tiempo 10 s más tarde?
- ¿Puede un móvil en MRU tener posición negativa y velocidad positiva? Den un ejemplo.
Errores típicos
- Olvidar la posición inicial y calcular la posición como v · t. Pida que dibujen dónde estaba el móvil en t = 0 antes de reemplazar en la fórmula.
- Leer una pendiente negativa en la gráfica posición–tiempo como frenado. Compare la gráfica del bus con la de un móvil que de verdad frena: la del que frena se curva y se vuelve horizontal.
- Escribir las ecuaciones de los dos móviles con signos de velocidad iguales cuando van uno hacia el otro. Exija dibujar el eje con su sentido positivo y una flecha para cada móvil antes de escribir las ecuaciones.
- Mezclar km/h con segundos en la misma cuenta. Revise las unidades de cada dato antes de reemplazar, y convierta todas a m y s o todas a km y h.
Tarea sugerida
Inventar el encuentro de dos personas que salen de dos sitios del barrio por una misma calle recta, una hacia la otra, con velocidades de caminata razonables; escribir las dos ecuaciones de posición, hallar cuándo y dónde se encuentran y dibujar las dos rectas en papel cuadriculado.