Movimiento uniformemente acelerado

¿Para qué sirve esto?

Cuando un semáforo cambia a verde, una moto arranca y en pocos segundos ya va rápido. Cuando un perro se atraviesa en la vía, el conductor de un carro frena y el carro recorre todavía unos metros antes de quedar quieto. En los dos casos la velocidad cambia, y el movimiento rectilíneo uniforme ya no alcanza para describirlo.

En esta lección vas a estudiar el caso en que la velocidad cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Con tres ecuaciones vas a poder responder preguntas muy concretas: cuánto tarda un vehículo en detenerse, cuántos metros necesita para frenar o qué velocidad tiene después de arrancar durante un rato. Son las mismas cuentas que hay detrás de las distancias de seguridad entre vehículos.

Antes de empezar recuerda la velocidad media, el cambio de velocidad (velocidad final menos inicial), la ecuación x = x₀ + vt y cómo se despeja una incógnita que está al cuadrado.

Aceleración constante

La aceleración dice cuánto cambia la velocidad por cada unidad de tiempo: $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$. Si la velocidad está en m/s y el tiempo en s, la aceleración queda en m/s², que se lee «metros por segundo al cuadrado» y quiere decir «metros por segundo, cada segundo».

Un movimiento es uniformemente acelerado (MUA) cuando ocurre en línea recta y su aceleración es constante. Entonces la velocidad cambia lo mismo en cada segundo: una aceleración de 3 m/s² quiere decir que la velocidad sube 3 m/s en cada segundo. Si empezamos a contar el tiempo cuando la velocidad es $v_0$, después de un tiempo $t$ es

$$v = v_0 + a\,t$$

El desplazamiento

¿Cuánto avanza el móvil mientras su velocidad cambia? Como la velocidad crece (o decrece) de manera uniforme en el tiempo, su velocidad media en el intervalo es el punto medio entre la inicial y la final, $\dfrac{v_0 + v}{2}$. Ojo: esto solo vale cuando la aceleración es constante. En general, como viste antes, la velocidad media no es el promedio de dos velocidades. Multiplicando esa velocidad media por el tiempo y reemplazando $v$:

$$\Delta x = v_0\,t + \frac{a\,t^2}{2} \qquad\text{o sea}\qquad x = x_0 + v_0\,t + \frac{a\,t^2}{2}$$

La posición ya no es una función afín del tiempo, sino cuadrática: su gráfica posición–tiempo es un trozo de parábola.

Una ecuación sin el tiempo

Muchas veces el tiempo no es dato ni interesa: queremos saber cuántos metros necesita un carro para frenar desde cierta velocidad. Si se despeja $t$ de la primera ecuación y se reemplaza en la segunda, sale una relación entre velocidades y desplazamiento:

$$v^2 = v_0^2 + 2\,a\,\Delta x$$

Para elegir la ecuación, escribe lo que sabes ($v_0$, $v$, $a$, $t$, $\Delta x$) y lo que te piden. Cada ecuación relaciona cuatro de esas cinco magnitudes: usa la que no tiene la que no conoces ni te piden.

¿Frena o se acelera?

Es tentador pensar que una aceleración negativa siempre quiere decir frenar. No es así. El signo de la aceleración dice hacia dónde cambia la velocidad, no si el móvil va más despacio. Lo que decide es comparar los dos signos:

• si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, la rapidez aumenta: el móvil se acelera;
• si tienen signos contrarios, la rapidez disminuye: el móvil frena.

En el ejemplo del carro, la velocidad era positiva y la aceleración negativa: por eso frenaba. Pero un móvil que va en el sentido negativo y tiene aceleración negativa va cada vez más rápido.

La forma de la gráfica posición–tiempo

En el MRU la gráfica posición–tiempo era una recta, porque la pendiente, que es la velocidad, no cambiaba. En el MUA la velocidad cambia, y con ella la pendiente: la gráfica se curva. Si la aceleración es positiva, la pendiente va aumentando y la parábola se abre hacia arriba, como la de la moto. Si la aceleración es negativa, la pendiente va disminuyendo y la parábola se abre hacia abajo. El punto en que la curva queda momentáneamente horizontal es el instante en que la velocidad es cero.

Frenar no empieza enseguida

Cuando un conductor ve un peligro, pasa un tiempo antes de que su pie llegue al freno: es el tiempo de reacción. Durante ese tiempo el vehículo sigue con la misma velocidad, en MRU, y solo después empieza el frenado, en MUA. La distancia total para detenerse es la suma de los dos tramos. Por eso un conductor distraído o cansado necesita muchos más metros para parar, aunque sus frenos sean igual de buenos: el primer tramo crece con el tiempo de reacción, y el segundo crece con el cuadrado de la velocidad.

En resumen

• En un movimiento uniformemente acelerado la aceleración es constante y la velocidad cambia lo mismo en cada segundo.

• Las tres ecuaciones son v = v₀ + at, x = x₀ + v₀t + at²/2 y v² = v₀² + 2aΔx; se elige la que no tiene la magnitud que no se conoce ni se pide.

• Solo con aceleración constante la velocidad media es el promedio entre la velocidad inicial y la final.

• Un móvil frena cuando su velocidad y su aceleración tienen signos contrarios, y se acelera cuando tienen el mismo signo.

• La distancia de frenado depende del cuadrado de la velocidad: al doble de velocidad, cuatro veces la distancia.

Vocabulario

Aceleración

Lo que cambia la velocidad en cada unidad de tiempo, a = Δv/Δt. En el SI se mide en m/s².

Movimiento uniformemente acelerado

Movimiento en línea recta con aceleración constante: la velocidad cambia lo mismo en tiempos iguales. Se abrevia MUA.

Velocidad inicial

La velocidad v₀ del móvil en el instante t = 0.

Distancia de frenado

Lo que recorre un vehículo desde que empieza a frenar hasta que se detiene.