Gráficas velocidad–tiempo
Lo que vas a aprender
- Leer la aceleración de cada tramo como la pendiente de la gráfica velocidad–tiempo.
- Calcular el desplazamiento como el área con signo entre la gráfica velocidad–tiempo y el eje del tiempo, y la distancia como la suma de las áreas sin signo.
- Describir con palabras un movimiento por tramos a partir de su gráfica velocidad–tiempo.
- Construir la gráfica posición–tiempo a partir de la gráfica velocidad–tiempo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Muchos buses y camiones llevan un aparato que registra la velocidad en cada instante, y lo que guarda es, en el fondo, una gráfica velocidad–tiempo. Mirándola, una empresa de transporte puede saber si el conductor frenó de golpe, cuánto tiempo estuvo quieto en un paradero o cuántos metros recorrió entre dos paradas, aunque nadie haya medido la distancia.
Una sola gráfica velocidad–tiempo guarda mucha información: en su inclinación está la aceleración y en su área está el desplazamiento. En esta lección vas a aprender a leer las dos cosas, a describir un viaje por tramos y a pasar de esta gráfica a la gráfica posición–tiempo.
Antes de empezar recuerda cómo se calcula la pendiente de un segmento y el área de un triángulo, de un rectángulo y de un trapecio.
Explicación
La pendiente es la aceleración
En la gráfica velocidad–tiempo (v–t) el tiempo va en el eje horizontal y la velocidad en el vertical. La pendiente de un tramo es el cambio de velocidad dividido entre el cambio de tiempo:
$$\text{pendiente} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = a$$
Eso es exactamente la aceleración. Por eso cada forma de la gráfica dice algo del movimiento:
- un tramo horizontal tiene pendiente cero: la velocidad es constante y el móvil va en MRU (o está quieto, si el tramo está sobre el eje);
- un tramo recto e inclinado tiene pendiente constante: el móvil va en MUA;
- un tramo que sube tiene aceleración positiva, y uno que baja, aceleración negativa.
Cuidado con la última idea: que el tramo baje no siempre quiere decir que el móvil frene. Si la gráfica baja por encima del eje, la velocidad positiva se hace más pequeña y el móvil frena. Si baja por debajo del eje, la velocidad se hace cada vez más negativa y el móvil va cada vez más rápido en el sentido negativo. Lo que dice si frena es que la gráfica se acerque al eje.
El área es el desplazamiento
En un tramo horizontal, a velocidad $v$ durante un tiempo $\Delta t$, el desplazamiento es $v\,\Delta t$: la base por la altura del rectángulo que queda entre la gráfica y el eje. Lo mismo pasa con cualquier forma: el desplazamiento es el área entre la gráfica v–t y el eje del tiempo. En un tramo inclinado esa región es un triángulo o un trapecio, y su área es justamente $\dfrac{v_0 + v}{2}\,\Delta t$, la fórmula del MUA.
El área lleva signo. Por encima del eje la velocidad es positiva y el área cuenta como desplazamiento positivo; por debajo, la velocidad es negativa y el área cuenta como desplazamiento negativo. Así:
- el desplazamiento es la suma de las áreas con signo;
- la distancia recorrida es la suma de las áreas sin signo.
Si la gráfica cruza el eje del tiempo, en ese instante la velocidad es cero y el móvil cambia de sentido. Ahí hay que partir el área en dos.
Gráfica velocidad–tiempo de un bus entre dos paraderos: el eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la velocidad, en m/s. Acelera hasta (10; 15), va a velocidad constante hasta (30; 15) y frena hasta detenerse en (40; 0). Las líneas punteadas parten el área en un triángulo, un rectángulo y otro triángulo.
Ejemplo resuelto
Leer la gráfica del bus
La figura es la gráfica v–t de un bus que sale de un paradero: acelera de 0 a 15 m/s en los primeros 10 s, va a 15 m/s constantes hasta t = 30 s y frena hasta detenerse en t = 40 s. Halla la aceleración de cada tramo y la distancia entre los dos paraderos.
Ver la solución paso a paso
En el primer tramo la pendiente es:
$$\frac{15 - 0}{10 - 0}$$
Una aceleración de $1{,}5$ m/s².
En el segundo tramo la velocidad no cambia:
$$\frac{15 - 15}{30 - 10}$$
La aceleración es $0$: es un MRU.
En el tercer tramo la gráfica baja hacia el eje:
$$\frac{0 - 15}{40 - 30}$$
Una aceleración de $-1{,}5$ m/s²; con velocidad positiva, el bus frena.
El desplazamiento es el área total: el triángulo de base 10 s y altura 15 m/s, el rectángulo de base 20 s y el último triángulo:
$$\frac{10 \cdot 15}{2} + \left(30 - 10\right) \cdot 15 + \frac{\left(40 - 30\right) \cdot 15}{2}$$
Son tres áreas:
$$75 + 300 + 75$$
El bus nunca cambia de sentido, así que la distancia entre los paraderos es igual al desplazamiento: $450$ m.
Respuesta: Las aceleraciones son 1,5 m/s², 0 y −1,5 m/s², y los paraderos están a 450 m.
Ejemplo resuelto
Una gráfica que cruza el eje
Un carrito sube por una rampa recta con velocidad inicial de 6 m/s y aceleración constante de −2 m/s², con el sentido positivo hacia arriba de la rampa. Su gráfica v–t va de t = 0 s a t = 5 s. Halla cuándo se detiene, su desplazamiento y la distancia que recorre.
Ver la solución paso a paso
La gráfica es la recta $v = 6 - 2t$. Corta el eje del tiempo cuando la velocidad es cero:
$$6 - 2t = 0$$
Se detiene a los 3 s, en lo más alto, y empieza a bajar.
$$t = 3$$
Entre 0 s y 3 s el área es un triángulo por encima del eje, de base 3 y altura 6:
$$\frac{3 \cdot 6}{2}$$
Sube $9$ m.
A los 5 s la velocidad es $6 - 2 \cdot 5$
Es decir, $-4$ m/s: va hacia abajo de la rampa.
Entre 3 s y 5 s el área es un triángulo de base 2 s y altura 4 m/s. Como está por debajo del eje, su área cuenta con signo menos: $\frac{\left(5 - 3\right) \cdot \left(-4\right)}{2}$
Es decir, $-4$ m: el carrito baja 4 m.
El desplazamiento suma las áreas con signo:
$$9 + \left(-4\right)$$
Da $5$ m: termina 5 m más arriba de donde empezó.
La ecuación del MUA da lo mismo, sin mirar la gráfica:
$$6 \cdot 5 + \frac{\left(-2\right) \cdot 5^{2}}{2} = 5$$
La distancia suma las áreas sin signo:
$$9 + 4$$
Recorre $13$ m en total.
Respuesta: Se detiene a los 3 s; su desplazamiento es 5 m (hacia arriba de la rampa) y la distancia recorrida es 13 m.
Gráfica velocidad–tiempo del carrito de la rampa: el eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la velocidad, en m/s. La recta corta el eje en (3; 0): antes el área está por encima del eje (sube) y después por debajo (baja). La aceleración es la misma en todo el recorrido.
Fíjate en el tramo de 3 s a 5 s. La aceleración sigue siendo negativa, la misma de antes, pero el carrito no frena: su rapidez crece de 0 a 4 m/s mientras baja. Es la gráfica alejándose del eje por debajo.
De una gráfica a la otra
Las dos gráficas cuentan el mismo movimiento y se pueden obtener una de la otra:
- de la posición–tiempo a la velocidad–tiempo: la velocidad en cada tramo es la pendiente de la gráfica posición–tiempo;
- de la velocidad–tiempo a la posición–tiempo: se parte de la posición inicial y se le va sumando el área de cada tramo. Donde la velocidad es constante, la posición crece como una recta; donde la velocidad cambia, como un trozo de parábola.
Hay dos pistas para dibujar bien. Donde la velocidad es cero, la gráfica posición–tiempo queda momentáneamente horizontal. Y la gráfica posición–tiempo no tiene saltos ni esquinas en un movimiento real: un móvil no puede pasar de un sitio a otro sin recorrer lo que hay en medio.
Ejemplo resuelto
De la gráfica v–t del bus a su gráfica x–t
Con la gráfica v–t del bus del primer ejemplo, y tomando el primer paradero como origen, halla la posición del bus en t = 10 s, t = 30 s y t = 40 s para dibujar su gráfica posición–tiempo.
Ver la solución paso a paso
En el primer tramo el bus parte del reposo con aceleración 1,5 m/s². Su posición a los 10 s es el área del primer triángulo:
$$\frac{1{,}5 \times 10^{2}}{2}$$
Está en la posición $75$ m.
En el segundo tramo se le suma el área del rectángulo, 15 m/s durante 20 s:
$$75 + 15 \cdot \left(30 - 10\right)$$
A los 30 s está en la posición $375$ m.
En el tercer tramo va de 15 m/s a 0 con aceleración −1,5 m/s²; se suma el desplazamiento de ese MUA:
$$375 + 15 \cdot \left(40 - 30\right) + \frac{\left(-1{,}5\right) \cdot \left(40 - 30\right)^{2}}{2}$$
Son 375 + 150 − 75:
$$375 + 150 - 75$$
A los 40 s está en la posición $450$ m, la distancia que se halló con el área total.
Respuesta: El bus está en 75 m a los 10 s, en 375 m a los 30 s y en 450 m a los 40 s.
Gráfica posición–tiempo del bus, construida desde su gráfica v–t: el eje horizontal es el tiempo, en segundos, y el vertical la posición, en metros. Primero una parábola que se empina, luego una recta de pendiente 15 y al final una parábola que se aplana hasta quedar horizontal en (40; 450), cuando el bus se detiene.
Práctica
En la gráfica v–t de una moto, la velocidad pasa en línea recta de 4 m/s en t = 0 s a 16 m/s en t = 6 s. ¿Cuál es su aceleración, en m/s²?
La aceleración es la pendiente: (16 − 4) ÷ (6 − 0) = 12 ÷ 6 = 2 m/s². El 8/3 sale de dividir 16 entre 6, olvidando la velocidad inicial.
La gráfica v–t de un ciclista es un tramo horizontal a 12 m/s que dura 9 s. ¿Cuántos metros se desplaza en ese tramo?
El área bajo la gráfica es un rectángulo de base 9 s y altura 12 m/s: 12 · 9 = 108 m.
Una moto arranca del reposo y su gráfica v–t sube en línea recta hasta 20 m/s en 8 s. ¿Cuántos metros avanza en esos 8 s?
El área es un triángulo de base 8 s y altura 20 m/s: 8 · 20 ÷ 2 = 80 m. Si se olvida dividir entre 2 sale 160 m, que es lo que recorrería a 20 m/s todo el tiempo.
En la gráfica v–t de un carro, la velocidad sube en línea recta de 5 m/s a 15 m/s en 4 s. ¿Cuántos metros avanza en ese tramo?
La región bajo el tramo es un trapecio de bases 5 y 15 y altura 4: (5 + 15) ÷ 2 · 4 = 40 m. También es un rectángulo de 5 · 4 = 20 m más un triángulo de 10 · 4 ÷ 2 = 20 m.
La gráfica v–t de un carrito es un tramo horizontal por debajo del eje, a −3 m/s, durante 6 s. ¿Cuál es su desplazamiento en ese tramo, en metros?
El área es un rectángulo por debajo del eje: −3 · 6 = −18 m. El carrito avanzó 18 m en el sentido negativo. El 18 sería la distancia recorrida, que no lleva signo.
Un tramo de la gráfica v–t de un bus baja en línea recta de 18 m/s en t = 10 s a 6 m/s en t = 14 s. ¿Cuál es la aceleración del bus en ese tramo, en m/s²?
(6 − 18) ÷ (14 − 10) = −12 ÷ 4 = −3 m/s². Con velocidad positiva y aceleración negativa, el bus frena. El −1/2 sale de dividir entre 14 + 10 en vez de entre 14 − 10.
La gráfica v–t de un carrito es una recta que va de 8 m/s en t = 0 s a −4 m/s en t = 6 s. ¿Verdadero o falso? Su desplazamiento en esos 6 s es de 12 m.
La recta corta el eje en t = 4 s. El triángulo de arriba mide 4 · 8 ÷ 2 = 16 m y el de abajo 2 · (−4) ÷ 2 = −4 m: el desplazamiento es 16 − 4 = 12 m.
Para el mismo carrito, cuya gráfica v–t es una recta de 8 m/s en t = 0 s a −4 m/s en t = 6 s, ¿qué distancia recorre en esos 6 s, en metros?
La aceleración es (−4 − 8) ÷ 6 = −2 m/s², así que la velocidad se anula en t = 8 ÷ 2 = 4 s. Las áreas sin signo son 16 m y 4 m: la distancia es 20 m, más que el desplazamiento de 12 m, porque el carrito se devolvió.
Una patinadora está en la posición −30 m cuando empieza a contar el tiempo, y su gráfica v–t es horizontal a 4 m/s durante 15 s. ¿En qué posición termina, en metros?
El área da el desplazamiento, 4 · 15 = 60 m, y se le suma a la posición inicial: −30 + 60 = 30 m. El área no da la posición sino el cambio de posición.
Un tramo de la gráfica v–t es una recta horizontal por encima del eje del tiempo. ¿Qué hace el móvil en ese tramo?
Horizontal quiere decir pendiente cero, o sea aceleración cero: la velocidad no cambia. Como está por encima del eje, la velocidad es positiva. Quieto estaría si la recta fuera el propio eje.
La gráfica v–t de un móvil es una recta que sube por encima del eje. ¿Cómo es su gráfica posición–tiempo en ese tramo?
La velocidad es positiva y cada vez mayor, y la velocidad es la pendiente de la gráfica posición–tiempo: la posición sube, y cada vez más rápido. Es un trozo de parábola abierta hacia arriba.
Reto
Une cada lectura de una gráfica con lo que dice del movimiento, o cada área con su valor.
Toca una ficha y luego la que le corresponde.
Reto
Encuentra el tramo que no es como los demás.
Cada ficha es un área o una pendiente de una gráfica velocidad–tiempo. Calcúlalas: en cada ronda tres dan un resultado del mismo signo, y una da el signo contrario o da cero. Toca esa.
Cierre
En resumen
En la gráfica velocidad–tiempo, la pendiente de cada tramo es la aceleración.
El área entre la gráfica y el eje del tiempo es el desplazamiento; por debajo del eje cuenta con signo menos.
La distancia recorrida es la suma de las áreas sin signo; si la gráfica cruza el eje, el móvil cambia de sentido.
Un tramo que baja no siempre es frenar; el móvil frena cuando la gráfica se acerca al eje.
Para pasar a la gráfica posición–tiempo se le suma a la posición inicial el área de cada tramo; donde la velocidad es cero, la posición–tiempo queda horizontal.
Vocabulario
- Gráfica velocidad–tiempo
La gráfica con el tiempo en el eje horizontal y la velocidad en el vertical.
- Pendiente de la gráfica v–t
El cambio de velocidad dividido entre el cambio de tiempo en un tramo: la aceleración.
- Área con signo bajo la gráfica v–t
El área entre la gráfica y el eje del tiempo, positiva por encima del eje y negativa por debajo: el desplazamiento.
- Movimiento por tramos
Un movimiento que se divide en intervalos de tiempo, cada uno con su propia aceleración constante.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre la gráfica del bus sin decir nada y pregunte qué hizo el bus en cada tramo. Anote las descripciones.
- Explicación · 25 min — Pendiente y área con el bus; la rampa para el área por debajo del eje y la aceleración negativa que no frena; la construcción de la gráfica posición–tiempo del bus en el tablero, tramo por tramo.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El dominó y el intruso pueden proyectarse para resolverlos en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante dibuje la gráfica v–t de su viaje al colegio, inventada pero razonable, y señale un tramo de MRU y uno de frenado.
Preguntas para el salón
- ¿Puede la gráfica v–t de un móvil real tener un salto vertical? ¿Qué querría decir?
- Si el área total con signo es cero, ¿dónde terminó el móvil? ¿Quiere decir que no se movió?
- ¿En qué se parecen y en qué se diferencian la gráfica v–t de un carro que frena yendo hacia adelante y la de uno que acelera en reversa?
Errores típicos
- Leer la gráfica v–t como si fuera de posición, y decir que el bus «sube» en el primer tramo. Pida que digan siempre qué magnitud está en el eje vertical antes de describir la gráfica.
- Contar como positiva el área por debajo del eje al calcular el desplazamiento. Vuelva al carrito de la rampa: que comparen el área con signo con el resultado de la ecuación del MUA.
- Creer que el área da la posición final. Use la pregunta de la patinadora: el área es el cambio de posición, y hay que sumarle la posición inicial.
- Pensar que una gráfica que baja siempre es un frenado. Pregunte qué pasa con el valor absoluto de la velocidad en el tramo de 3 s a 5 s de la rampa.
Tarea sugerida
Inventar el viaje de un bus con cuatro tramos (arranque, velocidad constante, frenado y parada), dibujar su gráfica v–t en papel cuadriculado, calcular la aceleración de cada tramo y la distancia total por áreas, y dibujar debajo su gráfica posición–tiempo con la misma escala de tiempo.