Caída libre y lanzamiento vertical

¿Para qué sirve esto?

Si sueltas una piedra en un pozo y cuentas los segundos hasta oír el golpe en el agua, puedes estimar qué tan hondo es sin bajar a medirlo. Si le lanzas las llaves a alguien que está en un segundo piso, tu brazo «calcula» sin que lo notes con qué velocidad tienen que salir para que lleguen arriba y no se queden cortas.

En las dos situaciones el objeto solo se mueve en vertical y lo único que cambia su velocidad es la gravedad. Es el movimiento uniformemente acelerado que ya conoces, con una aceleración que no tienes que medir: la de la gravedad, que es la misma para todos los cuerpos.

Antes de empezar necesitas las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado y saber resolver una ecuación cuadrática por factorización o con la fórmula general.

La aceleración de la gravedad

Un cuerpo está en caída libre cuando sobre él solo actúa su peso. Por la segunda ley de Newton, esa fuerza le produce una aceleración, y resulta que esa aceleración es la misma para todos los cuerpos, pesados o livianos: se llama aceleración de la gravedad y se escribe $g$. En este curso usamos $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$, dirigida hacia abajo. Su valor cambia un poco de un lugar a otro de la Tierra; para nuestros cálculos esa diferencia no importa.

¿Por qué entonces una hoja de papel cae más despacio que una piedra? Por el aire, que la frena mucho más a ella. Si arrugas la hoja hasta hacerla una bola, cae casi como la piedra. En esta lección suponemos siempre que el aire no influye.

Las ecuaciones, con el eje hacia arriba

Para no equivocarnos con los signos elegimos un eje vertical $y$ con hacia arriba positivo, y decimos dónde está el origen: en el piso, en la mano o donde convenga. Como la gravedad apunta hacia abajo, la aceleración es $a = -g$. Al reemplazar en las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado quedan

$$v = v_0 - g\,t \qquad y = y_0 + v_0\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2 \qquad v^2 = v_0^2 - 2g\,(y - y_0)$$

donde $y_0$ y $v_0$ son la posición y la velocidad en $t = 0$. Con $g = 9{,}8$, el término $\tfrac{1}{2}g$ vale $4{,}9$, y la posición queda $y = y_0 + v_0\,t - 4{,}9\,t^2$.

El signo de la velocidad

Con este eje, el signo de $v$ dice hacia dónde va el cuerpo:

• si $v > 0$, el cuerpo sube;
• si $v < 0$, el cuerpo baja;
• si $v = 0$, está en el punto más alto, quieto solo un instante.

La rapidez es el valor de la velocidad sin el signo. Una piedra que baja con $v = -20\ \text{m/s}$ tiene una rapidez de $20\ \text{m/s}$.

Caída desde el reposo

Si el cuerpo se suelta sin empujarlo, $v_0 = 0$ y las ecuaciones se simplifican: $v = -g\,t$ y $y = y_0 - 4{,}9\,t^2$. Cada segundo la rapidez aumenta $9{,}8\ \text{m/s}$ (la velocidad se hace $9{,}8\ \text{m/s}$ más negativa), y la distancia caída crece con el cuadrado del tiempo: en el doble de tiempo cae el cuádruple.

Lanzamiento hacia arriba

Un cuerpo lanzado hacia arriba con velocidad $v_0$ va perdiendo velocidad hasta que, en lo más alto, $v = 0$. De ahí salen las tres cantidades que más se preguntan:

• el tiempo de subida, cuando $v_0 - g\,t = 0$, es decir $t_s = \dfrac{v_0}{g}$;
• la altura máxima sobre el punto de lanzamiento, de $0 = v_0^2 - 2g\,h$, es $h = \dfrac{v_0^2}{2g}$;
• el tiempo de vuelo hasta volver al mismo nivel, cuando $y = y_0$ otra vez, que resulta ser el doble del tiempo de subida.

Sin aire el movimiento es simétrico: tarda lo mismo subiendo que bajando, y al volver al nivel de partida tiene la misma rapidez con que salió, con el signo contrario.

En lo más alto, ¿se apaga la gravedad?

No. En el punto más alto la velocidad es cero, pero la aceleración sigue siendo $-9{,}8\ \text{m/s}^2$, porque el peso sigue actuando. Si la aceleración también fuera cero, el cuerpo se quedaría quieto flotando en el aire. Lo que pasa es lo contrario: en ese instante la velocidad deja de ser positiva y empieza a ser negativa. En la gráfica velocidad–tiempo se ve bien: es una recta de pendiente $-9{,}8$ que cruza el cero sin doblarse.

Cuando una ecuación del movimiento da dos tiempos, hay que leerlos: un tiempo negativo es un instante antes del lanzamiento, y no tiene sentido en el problema.

En resumen

• En caída libre solo actúa el peso, y todos los cuerpos tienen la misma aceleración: g = 9,8 m/s², hacia abajo.

• Con el eje hacia arriba positivo, v = v₀ − gt y y = y₀ + v₀t − 4,9t²; el signo de v dice si el cuerpo sube o baja.

• Al lanzar hacia arriba: tiempo de subida v₀/g, altura máxima v₀²/(2g) y, al volver al mismo nivel, tiempo de vuelo 2v₀/g.

• En el punto más alto la velocidad es cero solo un instante; la aceleración sigue siendo 9,8 m/s² hacia abajo.

• De las dos raíces de la ecuación de posición, un tiempo negativo es anterior al lanzamiento y se descarta.

Vocabulario

Caída libre

Movimiento de un cuerpo sobre el que solo actúa su peso: no hay aire que lo frene ni otra fuerza que lo empuje.

Aceleración de la gravedad

La aceleración, dirigida hacia abajo, con que cae cualquier cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra. Se escribe g; en este curso, g = 9,8 m/s².

Altura máxima

La mayor altura que alcanza un cuerpo lanzado hacia arriba; en ese punto su velocidad vale cero durante un instante.

Tiempo de vuelo

El tiempo que pasa desde que un cuerpo se lanza hasta que vuelve al nivel del que salió, por ejemplo de vuelta a la mano. Si cae a otro nivel, como desde una terraza al piso, se habla del tiempo hasta llegar a ese nivel.

Rapidez

El valor de la velocidad sin su signo: dice qué tan rápido va el cuerpo, pero no hacia dónde.