Lanzamiento horizontal
Lo que vas a aprender
- Separar un lanzamiento horizontal en un movimiento uniforme en x y una caída libre en y.
- Calcular el tiempo de caída y el alcance de un objeto lanzado horizontalmente.
- Hallar la velocidad con que llega al piso a partir de sus dos componentes.
- Escribir la trayectoria y(x) y reconocerla como una parábola.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una canica que rueda por una mesa y se sale por el borde no cae en línea recta hacia abajo: sigue avanzando mientras cae y dibuja una curva. Lo mismo le pasa al agua que sale de un tubo horizontal o a una piedra que lanzas de lado desde un muelle. ¿Dónde caen? ¿Cuánto tardan?
Para contestarlo no necesitas una física nueva. Basta con mirar el movimiento como dos movimientos a la vez: uno horizontal, que ya sabes describir porque es uniforme, y uno vertical, que es la caída libre de la lección anterior.
Antes de empezar necesitas la ecuación del movimiento uniforme, $x = v\,t$, la de la caída desde el reposo y el teorema de Pitágoras para sumar dos componentes perpendiculares.
Explicación
Dos movimientos que no se estorban
Imagina que en el mismo instante, desde el borde de una mesa, una moneda se deja caer y otra sale disparada horizontalmente. Si el aire no influye, las dos llegan al piso al mismo tiempo. La segunda cae lejos y la primera al pie de la mesa, pero tardan lo mismo.
La razón está en las fuerzas. Sobre la moneda que vuela solo actúa su peso, que es vertical:
- en horizontal no hay ninguna fuerza, así que, por la primera ley de Newton, la velocidad horizontal no cambia: el movimiento en $x$ es uniforme;
- en vertical actúa el peso, y por la segunda ley hay una aceleración $g$ hacia abajo: el movimiento en $y$ es una caída libre que empieza con velocidad vertical cero.
Los dos movimientos ocurren a la vez y ninguno afecta al otro. Lo único que comparten es el tiempo: el reloj es el mismo para los dos.
Las ecuaciones
Ponemos el origen en el piso, justo debajo del punto de salida; el eje $x$ horizontal hacia donde sale el cuerpo y el eje $y$ hacia arriba. Si sale desde una altura $h$ con rapidez horizontal $v_0$:
$$x = v_0\,t \qquad y = h - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$$
$$v_x = v_0 \qquad v_y = -g\,t$$
Fíjate en que la componente horizontal $v_x$ no tiene $t$: vale lo mismo en todo el vuelo. La vertical $v_y$ empieza en cero y se hace cada vez más negativa.
Tiempo de caída y alcance
El cuerpo llega al piso cuando $y = 0$. Esa condición solo usa la ecuación vertical, así que el tiempo de caída depende solo de la altura, no de la rapidez horizontal:
$$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$$
Con ese tiempo, el alcance sale de la ecuación horizontal: $x = v_0\,t$. Si desde la misma altura se lanza con el doble de rapidez, el tiempo de caída es el mismo y el alcance es el doble.
La velocidad al llegar
Al tocar el piso el cuerpo tiene las dos componentes: la horizontal, que sigue siendo $v_0$, y la vertical, $-g\,t$. Como son perpendiculares, la rapidez se calcula con Pitágoras:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$
Un error frecuente es sumar las dos componentes como si fueran números: en cuanto las dos son distintas de cero, la rapidez es menor que su suma.
La trayectoria es una parábola
Si de $x = v_0\,t$ despejamos $t = \dfrac{x}{v_0}$ y lo reemplazamos en la ecuación de $y$, desaparece el tiempo y queda la altura en función de la posición horizontal:
$$y = h - \frac{g}{2v_0^2}\,x^2$$
Es una función cuadrática con coeficiente de $x^2$ negativo: una parábola que abre hacia abajo con el vértice en el punto de salida, que es el punto más alto del recorrido. Cuanto mayor es $v_0$, más pequeño es ese coeficiente y más abierta es la curva.
Recuerda que todo esto supone que el aire no influye. Con una pluma o una hoja de papel el aire cambia mucho el resultado; con una piedra o una canica, poco.
Ejemplo resuelto
Una piedra lanzada desde un muelle
Desde un muelle a $4{,}9$ m sobre el agua, una niña lanza una piedra horizontalmente con $7$ m/s. Con $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$, ¿cuánto tarda en caer al agua, a qué distancia del muelle cae y con qué rapidez llega?
Ver la solución paso a paso
Origen en el agua, debajo del borde del muelle; eje $y$ hacia arriba. En vertical la piedra sale con velocidad cero, así que $y = 4{,}9 - 4{,}9\,t^2$. Llega al agua cuando $y = 0$:
$$4{,}9 - 4{,}9t^{2} = 0$$
Dividimos entre 4,9.
$$t^{2} = 1$$
El tiempo es positivo:
$$t = 1$$
En horizontal no hay fuerza y la velocidad se mantiene en 7 m/s. El alcance es $x = 7\,t$ con $t = 1$ s:
$$7 \cdot 1$$
Alcance, en metros:
$$7$$
La componente vertical de la velocidad al llegar, $v_y = -9{,}8\,t$:
$$-9{,}8 \cdot 1$$
Resultado, en m/s: va hacia abajo.
$$-9{,}8$$
La horizontal sigue valiendo 7 m/s. La rapidez es la hipotenusa de las dos componentes:
$$\sqrt{7^{2} + \left(9{,}8\right)^{2}}$$
Con la calculadora, la rapidez está entre 12 y 12,1 m/s:
$$12 < \sqrt{7^{2} + \left(9{,}8\right)^{2}} < 12{,}1$$
Lectura. La piedra tarda 1 s, cae a 7 m del muelle y llega con unos 12 m/s. Esa rapidez es mayor que cada componente, pero menor que su suma, 16,8 m/s: $9{,}8 < \sqrt{7^{2} + \left(9{,}8\right)^{2}} < 7 + 9{,}8$
Respuesta: Tarda 1 s, cae a 7 m del muelle y llega con una rapidez de unos 12 m/s.
Ejemplo resuelto
La ecuación de la trayectoria
Escribe la trayectoria $y(x)$ de la piedra del ejemplo anterior, que sale con $7$ m/s desde $4{,}9$ m de altura.
Ver la solución paso a paso
De $x = 7\,t$ despejamos $t = \dfrac{x}{7}$ y lo reemplazamos en $y = 4{,}9 - 4{,}9\,t^2$:
$$4{,}9 - 4{,}9 \cdot \left(\frac{x}{7}\right)^{2}$$
Elevamos al cuadrado la fracción.
$$4{,}9 - \frac{4{,}9x^{2}}{49}$$
Simplificamos el coeficiente: 4,9 entre 49 da 0,1.
$$4{,}9 - 0{,}1x^{2}$$
Comprobamos con el alcance del ejemplo anterior: en $x = 7$ la altura es cero.
$$4{,}9 - 0{,}1 \cdot 7^{2} = 0$$
Lectura. La trayectoria es una parábola que abre hacia abajo, con su punto más alto en la salida, $(0;\ 4{,}9)$, y que corta el agua en $x = 7$.
Respuesta: $4{,}9 - 0{,}1x^{2}$
La trayectoria de la piedra, y = 4,9 − 0,1x², con x y y en metros. El punto más alto es la salida, (0; 4,9), y la piedra cae al agua en (7; 0). A los 0,5 s ha recorrido la mitad del alcance en horizontal, pero ha bajado solo la cuarta parte de la altura.
Ejemplo resuelto
El doble de rapidez desde la misma altura
Desde una terraza a $19{,}6$ m del piso se lanza una pelota horizontalmente, primero con $5$ m/s y después con $10$ m/s. Con $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$, compara los tiempos de caída y los alcances.
Ver la solución paso a paso
El coeficiente de $t^2$ en la ecuación vertical es la mitad de $g$:
$$\frac{1}{2} \cdot 9{,}8 = 4{,}9$$
En los dos lanzamientos la ecuación vertical es la misma, $y = 19{,}6 - 4{,}9\,t^2$, porque la rapidez horizontal no aparece en ella. Llega al piso cuando $y = 0$:
$$19{,}6 - 4{,}9t^{2} = 0$$
Despejamos $t^2$.
$$t^{2} = 4$$
El tiempo de caída, igual para las dos:
$$t = 2$$
Alcance con 5 m/s:
$$5 \cdot 2$$
En metros:
$$10$$
Alcance con 10 m/s:
$$10 \cdot 2$$
En metros: el doble.
$$20$$
Las trayectorias tienen coeficientes $\dfrac{4{,}9}{v_0^2}$. Con 5 m/s:
$$\frac{4{,}9}{5^{2}} = 0{,}196$$
Y con 10 m/s, la cuarta parte: la curva es más abierta.
$$\frac{4{,}9}{10^{2}} = 0{,}049$$
Lectura. Las dos pelotas tardan 2 s en caer. Con el doble de rapidez el alcance se duplica, de 10 m a 20 m, y el tiempo no cambia.
Respuesta: Las dos tardan 2 s; con 5 m/s caen a 10 m y con 10 m/s, a 20 m.
Las dos pelotas del ejemplo salen de (0; 19,6). La de 5 m/s sigue y = 19,6 − 0,196x² y cae en (10; 0); la de 10 m/s sigue y = 19,6 − 0,049x² y cae en (20; 0). Una pelota que se dejara caer desde el mismo borde bajaría por el eje vertical y llegaría al piso al mismo tiempo que las dos.
Práctica
Un balón sale rodando horizontalmente del borde de un techo con 6 m/s. Con el origen en el piso, su altura en metros es y = $44{,}1 - 4{,}9t^{2}$. ¿A los cuántos segundos llega al piso?
Llega al piso cuando 44,1 − 4,9t² = 0, es decir t² = 9 y t = 3 s. Los 6 m/s no entran en la cuenta: el tiempo de caída solo depende de la altura.
El mismo balón sale del techo con 6 m/s horizontales y su altura es y = $44{,}1 - 4{,}9t^{2}$. ¿A cuántos metros del pie de la casa cae?
Tarda 3 s en caer, y en horizontal avanza 6 m cada segundo: x = 6 · 3 = 18 m.
El balón de las preguntas anteriores tarda 3 s en caer. Con g = 9,8 m/s² y hacia arriba positivo, ¿cuál es la componente vertical de su velocidad al llegar al piso, en m/s?
La componente vertical empieza en cero y cambia 9,8 m/s cada segundo hacia abajo: $v_y = -9{,}8 \cdot 3 = -29{,}4$ m/s. El −6 confunde la componente vertical con la horizontal, y −35,4 suma las dos como si fueran números.
Mientras el balón cae, sin aire, ¿qué le pasa a la componente horizontal de su velocidad?
La única fuerza es el peso, que es vertical. En horizontal la fuerza neta es cero y, por la primera ley, la velocidad horizontal se mantiene. El peso solo cambia la componente vertical.
Desde el borde de una mesa, en el mismo instante, una moneda se deja caer y otra sale disparada horizontalmente. Si el aire no influye, ¿cuál llega primero al piso?
Las dos empiezan con velocidad vertical cero y caen la misma altura con la misma aceleración g. El movimiento horizontal de la segunda no cambia su caída: solo la hace llegar más lejos.
Una canica sale horizontalmente del borde de una mesa de 0,8 m de alto. Con g = 9,8 m/s², ¿cuántos segundos tarda en llegar al piso? Redondea a dos decimales.
t = √(2h/g) = √(1,6/9,8) ≈ √0,163 ≈ 0,40 s.
La canica de la mesa de 0,8 m sale con 1,5 m/s. Con g = 9,8 m/s², ¿a cuántos metros del borde de la mesa cae? Redondea a dos decimales.
El alcance es x = v₀ · t = 1,5 · √(1,6/9,8) ≈ 1,5 · 0,404 ≈ 0,61 m. Conviene usar el tiempo sin redondear: con 0,40 s saldría 0,60 m.
Desde un muelle se lanza una piedra horizontalmente, y su altura sobre el agua, en metros, es y = $4{,}9 - 4{,}9t^{2}$. ¿Con qué rapidez, en m/s, tiene que salir para caer a 12 m del muelle?
La caída dura lo que tarda y en llegar a cero: 4,9t² = 4,9, así que t = 1 s. Para avanzar 12 m en 1 s hacen falta 12 m/s.
La piedra del primer ejemplo, la que sale con 7 m/s, sigue la trayectoria del segundo ejemplo. ¿Verdadero o falso? A 5 m del muelle va a 2,4 m sobre el agua: $4{,}9 - 0{,}1 \cdot 5^{2} = 2{,}4$
En la trayectoria y = 4,9 − 0,1x², con x = 5: 4,9 − 0,1 · 25 = 4,9 − 2,5 = 2,4 m.
Una pelota sale horizontalmente de una mesa y tarda 0,4 s en llegar al piso. Con g = 9,8 m/s², ¿qué altura tiene la mesa, en metros?
La altura es lo que cae en vertical: h = ½ · 9,8 · 0,4² = 4,9 · 0,16 = 0,784 m. Con 1,568 se olvidó el ½; con 1,96 el tiempo no se elevó al cuadrado, y con 3,92 además se olvidó el ½.
La terraza del tercer ejemplo, a 19,6 m del piso: con 5 m/s la pelota cae a 10 m. Cambia la velocidad y lanza hasta dar en el blanco, a 30 m del pie de la terraza; luego toca «Comprobar». Fíjate en que la pelota tarda lo mismo en caer, salga como salga.
Desde la terraza de 19,6 m de alto se lanza una pelota horizontalmente. Con g = 9,8 m/s² y sin aire, ¿con qué rapidez, en m/s, tiene que salir para caer a 30 m del pie de la terraza?
El tiempo de caída solo depende de la altura: t = √(2 · 19,6 / 9,8) = √4 = 2 s. En 2 s tiene que avanzar 30 m en horizontal, así que v₀ = 30 / 2 = 15 m/s.
Reto
Une cada cuenta con su resultado.
Las tres primeras son tiempos de caída, √(2h/g), desde alturas distintas; la última es un alcance, v₀ · t. Calcula y busca la pareja.
Reto
Completa el vuelo de una pelota lanzada de lado.
La pelota sale horizontalmente con 5 m/s desde una terraza a 19,6 m del piso. Separa el movimiento horizontal del vertical.
Cierre
En resumen
Un lanzamiento horizontal es dos movimientos a la vez que no se estorban, unidos por el mismo tiempo.
En horizontal no hay fuerza: la velocidad horizontal no cambia y x = v₀t.
En vertical es una caída libre desde velocidad vertical cero: y = h − 4,9t², y la velocidad vertical es −9,8t.
El tiempo de caída depende solo de la altura, t = √(2h/g); el alcance es v₀ por ese tiempo.
La trayectoria y = h − g x²/(2v₀²) es una parábola que abre hacia abajo, con el punto más alto en la salida.
Vocabulario
- Lanzamiento horizontal
Movimiento de un cuerpo que sale con velocidad horizontal desde cierta altura y cae bajo la acción de su peso.
- Alcance
La distancia horizontal entre el punto de salida y el punto donde el cuerpo llega al piso.
- Tiempo de caída
El tiempo que tarda el cuerpo en bajar desde la altura de salida hasta el piso.
- Trayectoria
La línea que describe el cuerpo en el plano: su altura y en función de su posición horizontal x.
- Independencia de los movimientos
El movimiento horizontal y el vertical ocurren a la vez sin afectarse: cada uno se calcula por separado, y los une el tiempo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Ponga una regla sobre la mesa con un extremo por fuera del borde y una moneda encima de ese extremo, y otra moneda en el borde de la mesa, justo delante de la regla. Sujete la regla por el centro y golpee con fuerza el otro extremo para que gire: la regla empuja de lado la moneda del borde y, a la vez, se quita de debajo de la otra, que cae vertical. Pida al grupo que escuche si suenan juntas al tocar el piso.
- Explicación · 15 min — Las fuerzas en cada eje y las cuatro ecuaciones. Resuelva en el tablero la piedra del muelle y deduzca su trayectoria.
- Práctica · 20 min — El ejemplo de la terraza en grupos: unos calculan con 5 m/s y otros con 10 m/s, y comparan. Después preguntas y retos en parejas.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica en una frase por qué la rapidez horizontal no cambia el tiempo de caída.
Preguntas para el salón
- Si se lanza la piedra desde un muelle cuatro veces más alto, ¿cuánto cambia el tiempo de caída?
- ¿Por qué la rapidez al llegar no es la suma de las dos componentes?
- ¿Qué cambiaría en el resultado si se tuviera en cuenta el aire?
Errores típicos
- Creer que un cuerpo lanzado más rápido en horizontal tarda más en caer. Repita el experimento de las dos monedas y señale que la ecuación vertical no tiene v₀.
- Pensar que la velocidad horizontal disminuye mientras el cuerpo cae. Pregunte qué fuerza horizontal actúa. Sin aire no hay ninguna, y la primera ley dice que la velocidad horizontal se mantiene.
- Sumar las componentes para obtener la rapidez final. Dibuje el triángulo rectángulo de las dos componentes y aplique Pitágoras.
- Usar la rapidez horizontal en la ecuación vertical. Pida dos columnas, una por eje, y que el tiempo sea lo único que pase de una a otra.
Tarea sugerida
Desde una ventana a 11,025 m del piso se lanza una pelota horizontalmente con 4 m/s. Calcular el tiempo de caída, el alcance y la rapidez al llegar, escribir la trayectoria y(x) y dibujarla con cuatro puntos.