Tiro oblicuo
Lo que vas a aprender
- Descomponer la velocidad inicial de un tiro en sus componentes horizontal y vertical.
- Calcular el tiempo de subida, la altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance de un tiro en terreno plano.
- Explicar por qué 45° da el máximo alcance solo en terreno plano y sin aire, y por qué dos ángulos complementarios dan el mismo alcance.
- Escribir la trayectoria y(x) de un tiro y leer en ella la altura máxima y el punto de caída.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un saque de banda largo, el chorro de una manguera que apuntas hacia arriba para llegar al otro lado del jardín, una pelota de papel que lanzas a la caneca desde tu puesto: en todos esos casos el objeto sale inclinado, ni horizontal ni vertical. Sube, avanza, llega a un punto más alto y baja dibujando una curva.
Con lo que ya sabes del lanzamiento horizontal y del vertical puedes predecir hasta dónde llega y qué tan alto sube, y responder una pregunta que se hace todo el que lanza algo: ¿qué ángulo conviene para llegar más lejos? La respuesta tiene una condición que se olvida con facilidad.
Antes de empezar necesitas calcular las componentes de un vector con seno y coseno, y las ecuaciones de la caída libre con el eje hacia arriba positivo.
Explicación
Descomponer la velocidad inicial
Si un cuerpo sale con rapidez $v_0$ formando un ángulo $\theta$ con la horizontal, su velocidad inicial tiene dos componentes:
$$v_{0x} = v_0\cos\theta \qquad v_{0y} = v_0\,\mathrm{sen}\,\theta$$
A partir de ahí se repite la idea de la lección anterior. Sin aire, la única fuerza es el peso, que es vertical. En horizontal no hay fuerza, así que $v_x$ no cambia en todo el vuelo; en vertical hay una aceleración $-g$, igual que en un lanzamiento hacia arriba con velocidad $v_{0y}$.
Las ecuaciones
Con el origen en el punto de lanzamiento, el eje $x$ hacia donde avanza el cuerpo y el eje $y$ hacia arriba:
$$x = v_0\cos\theta\; t \qquad y = v_0\,\mathrm{sen}\,\theta\; t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$$
$$v_x = v_0\cos\theta \qquad v_y = v_0\,\mathrm{sen}\,\theta - g\,t$$
La altura máxima
El cuerpo deja de subir cuando $v_y = 0$. Eso pasa en el tiempo de subida $t_s = \dfrac{v_0\,\mathrm{sen}\,\theta}{g}$, y la altura máxima es la de un lanzamiento vertical con la componente $v_{0y}$:
$$H = \frac{(v_0\,\mathrm{sen}\,\theta)^2}{2g}$$
En ese punto hay que tener cuidado con tres cosas distintas. La componente vertical de la velocidad es cero. La componente horizontal no es cero: sigue siendo $v_0\cos\theta$, así que el cuerpo no está quieto, sino moviéndose en horizontal. Y la aceleración no es cero: sigue siendo $g$ hacia abajo.
Tiempo de vuelo y alcance en terreno plano
Si el cuerpo cae al mismo nivel desde el que salió, vuelve a $y = 0$ al cabo del tiempo de vuelo, el doble del de subida: $t_v = \dfrac{2\,v_0\,\mathrm{sen}\,\theta}{g}$. En ese tiempo avanza en horizontal con velocidad constante, y su alcance es
$$R = v_0\cos\theta \cdot \frac{2\,v_0\,\mathrm{sen}\,\theta}{g} = \frac{v_0^2\,\mathrm{sen}(2\theta)}{g}$$
porque $2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta = \mathrm{sen}(2\theta)$. Esta fórmula solo vale si el punto de caída está a la misma altura que el de salida.
¿Qué ángulo llega más lejos?
Con la misma rapidez, el alcance depende del ángulo solo a través de $\mathrm{sen}(2\theta)$, que nunca pasa de 1. Su valor más grande se da cuando $2\theta = 90^\circ$, es decir con $\theta = 45^\circ$. Además, dos ángulos complementarios, como 30° y 60°, dan el mismo $\mathrm{sen}(2\theta)$ y por eso el mismo alcance: el de 60° sube más y tarda más, el de 30° va más bajo y más rápido en horizontal, y caen en el mismo sitio.
Las dos condiciones importan. El máximo en 45° es para terreno plano y sin aire. Si se lanza desde una altura y el cuerpo cae más abajo, conviene un ángulo menor que 45°. Y con aire, que frena al cuerpo durante todo el vuelo, el mejor ángulo suele ser también menor que 45°.
La trayectoria
Si de $x = v_0\cos\theta\,t$ se despeja $t$ y se reemplaza en la ecuación de $y$, queda la altura en función de la posición horizontal:
$$y = x\tan\theta - \frac{g}{2\,v_0^2\cos^2\theta}\,x^2$$
Es una parábola que abre hacia abajo. En terreno plano es simétrica: su vértice, el punto de altura máxima, está justo en la mitad del alcance.
Ejemplo resuelto
Un balón pateado a 30°
Un balón sale del piso con $19{,}6$ m/s a $30^\circ$ sobre la horizontal y cae en terreno plano. Con $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ y sin aire, halla sus componentes iniciales, la altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance.
Ver la solución paso a paso
La componente horizontal es $v_0\cos 30^\circ$. Como $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$:
$$19{,}6\operatorname{cos} 30^{\circ} = 9{,}8\sqrt{3}$$
Con la calculadora, unos 17 m/s:
$$16{,}9 < 9{,}8\sqrt{3} < 17$$
La componente vertical es $v_0\,\mathrm{sen}\,30^\circ$, y $\mathrm{sen}\,30^\circ = \tfrac{1}{2}$:
$$19{,}6\operatorname{sen} 30^{\circ} = 9{,}8$$
El balón deja de subir cuando $v_y = 9{,}8 - 9{,}8\,t$ vale cero:
$$9{,}8 - 9{,}8t = 0$$
Tiempo de subida, en segundos:
$$t = 1$$
La altura máxima es $y = 9{,}8\,t - 4{,}9\,t^2$ en $t = 1$:
$$9{,}8 \cdot 1 - 4{,}9 \cdot 1^{2}$$
En metros:
$$4{,}9$$
Vuelve al piso cuando $y = 0$. La solución $t = 0$ es el instante del saque:
$$9{,}8t - 4{,}9t^{2} = 0$$
Factorizamos.
$$4{,}9t\left(2 - t\right) = 0$$
Tiempo de vuelo, el doble del de subida:
$$t = 2$$
El alcance es la componente horizontal por el tiempo de vuelo:
$$9{,}8\sqrt{3} \cdot 2$$
En metros, exacto:
$$19{,}6\sqrt{3}$$
Con la calculadora, casi 34 m:
$$33{,}9 < 19{,}6\sqrt{3} < 34$$
Lectura. El balón sube 1 s hasta 4,9 m, tarda 2 s en volver al piso y cae a unos 33,9 m. Durante todo el vuelo avanza unos 17 m cada segundo en horizontal.
Respuesta: Componente horizontal ≈ 17 m/s y vertical 9,8 m/s; altura máxima 4,9 m; tiempo de vuelo 2 s; alcance 19,6√3 ≈ 33,9 m.
Ejemplo resuelto
La trayectoria del balón
Escribe la trayectoria $y(x)$ del balón que sale con $19{,}6$ m/s a $30^\circ$, y comprueba en ella la altura máxima y el punto de caída.
Ver la solución paso a paso
Reemplazamos $\theta = 30^\circ$, $v_0 = 19{,}6$ y $g = 9{,}8$ en $y = x\tan\theta - \dfrac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$:
$$x \cdot \operatorname{tan} 30^{\circ} - \frac{9{,}8x^{2}}{2 \cdot \left(19{,}6\right)^{2} \cdot \operatorname{cos}^{2} 30^{\circ}}$$
Como $\tan 30^\circ = \tfrac{1}{\sqrt{3}}$ y $\cos^2 30^\circ = \tfrac{3}{4}$:
$$\frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{9{,}8x^{2}}{2 \cdot \left(19{,}6\right)^{2} \cdot \frac{3}{4}}$$
Calculamos el denominador.
$$\frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{9{,}8x^{2}}{576{,}24}$$
Y simplificamos: 576,24 entre 9,8 da 58,8.
$$\frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{x^{2}}{58{,}8}$$
En la mitad del alcance, $x = 9{,}8\sqrt{3}$, la altura es la máxima del ejemplo anterior:
$$\frac{9{,}8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{\left(9{,}8\sqrt{3}\right)^{2}}{58{,}8} = 4{,}9$$
Y en $x = 19{,}6\sqrt{3}$ la altura es cero: ahí cae.
$$\frac{19{,}6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{\left(19{,}6\sqrt{3}\right)^{2}}{58{,}8} = 0$$
Respuesta: $\frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{x^{2}}{58{,}8}$
La trayectoria del balón, y = x/√3 − x²/58,8, con x y y en metros (las escalas de los ejes son distintas). Sale de (0; 0), llega a su altura máxima, 4,9 m, en x = 9,8√3 ≈ 17 m, y cae en x = 19,6√3 ≈ 33,9 m.
Ejemplo resuelto
El mismo saque con tres ángulos
Con la misma rapidez de $19{,}6$ m/s, en terreno plano y sin aire, compara el alcance de tiros a $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$. Usa $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$.
Ver la solución paso a paso
Con $R = \dfrac{v_0^2\,\mathrm{sen}(2\theta)}{g}$ y $\theta = 30^\circ$:
$$\frac{\left(19{,}6\right)^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(2 \cdot 30^{\circ}\right)}{9{,}8}$$
$19{,}6^2$ entre $9{,}8$ da $39{,}2$, y $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$:
$$39{,}2\operatorname{sen} 60^{\circ}$$
Alcance a 30°, en metros, el mismo del ejemplo anterior:
$$19{,}6\sqrt{3}$$
Con $\theta = 45^\circ$, $\mathrm{sen}\,90^\circ = 1$:
$$\frac{\left(19{,}6\right)^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(2 \cdot 45^{\circ}\right)}{9{,}8}$$
Alcance a 45°, en metros:
$$39{,}2$$
Con $\theta = 60^\circ$, $\mathrm{sen}\,120^\circ = \mathrm{sen}\,60^\circ$:
$$\frac{\left(19{,}6\right)^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(2 \cdot 60^{\circ}\right)}{9{,}8}$$
Alcance a 60°, igual que a 30°:
$$19{,}6\sqrt{3}$$
El de 45° llega más lejos que los otros dos:
$$19{,}6\sqrt{3} < 39{,}2$$
Pero el de 60° sube más. Su altura máxima es $\dfrac{(v_0\,\mathrm{sen}\,60^\circ)^2}{2g}$, el triple de la del tiro a 30°:
$$\frac{\left(19{,}6\operatorname{sen} 60^{\circ}\right)^{2}}{2 \cdot 9{,}8} = 14{,}7$$
Lectura. A 45° el balón cae a 39,2 m. A 30° y a 60° cae en el mismo sitio, a unos 33,9 m: el de 60° sube hasta 14,7 m y tarda más; el de 30° solo sube 4,9 m. Todo esto supone terreno plano y sin aire.
Respuesta: A 45° el alcance es 39,2 m, el mayor; a 30° y a 60° es el mismo, 19,6√3 ≈ 33,9 m.
Tres tiros con 19,6 m/s, en metros (las escalas de los ejes son distintas). El de 45° cae más lejos, en (39,2; 0), con su altura máxima de 9,8 m en la mitad del recorrido. Los de 30° y 60° caen en el mismo punto; el de 60° sube hasta 14,7 m.
Práctica
Un balón se patea con 25 m/s a 60° sobre la horizontal. ¿Cuál es la componente horizontal de su velocidad inicial, en m/s?
La componente horizontal es 25 · cos 60° = 25 · 0,5 = 12,5 m/s. Esa componente no cambia durante el vuelo.
Para el mismo balón, que sale con 25 m/s a 60°, ¿cuál es la componente vertical de su velocidad inicial, en m/s? Redondea a una cifra decimal.
La componente vertical es 25 · sen 60° = 25 · √3/2 ≈ 21,65 m/s, que redondeado es 21,7 m/s.
Una pelota se lanza desde el piso con 29,4 m/s a 30° y cae en terreno plano. Con el origen en el punto de lanzamiento, su altura en metros es y = $29{,}4t \cdot \operatorname{sen} 30^{\circ} - 4{,}9t^{2}$. ¿A los cuántos segundos vuelve al piso?
29,4 · sen 30° = 14,7, así que y = 14,7t − 4,9t² = 4,9t(3 − t). Vuelve al piso en t = 3 s; la otra solución, t = 0, es el lanzamiento.
La misma pelota sale con 29,4 m/s a 30°, y su altura es y = $29{,}4t \cdot \operatorname{sen} 30^{\circ} - 4{,}9t^{2}$. ¿Cuál es su alcance, en metros? Redondea a una cifra decimal.
La componente horizontal es 29,4 · cos 30° ≈ 25,46 m/s y el vuelo dura 3 s: el alcance es unos 76,4 m.
Un chorro de agua sale del piso con 19,6 m/s a 45°. Con g = 9,8 m/s² y sin aire, ¿qué altura máxima alcanza, en metros?
La componente vertical es 19,6 · sen 45°, y su cuadrado vale 19,6² · ½ = 192,08. La altura máxima es 192,08/19,6 = 9,8 m.
En el punto más alto de un tiro oblicuo, sin aire, ¿qué es cierto?
En lo más alto solo se anula la componente vertical. La horizontal sigue igual que al salir, así que el cuerpo se mueve en horizontal. Y la aceleración sigue siendo g hacia abajo, porque el peso no deja de actuar.
Con la misma rapidez, en terreno plano y sin aire, ¿verdadero o falso? Un tiro a 20° llega tan lejos como uno a 70°, porque $\operatorname{sen}\left(2 \cdot 20^{\circ}\right) = \operatorname{sen}\left(2 \cdot 70^{\circ}\right)$
20° y 70° suman 90°: son complementarios. sen 40° = sen 140°, así que los dos alcances, v₀² sen(2θ)/g, son iguales. El de 70° sube mucho más y tarda más en caer.
Una piedra se lanza con 14 m/s a 45° en terreno plano. Con g = 9,8 m/s² y sin aire, ¿cuál es su alcance, en metros?
R = v₀² sen(2θ)/g = 196 · sen 90°/9,8 = 196/9,8 = 20 m. Con 10 se usó sen 45° · cos 45° sin el 2; con 40 se multiplicó por 2 de más, y 10√2 ≈ 14,1 sale de usar sen 45° en lugar de sen 90°.
El balón del ejemplo sale con 19,6 m/s a 30°. A 10 m del punto de saque hay un muro de 3 m de alto. ¿Verdadero o falso? El balón pasa por encima del muro, porque $10\operatorname{tan} 30^{\circ} - \frac{9{,}8 \times 10^{2}}{2 \cdot \left(19{,}6\right)^{2} \cdot \operatorname{cos}^{2} 30^{\circ}} > 3$
Con la trayectoria y = x/√3 − x²/58,8, en x = 10 la altura es 5,77 − 1,70 ≈ 4,07 m, más que los 3 m del muro.
¿En cuál de estas situaciones NO se puede asegurar que lanzar a 45° da el mayor alcance?
La regla de los 45° sale de R = v₀² sen(2θ)/g, que solo vale si el cuerpo cae a la misma altura de la que salió y sin aire. Desde el acantilado la piedra cae mucho más abajo, y ahí conviene un ángulo menor.
El balón de los ejemplos sale con 19,6 m/s a 30°: sube 4,9 m, vuela 2 s y cae a 33,95 m. Lánzalo también a 45° y a 60°, y compara los alcances. Después, el reto: mueve solo el ángulo hasta que el balón caiga en el blanco, a 19,6 m, y toca «Comprobar». Hay dos ángulos que sirven.
Un balón sale del piso con 19,6 m/s y cae en terreno plano. Con g = 9,8 m/s² y sin aire, ¿con qué ángulo, menor que el de máximo alcance, cae a 19,6 m del punto de lanzamiento? Responde en grados.
Con R = v₀² sen(2θ)/g: sen(2θ) = 19,6 · 9,8 / 19,6² = 0,5, así que 2θ = 30° y θ = 15°. El otro ángulo que sirve es su complementario, 75°, porque sen(150°) también vale 0,5.
Reto
Lo que cambia y lo que no en el punto más alto.
Un balón sale con 19,6 m/s a 30°, y hacia arriba es positivo. Piensa en cada componente por separado.
Reto
Abre el candado con los datos de cuatro tiros.
Cada respuesta es un dígito. Sin aire, en terreno plano y con g = 9,8 m/s².
Cierre
En resumen
La velocidad inicial se descompone en v₀ cos θ, horizontal, y v₀ sen θ, vertical.
Sin aire, la componente horizontal no cambia; la vertical se comporta como un lanzamiento hacia arriba con aceleración g hacia abajo.
En el punto más alto solo se anula la componente vertical: el cuerpo sigue avanzando y la aceleración sigue siendo g hacia abajo.
En terreno plano, el tiempo de vuelo es 2v₀ sen θ/g y el alcance v₀² sen(2θ)/g; 45° da el mayor alcance solo en terreno plano y sin aire.
La trayectoria y = x tan θ − g x²/(2v₀² cos² θ) es una parábola con el vértice en la mitad del alcance.
Vocabulario
- Tiro oblicuo
Movimiento de un cuerpo lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con la horizontal, y que después solo está sometido a su peso.
- Ángulo de lanzamiento
El ángulo θ entre la velocidad inicial y la horizontal, medido hacia arriba.
- Alcance
La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto donde el cuerpo vuelve a la altura de partida.
- Ángulos complementarios
Dos ángulos que suman 90°, como 30° y 60°.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte con qué ángulo lanzarían una pelota de papel para llegar lo más lejos posible, y anote las propuestas para volver a ellas al final.
- Explicación · 20 min — Componentes de la velocidad y ecuaciones por eje. Resuelva en el tablero el balón a 30° y su trayectoria, señalando en la gráfica la altura máxima y la caída.
- Práctica · 20 min — El ejemplo de los tres ángulos en tres grupos, uno por ángulo, y puesta en común con la segunda figura. Después preguntas y retos en parejas.
- Cierre · 5 min — Vuelva a las propuestas del inicio: ¿cuál era la mejor y bajo qué condiciones?
Preguntas para el salón
- Si en el punto más alto la velocidad vertical es cero, ¿por qué el balón no se queda quieto ahí?
- ¿Por qué 30° y 60° caen en el mismo sitio si uno sube mucho más que el otro?
- Si se lanza desde la terraza de un edificio, ¿convendría un ángulo mayor o menor que 45°? ¿Por qué?
Errores típicos
- Decir que en el punto más alto la velocidad es cero. Pida que escriban las dos componentes en ese punto. La horizontal no tiene por qué haber cambiado: no hay fuerza horizontal.
- Aplicar 45° como el ángulo de máximo alcance en cualquier situación. Pregunte de dónde sale la regla: de R = v₀² sen(2θ)/g, que supone caer a la misma altura y sin aire.
- Cambiar seno y coseno al descomponer la velocidad. Dibuje el triángulo con el ángulo en la base: el cateto adyacente es la componente horizontal y lleva el coseno.
- Usar la rapidez total v₀ en la ecuación vertical. Pida que escriban primero las dos componentes como números y que cada ecuación use solo la suya.
Tarea sugerida
Un balón sale con 14 m/s en terreno plano. Calcular el alcance a 15°, 30°, 45°, 60° y 75°, hacer una tabla, y explicar qué parejas de ángulos dan el mismo alcance y cuál da el mayor.