Movimiento circular uniforme
Lo que vas a aprender
- Calcular el periodo, la frecuencia y la velocidad angular de un cuerpo que gira con movimiento circular uniforme.
- Relacionar la velocidad lineal con la angular mediante v = ωr.
- Calcular la aceleración centrípeta con a = v²/r o con a = ω²r.
- Explicar por qué hay aceleración aunque la rapidez sea constante.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Las aspas de un ventilador, una rueda de bicicleta, un carrusel del parque, la lavadora en el centrifugado: muchas cosas dan vueltas, y casi siempre con un ritmo parejo. Para describirlas no basta con decir «qué tan rápido va»: hay que decir cuántas vueltas da, cuánto tarda en cada una y qué tan rápido se mueve cada punto, que no es lo mismo en el centro que en el borde.
Además, este movimiento trae una sorpresa: un cuerpo que gira con rapidez constante sí está acelerando. Entender por qué es la clave para la unidad de las leyes de Newton, donde verás qué fuerza hace falta para mantener algo dando vueltas.
Antes de empezar necesitas la longitud de una circunferencia, $2\pi r$, y la idea de que la velocidad es un vector, con tamaño y dirección.
Explicación
Periodo y frecuencia
Un cuerpo tiene movimiento circular uniforme cuando recorre una circunferencia con rapidez constante: en tiempos iguales recorre arcos iguales.
El periodo $T$ es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, en segundos. La frecuencia $f$ es el número de vueltas por segundo, y es el inverso del periodo:
$$f = \frac{1}{T}$$
La frecuencia se mide en hertz (Hz): 1 Hz es una vuelta por segundo. A veces se da en vueltas por minuto (rpm); para pasarla a hertz se divide entre 60, porque un minuto tiene 60 segundos.
Velocidad angular
Mientras el cuerpo gira, el radio que lo une con el centro barre un ángulo. La velocidad angular $\omega$ (omega) es el ángulo barrido por unidad de tiempo. En física ese ángulo se mide en radianes: una vuelta completa son $2\pi$ radianes. Como una vuelta tarda un periodo,
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$
y se mide en radianes por segundo (rad/s).
Velocidad lineal
La velocidad lineal $v$ es la rapidez con que el cuerpo recorre la circunferencia. En una vuelta recorre $2\pi r$ en un tiempo $T$, así que
$$v = \frac{2\pi r}{T} = \omega\, r$$
Esta relación explica algo que se nota en un carrusel: todos los puntos dan una vuelta en el mismo tiempo, así que tienen la misma velocidad angular; pero los que están más lejos del centro recorren una circunferencia más grande y van más rápido. Con el doble de radio, el doble de rapidez.
La velocidad cambia aunque la rapidez no
La velocidad es un vector, y en cada punto de la circunferencia es tangente a ella: apunta hacia donde el cuerpo se movería si nada lo obligara a curvar. Mientras el cuerpo gira, el tamaño de ese vector no cambia, pero su dirección cambia todo el tiempo.
Aceleración es cualquier cambio de la velocidad, también un cambio de dirección. Por eso un cuerpo en movimiento circular uniforme siempre tiene aceleración, aunque su rapidez sea constante. Decir «gira con rapidez constante, entonces no acelera» es un error de concepto.
La aceleración centrípeta
Esa aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia, y por eso se llama centrípeta («que busca el centro»). Su valor es
$$a = \frac{v^2}{r} = \omega^2\, r$$
No tiene componente en la dirección del movimiento: por eso no cambia la rapidez, solo la dirección. Su tamaño es constante, pero ella misma también cambia de dirección mientras el cuerpo gira, porque siempre apunta al centro.
Fíjate en que $v$ está al cuadrado: con el doble de rapidez y el mismo radio, la aceleración se cuadruplica.
Por la segunda ley de Newton, si hay aceleración tiene que haber una fuerza neta, también hacia el centro. En una piedra que gira atada a una cuerda, esa fuerza la hace la cuerda; qué fuerza es en cada caso lo verás en la unidad de aplicaciones de las leyes de Newton. Si la cuerda se rompe, la piedra no sale disparada hacia afuera por el radio: sigue en línea recta, tangente a la circunferencia, en la dirección que llevaba su velocidad.
Un cuerpo gira en sentido antihorario sobre una circunferencia de 2 m de radio, como la niña del carrusel del ejemplo. En los puntos A, B y C, el segmento continuo marca la dirección de la velocidad, tangente a la circunferencia, y el punteado la de la aceleración, hacia el centro. Los segmentos muestran direcciones, no tamaños a escala: miden lo mismo en los tres puntos porque la rapidez y el valor de la aceleración no cambian; lo que cambia es hacia dónde apuntan.
Ejemplo resuelto
Una niña en el carrusel
Un carrusel da una vuelta cada $8$ s, y una niña va sentada a $2$ m del centro. Halla la frecuencia, la velocidad angular, la rapidez de la niña y su aceleración centrípeta.
Ver la solución paso a paso
El periodo es $T = 8$ s. La frecuencia es su inverso:
$$\frac{1}{8}$$
En hertz: un octavo de vuelta por segundo.
$$0{,}125$$
La velocidad angular es $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$:
$$\frac{2\pi}{8}$$
En rad/s, exacta:
$$\frac{\pi}{4}$$
Con la calculadora, entre 0,78 y 0,79 rad/s:
$$0{,}78 < \frac{\pi}{4} < 0{,}79$$
La rapidez de la niña es $v = \omega\,r$ con $r = 2$ m:
$$\frac{\pi \cdot 2}{4}$$
En m/s:
$$\frac{\pi}{2}$$
Sale lo mismo con $v = \dfrac{2\pi r}{T}$, la vuelta entera entre el periodo:
$$\frac{2\pi \cdot 2}{8} = \frac{\pi}{2}$$
Con la calculadora, entre 1,57 y 1,58 m/s:
$$1{,}57 < \frac{\pi}{2} < 1{,}58$$
La aceleración centrípeta es $a = \dfrac{v^2}{r}$:
$$\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}{2}$$
En m/s², exacta:
$$\frac{\pi^{2}}{8}$$
Con $a = \omega^2 r$ da lo mismo:
$$\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2} \cdot 2 = \frac{\pi^{2}}{8}$$
Con la calculadora, entre 1,23 y 1,24 m/s²:
$$1{,}23 < \frac{\pi^{2}}{8} < 1{,}24$$
Lectura. La niña va a unos 1,57 m/s, siempre con la misma rapidez, y aun así acelera unos 1,23 m/s² hacia el centro del carrusel.
Respuesta: f = 0,125 Hz; ω = π/4 ≈ 0,785 rad/s; v = π/2 ≈ 1,57 m/s; a = π²/8 ≈ 1,23 m/s², hacia el centro.
Ejemplo resuelto
Una centrífuga escolar
Una pequeña centrífuga de laboratorio da $20$ vueltas por segundo, y sus tubos están a $0{,}1$ m del eje. Halla el periodo, la rapidez de los tubos y su aceleración centrípeta, y compárala con $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$.
Ver la solución paso a paso
La frecuencia es $f = 20$ Hz, y el periodo es su inverso:
$$\frac{1}{20}$$
En segundos:
$$0{,}05$$
La rapidez, con $v = \dfrac{2\pi r}{T} = 2\pi r f$:
$$2\pi \cdot 0{,}1 \cdot 20$$
En m/s, exacta:
$$4\pi$$
Con la calculadora, unos 12,6 m/s:
$$12{,}5 < 4\pi < 12{,}6$$
La aceleración centrípeta, $a = \dfrac{v^2}{r}$:
$$\frac{\left(4\pi\right)^{2}}{0{,}1}$$
En m/s², exacta:
$$160\pi^{2}$$
Con la calculadora, entre 1579 y 1580 m/s²:
$$1579 < 160\pi^{2} < 1580$$
Para compararla con la gravedad, la dividimos entre 9,8:
$$161 < \frac{160\pi^{2}}{9{,}8} < 162$$
Lectura. Los tubos se mueven a unos 12,6 m/s y su aceleración es más de 160 veces $g$. Por eso una centrífuga separa las partes de una mezcla mucho más rápido que si se dejara en reposo.
Respuesta: T = 0,05 s; v = 4π ≈ 12,6 m/s; a = 160π² ≈ 1579 m/s², unas 161 veces g.
Ejemplo resuelto
Dos puntos del mismo disco
Un disco da una vuelta cada $0{,}5$ s. Compara la rapidez y la aceleración de un punto a $0{,}1$ m del eje con las de otro a $0{,}3$ m.
Ver la solución paso a paso
Los dos puntos giran juntos, así que tienen la misma velocidad angular:
$$\frac{2\pi}{0{,}5}$$
En rad/s:
$$4\pi$$
Rapidez del punto a 0,1 m, $v = \omega\,r$:
$$4\pi \cdot 0{,}1$$
En m/s:
$$0{,}4\pi$$
Rapidez del punto a 0,3 m:
$$4\pi \cdot 0{,}3$$
En m/s: el triple de la anterior.
$$1{,}2\pi$$
Comprobamos la proporción:
$$1{,}2\pi = 3 \cdot \left(0{,}4\pi\right)$$
Aceleraciones con $a = \omega^2 r$. Para el punto a 0,1 m:
$$\left(4\pi\right)^{2} \cdot 0{,}1$$
En m/s²:
$$1{,}6\pi^{2}$$
Para el punto a 0,3 m:
$$\left(4\pi\right)^{2} \cdot 0{,}3$$
En m/s²: también el triple.
$$4{,}8\pi^{2}$$
Lectura. En el mismo disco, el periodo, la frecuencia y la velocidad angular son iguales para todos los puntos. La rapidez y la aceleración crecen en proporción a la distancia al eje.
Respuesta: Con la misma ω = 4π rad/s, el punto a 0,3 m tiene el triple de rapidez (1,2π frente a 0,4π m/s) y el triple de aceleración.
Práctica
Las aspas de un ventilador dan una vuelta cada 0,25 s. ¿Cuál es su frecuencia, en hertz?
f = 1/T = 1/0,25 = 4 Hz: cuatro vueltas por segundo.
Una rueda gira con una frecuencia de 2,5 Hz. ¿Cuál es su periodo, en segundos?
T = 1/f = 1/2,5 = 0,4 s por vuelta.
Un tocadiscos gira a 45 vueltas por minuto. ¿Cuál es su frecuencia, en hertz?
Un minuto son 60 segundos: 45/60 = 0,75 vueltas por segundo, es decir 0,75 Hz.
Una rueda da una vuelta cada 2 s. ¿Cuál es su velocidad angular, en rad/s? Redondea a dos decimales.
ω = 2π/T = 2π/2 = π ≈ 3,14 rad/s: media vuelta, π radianes, cada segundo.
Un punto del borde de un disco está a 0,3 m del eje y da una vuelta cada 0,5 s. ¿Cuál es su rapidez, en m/s? Redondea a dos decimales.
v = 2πr/T = 2π · 0,3/0,5 = 1,2π ≈ 3,77 m/s.
Un carrito recorre una curva circular de 12 m de radio con una rapidez constante de 6 m/s. ¿Cuál es su aceleración centrípeta, en m/s²?
a = v²/r = 36/12 = 3 m/s², dirigida hacia el centro de la curva.
Un objeto gira con una velocidad angular de 4 rad/s en una circunferencia de 0,5 m de radio. ¿Cuál es su aceleración centrípeta, en m/s²?
a = ω²r = 16 · 0,5 = 8 m/s². El 2 es la rapidez, v = ωr; el 16 es solo ω², y el 32 sale de dividir entre el radio en lugar de multiplicar.
Un carro da vueltas a una glorieta circular con rapidez constante. ¿Tiene aceleración?
La velocidad es un vector: aunque su tamaño no cambie, su dirección cambia en cada instante, y eso es una aceleración. En el movimiento circular uniforme apunta hacia el centro y vale v²/r.
Un objeto da vueltas con 5 m/s en una circunferencia de 10 m de radio. ¿Verdadero o falso? Si su rapidez se duplica y el radio no cambia, su aceleración centrípeta se duplica: $\frac{\left(2 \cdot 5\right)^{2}}{10} = \frac{2 \cdot 5^{2}}{10}$
Con 5 m/s, a = 25/10 = 2,5 m/s²; con 10 m/s, a = 100/10 = 10 m/s². La rapidez va al cuadrado: al duplicarla, la aceleración se cuadruplica.
Un disco da una vuelta cada 0,5 s. ¿Verdadero o falso? Un punto a 0,3 m del eje va con el triple de rapidez que uno a 0,1 m: $\left(\frac{2\pi}{0{,}5}\right) \cdot 0{,}3 = 3 \cdot \left(\left(\frac{2\pi}{0{,}5}\right) \cdot 0{,}1\right)$
Los dos tienen la misma velocidad angular, 2π/0,5 = 4π rad/s. Como v = ωr, el que está al triple de distancia va al triple de rapidez.
La piedra da una vuelta cada 2 s en una cuerda de 1 m: va a 3,1 m/s, con la velocidad por la tangente y la aceleración hacia el centro. Pon el periodo en 1 s: la rapidez se duplica y la aceleración se hace cuatro veces mayor. Después, el reto: escoge en «Soltar en» el punto donde se suelta la cuerda para que la piedra dé en el blanco, y toca «Comprobar».
Una piedra gira atada a una cuerda en una circunferencia horizontal, y la cuerda se rompe. Si ninguna otra fuerza horizontal actúa sobre ella, ¿hacia dónde sale?
Sin la cuerda ya no hay fuerza hacia el centro, y la piedra sigue con la velocidad que tenía en ese instante, que era tangente a la circunferencia. No sale por el radio: no hay nada que la empuje hacia afuera.
Reto
Completa los datos de un carrusel.
El carrusel da una vuelta cada 10 s y un niño va a 3 m del centro. Usa f = 1/T, ω = 2π/T y v = ωr.
Reto
El crucigrama del movimiento circular.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
En el movimiento circular uniforme el cuerpo recorre una circunferencia con rapidez constante.
El periodo T es el tiempo de una vuelta y la frecuencia f = 1/T, en hertz, es el número de vueltas por segundo.
La velocidad angular es ω = 2π/T, en rad/s, y la rapidez es v = ωr: en un mismo disco, más lejos del eje es más rápido.
La velocidad cambia de dirección todo el tiempo, así que hay aceleración aunque la rapidez sea constante.
La aceleración centrípeta apunta hacia el centro y vale a = v²/r = ω²r; con el doble de rapidez se cuadruplica.
Vocabulario
- Movimiento circular uniforme
Movimiento de un cuerpo que recorre una circunferencia con rapidez constante.
- Periodo
El tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. Se escribe T y se mide en segundos.
- Frecuencia
El número de vueltas por unidad de tiempo, f = 1/T. Se mide en hertz (Hz): una vuelta por segundo.
- Velocidad angular
El ángulo que barre el radio por unidad de tiempo, ω = 2π/T, en radianes por segundo.
- Aceleración centrípeta
La aceleración de un cuerpo en movimiento circular uniforme. Apunta hacia el centro y vale v²/r.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Haga girar un objeto atado a un cordel (una goma de borrar, con cuidado) y pregunte si su velocidad cambia. Deje que discutan antes de decir nada.
- Explicación · 15 min — Periodo, frecuencia, velocidad angular y lineal con el carrusel en el tablero. Luego la figura: velocidad tangente, aceleración hacia el centro.
- Práctica · 20 min — La centrífuga y los dos puntos del disco en grupos; después preguntas y retos en parejas.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica con sus palabras por qué la niña del carrusel acelera aunque vaya siempre igual de rápido.
Preguntas para el salón
- En un carrusel, ¿quién da más vueltas en un minuto, el niño del borde o el del centro? ¿Quién va más rápido?
- Si en una curva el carro va el doble de rápido, ¿cuánto cambia su aceleración? ¿Y qué le pasa a la aceleración si la curva es más cerrada, con la misma rapidez?
- Cuando un bus toma una curva, ¿por qué los pasajeros sienten que los empujan hacia afuera si ninguna fuerza los empuja hacia afuera?
Errores típicos
- Decir que con rapidez constante no hay aceleración. Dibuje la velocidad en dos puntos cercanos de la circunferencia y réstelas como vectores: la diferencia no es cero y apunta hacia el centro.
- Creer que la aceleración apunta hacia afuera o hacia donde avanza el cuerpo. Pregunte qué pasaría si se rompiera la cuerda: la piedra sigue derecho, tangente. Lo que la curvaba tiraba hacia el centro.
- Confundir periodo con frecuencia, o calcular ω con grados en lugar de radianes. Exija las unidades en cada resultado: segundos para T, hertz para f, rad/s para ω.
- Pensar que todos los puntos de un disco van con la misma rapidez. Compare el recorrido de una vuelta en el borde y cerca del eje: más camino en el mismo tiempo.
Tarea sugerida
Una rueda de bicicleta de 0,35 m de radio da 3 vueltas por segundo. Calcular el periodo, la velocidad angular, la rapidez de un punto del borde y su aceleración centrípeta, y explicar hacia dónde apuntan la velocidad y la aceleración de ese punto en lo más alto de la rueda.