Diagramas de cuerpo libre
Lo que vas a aprender
- Dibujar el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo, con todas las fuerzas que actúan sobre él y solo esas.
- Plantear la segunda ley de Newton por ejes a partir del diagrama y despejar la incógnita.
- Calcular el peso aparente de una persona en un ascensor que acelera, y explicar por qué cambia.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando un ascensor arranca hacia arriba sientes que te aplasta contra el piso, y cuando frena arriba sientes que te vuelves más liviano. Tu masa no cambió; lo que cambió fue la fuerza con que el piso te empuja. Para entender eso, y para resolver casi cualquier problema de fuerzas, hay una herramienta que usan desde los estudiantes hasta los ingenieros: el diagrama de cuerpo libre.
Un problema de fuerzas mal dibujado casi nunca sale bien, aunque las cuentas estén perfectas. Antes de empezar repasa las tres leyes de Newton, el peso $P = mg$ y la descomposición de una fuerza en componentes.
Explicación
Aislar el cuerpo
Un diagrama de cuerpo libre es un dibujo de un solo cuerpo con todas las fuerzas que actúan sobre él. Se llama «libre» porque el cuerpo se dibuja separado de todo lo que lo rodea: la mesa, la cuerda o la mano no se dibujan; se dibujan las fuerzas que hacen sobre el cuerpo.
Para no olvidar ninguna fuerza ni poner una de más, sigue estos pasos:
- Elige el cuerpo y dibújalo como un punto o una caja.
- Fuerzas a distancia. Casi siempre es solo el peso, $mg$, hacia abajo; si hay imanes, como en los carritos de la lección anterior, también la fuerza magnética.
- Fuerzas de contacto. Recorre el borde del cuerpo y pregúntate qué lo toca. Cada cosa que lo toca hace una fuerza: una superficie hace la normal, perpendicular a ella, y tal vez fricción, paralela y en contra del deslizamiento; una cuerda hace tensión, a lo largo de la cuerda y halando; una mano hace un empujón o un halón.
- Dibuja cada fuerza como un segmento que sale del cuerpo, en su dirección, con su nombre.
- Elige los ejes. Conviene que uno apunte en la dirección de la aceleración.
- Escribe la segunda ley por ejes:
$$\sum F_x = m\,a_x \qquad \sum F_y = m\,a_y$$
Si el cuerpo está en equilibrio, las dos sumas son cero. Si no se mueve en alguno de los ejes, la suma en ese eje es cero.
Lo que no va en el diagrama
Hay tres errores muy comunes:
- Las fuerzas que el cuerpo hace sobre otros. Si el cuerpo es un libro, la fuerza del libro sobre la mesa actúa sobre la mesa, no sobre el libro: va en el diagrama de la mesa. Las reacciones de la tercera ley nunca aparecen en el mismo diagrama que su pareja.
- Fuerzas inventadas. No existe una «fuerza del movimiento» ni una «fuerza de la patada» que siga empujando al balón cuando el pie ya no lo toca. Un cuerpo en movimiento no necesita una fuerza hacia adelante: eso dice la primera ley.
- El producto $m\,a$. No es una fuerza más: es el resultado de sumar las fuerzas. Va al otro lado del igual.
El ascensor y el peso aparente
Una persona está de pie sobre una báscula dentro de un ascensor. Sobre ella actúan solo dos fuerzas: su peso, hacia abajo, y la normal de la báscula, hacia arriba. La báscula marca la normal, no el peso. A ese valor se le llama peso aparente.
Con el eje hacia arriba como positivo, la segunda ley da $N - mg = m\,a$, es decir,
$$N = m\,(g + a)$$
De ahí salen todos los casos:
- En reposo o con velocidad constante ($a = 0$): la báscula marca el peso.
- Aceleración hacia arriba, que pasa al arrancar subiendo o al frenar bajando: la báscula marca más que el peso.
- Aceleración hacia abajo, que pasa al arrancar bajando o al frenar subiendo: la báscula marca menos que el peso.
- Caída libre ($a = -g$): la báscula marca cero. Es la ingravidez aparente.
Lo que importa es hacia dónde apunta la aceleración, no hacia dónde va el ascensor. Y en ningún caso cambia el peso verdadero, $mg$: cambia la fuerza con que el piso te sostiene.
Diagrama de cuerpo libre de la caja: la tensión de 40 N a 60°, la fricción de 10 N, la normal de unos 14,4 N y el peso de 49 N.
Ejemplo resuelto
Una caja halada con una cuerda inclinada
Una caja de 5 kg se hala por el piso con una cuerda que forma 60° con la horizontal y tiene una tensión de 40 N. El piso la frena con una fricción de 10 N. Usa g = 9,8 m/s². Dibuja el diagrama de cuerpo libre y halla la aceleración de la caja y la normal.
Ver la solución paso a paso
Sobre la caja actúan cuatro fuerzas: el peso (a distancia) y tres de contacto, la tensión de la cuerda, la normal y la fricción del piso. Tomamos $x$ hacia donde avanza la caja y $y$ hacia arriba. La caja no se levanta del piso, así que en $y$ la suma es cero:
$$N + 40\operatorname{sen} 60^{\circ} - 5 \cdot 9{,}8 = 0$$
Despejamos la normal:
$$N = 49 - 20\sqrt{3}$$
Que es, más o menos, 14,4 N:
$$14{,}35 < 49 - 20\sqrt{3} < 14{,}45$$
En $x$ actúan la componente horizontal de la tensión y la fricción, y la suma es la masa por la aceleración:
$$40\operatorname{cos} 60^{\circ} - 10 = 5a$$
Despejamos, en m/s²:
$$a = 2$$
Comprobamos con las componentes de la figura. En $x$, la fuerza neta es la masa por la aceleración:
$$40\operatorname{cos} 60^{\circ} - 10 = 5 \cdot 2$$
Y en $y$ la suma es cero:
$$\left(49 - 20\sqrt{3}\right) + 40\operatorname{sen} 60^{\circ} - 5 \cdot 9{,}8 = 0$$
La normal es mucho menor que el peso, porque la cuerda sostiene una parte de la caja. Por eso nunca se escribe $N = mg$ sin mirar antes el diagrama.
Respuesta: a = 2 m/s² en el sentido del halón, y N = 49 − 20√3 ≈ 14,4 N.
Diagrama de cuerpo libre de la persona en el ascensor que acelera hacia arriba: la normal de la báscula, 660 N, y el peso, 588 N.
Ejemplo resuelto
La báscula en el ascensor
Sofía, de 60 kg, está de pie sobre una báscula dentro de un ascensor. Usa g = 9,8 m/s² y toma hacia arriba como positivo. ¿Cuánto marca la báscula cuando el ascensor arranca hacia arriba con una aceleración de 1,2 m/s²? ¿Y cuando, al llegar arriba, frena con una aceleración de 1,2 m/s² hacia abajo?
Ver la solución paso a paso
Sobre Sofía actúan su peso, hacia abajo, y la normal de la báscula, hacia arriba. Al arrancar, la aceleración apunta hacia arriba. La segunda ley en $y$:
$$N - 60 \cdot 9{,}8 = 60 \cdot 1{,}2$$
Despejamos, en newtons:
$$N = 660$$
Comprobamos con las fuerzas de la figura: la fuerza neta, hacia arriba, es la masa por la aceleración.
$$660 - 60 \cdot 9{,}8 = 60 \cdot 1{,}2$$
Al frenar arriba, el ascensor todavía sube, pero la aceleración apunta hacia abajo, así que va con signo menos:
$$N - 60 \cdot 9{,}8 = 60 \cdot \left(-1{,}2\right)$$
Despejamos:
$$N = 516$$
Su peso es siempre el mismo, 588 N:
$$60 \cdot 9{,}8 = 588$$
La báscula marca 660 N al arrancar y 516 N al frenar. Sofía se siente más pesada y luego más liviana, pero su peso y su masa no cambiaron: cambió la normal.
Respuesta: Al arrancar marca 660 N; al frenar arriba marca 516 N. Su peso es siempre 588 N.
Práctica
Un estudiante de 50 kg va sobre una báscula en un ascensor que sube con velocidad constante. Usa g = 9,8 m/s². ¿Cuánto marca la báscula, en N?
Velocidad constante quiere decir aceleración cero: N − mg = 0, así que la báscula marca el peso, 50 · 9,8 = 490 N. Que el ascensor suba no cambia nada si no acelera.
Una mujer de 70 kg va sobre una báscula en un ascensor que arranca hacia abajo con una aceleración de 2 m/s². Usa g = 9,8 m/s². ¿Cuánto marca la báscula, en N?
Con hacia arriba positivo, a = −2 m/s². N = 70 · (9,8 − 2) = 546 N, menos que su peso de 686 N.
Un hombre de 80 kg va sobre una báscula en un ascensor que baja y está frenando: su aceleración es de 1,5 m/s² hacia arriba. Usa g = 9,8 m/s². ¿Cuánto marca la báscula, en N?
Lo que cuenta es la aceleración, que apunta hacia arriba aunque el ascensor baje: N = 80 · (9,8 + 1,5) = 904 N, más que el peso de 784 N.
Un balde de 3 kg se sube con una cuerda, con una aceleración de 0,8 m/s² hacia arriba. Usa g = 9,8 m/s². ¿Cuál es la tensión de la cuerda, en N?
Sobre el balde actúan la tensión hacia arriba y el peso hacia abajo: T − 3·9,8 = 3·0,8, así que T = 31,8 N. La tensión supera el peso porque el balde acelera hacia arriba.
Un balón ya salió del pie que lo pateó y va subiendo por el aire. Si no se tiene en cuenta el aire, ¿qué fuerzas van en su diagrama de cuerpo libre?
La patada actuó solo mientras el pie tocaba el balón. En el aire, lo único que actúa es la atracción de la Tierra. El balón sigue avanzando por inercia, no porque lo empuje una fuerza.
Una caja de 4 kg se hala por el piso con una cuerda horizontal de 30 N, y la fricción la frena con 10 N. ¿Cuál es su aceleración, en m/s²?
En el eje del movimiento, la fuerza neta es 30 − 10 = 20 N, y a = 20/4 = 5 m/s². En vertical, la normal y el peso se compensan.
Empujas un carrito de 12 kg con 50 N, en una dirección que forma 30° por debajo de la horizontal. Usa g = 9,8 m/s². ¿Cuánto vale la normal del piso, en N?
La componente vertical de tu empujón, 50·sen 30° = 25 N, apunta hacia abajo y se suma al peso, 117,6 N. Como el carrito no se hunde, N = 117,6 + 25 = 142,6 N.
El cable de un ascensor de prueba se suelta y el ascensor cae libremente, con una aceleración de 9,8 m/s² hacia abajo. Dentro, una persona de 55 kg va sobre una báscula. ¿Verdadero o falso? La báscula marca cero; en cuentas, $55 \cdot \left(9{,}8 - 9{,}8\right) = 0$
Con a = −9,8 m/s², N = 55 · (9,8 − 9,8) = 0. La persona y la báscula caen juntas y no se empujan: es la ingravidez aparente. Su peso sigue siendo 55 · 9,8 N.
En un ascensor que acelera hacia arriba a 2,2 m/s², la báscula de una persona marca 720 N. Usa g = 9,8 m/s². ¿Cuál es la masa de la persona, en kg?
De N = m(g + a): m = 720/(9,8 + 2,2) = 720/12 = 60 kg. Si dividieras entre 9,8 te saldría una masa mayor que la real.
Una persona de 50 kg va sobre una báscula en un ascensor, y la báscula marca 440 N. Usa g = 9,8 m/s² y hacia arriba como positivo. ¿Cuál es la aceleración del ascensor, en m/s²?
N − mg = ma: 440 − 490 = 50a, así que a = −1 m/s². La aceleración apunta hacia abajo: el ascensor arranca bajando o frena subiendo.
Para un libro en reposo sobre una mesa, Andrés dibuja tres fuerzas - el peso del libro, la normal de la mesa sobre el libro y la fuerza del libro sobre la mesa. ¿Qué está mal?
En el diagrama del libro solo van las fuerzas que actúan sobre el libro - el peso y la normal. La fuerza del libro sobre la mesa va en el diagrama de la mesa.
Sofía, la del segundo ejemplo, sobre la báscula del ascensor que arranca hacia arriba con 1,2 m/s². Arma su diagrama de cuerpo libre con las fichas: pon solo las fuerzas que actúan sobre ella, con su sentido, y toca «Comprobar». Después cambia la aceleración a −1,2 m/s² y mira cómo la báscula baja de 660 N a 516 N, mientras el peso sigue en 588 N.
En el diagrama de Sofía, de 60 kg, van solo su peso, hacia abajo, y la normal de la báscula, hacia arriba. Con g = 9,8 m/s², si el ascensor acelera hacia arriba con 2 m/s², ¿cuánto marca la báscula, en newtons?
Con hacia arriba positivo, la segunda ley con las dos fuerzas del diagrama es N − 60 · 9,8 = 60 · 2, así que N = 60 · 11,8 = 708 N. 588 N es solo el peso, 468 N sería con la aceleración hacia abajo y 120 N es la fuerza neta. El movimiento no es una fuerza, y la fuerza de sus pies sobre la báscula no va en su diagrama.
Reto
Abre el candado de los diagramas.
Dibuja el diagrama de cada cuerpo antes de calcular. Cada respuesta es una cifra del código.
Reto
¿Va en el diagrama del libro?
Un libro se desliza sobre una mesa mientras una mano lo empuja hacia la derecha. Lleva cada fuerza a su canasta - en el diagrama del libro solo van las fuerzas que actúan SOBRE el libro.
Cierre
En resumen
Un diagrama de cuerpo libre muestra un solo cuerpo y todas las fuerzas que actúan sobre él, y solo esas.
Las fuerzas se buscan así - las fuerzas a distancia (casi siempre solo el peso; con imanes, también la magnética) y una fuerza por cada cosa que toca el cuerpo.
Con el diagrama se escribe la segunda ley por ejes - la suma de las fuerzas en x es la masa por la aceleración en x, y lo mismo en y.
Las fuerzas que el cuerpo hace sobre otros, la «fuerza del movimiento» y el producto m·a no van en el diagrama.
En un ascensor la báscula marca la normal, N = m(g + a) con hacia arriba positivo; depende de la aceleración, no del sentido del movimiento.
Vocabulario
- Diagrama de cuerpo libre
Dibujo de un solo cuerpo, aislado de los demás, con todas las fuerzas que actúan sobre él.
- Peso aparente
Lo que marca una báscula bajo una persona; es la normal que la báscula le hace, y puede ser mayor o menor que el peso.
- Fricción
Fuerza de contacto paralela a la superficie, que se opone al deslizamiento entre los cuerpos.
- Ingravidez aparente
Situación en la que la báscula marca cero porque el cuerpo y la báscula caen juntos con la aceleración de la gravedad.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte quién ha sentido que pesa más o menos en un ascensor, y en qué momento del viaje; anote las respuestas para volver a ellas.
- Explicación · 20 min — Los seis pasos del diagrama con la caja halada en el tablero; luego el ascensor, insistiendo en que la báscula mide la normal.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; las canastas proyectadas, y el candado como cierre por grupos.
- Cierre · 5 min — Vuelva a las respuestas del inicio y pida que cada una se explique con la aceleración del ascensor.
Preguntas para el salón
- Un balón va por el aire después de una patada. ¿Qué fuerzas actúan sobre él?
- Si el ascensor baja con velocidad constante, ¿la báscula marca más, menos o lo mismo que el peso?
- ¿Por qué la normal de una caja halada con una cuerda inclinada es menor que su peso?
Errores típicos
- Poner en el diagrama fuerzas que el cuerpo ejerce sobre otros. Pida que junto a cada fuerza escriban «de quién sobre quién»; si el segundo nombre no es el cuerpo, la fuerza sobra.
- Dibujar una fuerza en el sentido del movimiento que no tiene quién la haga. Exija que cada fuerza tenga un cuerpo que la produzca; si no lo encuentran, no existe.
- Creer que la báscula marca más cuando el ascensor sube, aunque vaya a velocidad constante. Haga calcular N con a = 0 subiendo y bajando, y compare con los casos que aceleran.
- Escribir siempre N = mg. Use la caja de la cuerda inclinada y el carrito empujado hacia abajo - la normal sale de la suma en y, no de una fórmula fija.
Tarea sugerida
Dibujar el diagrama de cuerpo libre de tres cuerpos de la casa (una lámpara colgada, una silla empujada por el piso y una persona que salta, mientras está en el aire), y calcular cuánto marcaría la báscula de una persona de 45 kg en un ascensor que acelera a 1 m/s² hacia arriba y hacia abajo.