Peso y fuerza normal
Lo que vas a aprender
- Calcular el peso de un cuerpo con P = mg y distinguirlo de su masa.
- Calcular la fuerza normal sobre un cuerpo apoyado en una superficie horizontal cuando lo empujan o lo halan en diagonal.
- Calcular lo que marca una balanza dentro de un ascensor que acelera, planteando la segunda ley en el eje vertical.
- Identificar la reacción del peso y la de la normal, y explicar por qué el peso y la normal no forman un par de acción y reacción.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Súbete a una balanza dentro de un ascensor y mírala mientras arranca: el número sube un momento y luego vuelve a su valor. Cuando el ascensor frena al llegar arriba, el número baja. Tu masa no cambió en esos segundos, así que la balanza tiene que estar midiendo otra cosa.
En esta lección vas a separar tres ideas que en la vida diaria se mezclan: la masa de un cuerpo, su peso y la fuerza normal que le hace el piso. Con ellas podrás predecir cuánto marca una balanza, por qué una caja que halas en diagonal «pesa menos» sobre el piso, y cuál es en realidad la reacción de tu peso.
Antes de empezar necesitas la segunda ley ($F_{\text{neta}} = ma$), saber dibujar un diagrama de cuerpo libre y sacar las componentes de una fuerza inclinada con seno y coseno.
Explicación
Masa y peso
La masa $m$ mide cuánta inercia tiene un cuerpo: cuánto le cuesta cambiar su velocidad. Se mide en kilogramos y es la misma en Bogotá, en la cima de una montaña o en otro planeta.
El peso $P$ es una fuerza: la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo. Es una interacción a distancia, porque actúa aunque el cuerpo no toque nada. Cerca de la superficie de la Tierra todos los cuerpos que caen libremente aceleran igual, con $g$, así que por la segunda ley
$$P = mg,$$
dirigido hacia abajo, hacia el centro de la Tierra. En este curso usamos $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$. Como $1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2 = 1\ \text{N}$, el peso sale en newtons.
Cuidado con el lenguaje de la calle: «peso 50 kilos» habla de la masa. Tu peso es una fuerza y se mide en newtons. Si viajaras a un planeta con otra $g$, tu masa sería la misma y tu peso sería otro.
La fuerza normal
Cuando un cuerpo está apoyado en una superficie, la superficie lo empuja. Esa fuerza de contacto se llama normal, $N$, porque es perpendicular («normal», en el lenguaje de la geometría) a la superficie.
La normal no tiene una fórmula propia. La superficie se deforma un poquito y empuja exactamente lo necesario para que el cuerpo no la atraviese. Por eso la normal se calcula siempre igual: con el diagrama de cuerpo libre y la segunda ley en el eje perpendicular a la superficie.
Si un libro descansa sobre una mesa horizontal y nadie más lo toca, en el eje vertical solo actúan el peso hacia abajo y la normal hacia arriba. El libro no se hunde ni se levanta, así que su aceleración vertical es cero y, por la primera ley,
$$N - mg = 0 \quad\Longrightarrow\quad N = mg.$$
Ese es un caso particular, no una regla. La normal vale $mg$ solo cuando el peso y la normal son las únicas fuerzas verticales y no hay aceleración vertical. Basta con que cambie una de esas dos condiciones para que la normal cambie:
- Si empujas la caja con una fuerza inclinada hacia abajo, parte de tu fuerza la aprieta contra el piso y la normal crece: $N = mg + F\operatorname{sen}\theta$.
- Si la halas con una cuerda inclinada hacia arriba, parte de tu fuerza la sostiene y la normal disminuye: $N = mg - F\operatorname{sen}\theta$.
- Si la componente vertical de tu tirón llegara a igualar el peso, la normal sería cero y la caja dejaría de apoyarse. La normal nunca es negativa: el piso empuja, no jala.
En esas fórmulas $\theta$ es el ángulo entre tu fuerza y la horizontal, así que la componente vertical de la fuerza es $F\operatorname{sen}\theta$ y la horizontal es $F\cos\theta$. No hace falta memorizarlas: salen del diagrama.
El peso, la normal y la tercera ley
Es muy común decir que la normal es «la reacción del peso». No lo es. Los pares de acción y reacción de la tercera ley actúan sobre cuerpos distintos y son de la misma interacción:
- El peso del libro es la fuerza de la Tierra sobre el libro. Su reacción es la fuerza con que el libro atrae a la Tierra, del mismo tamaño y hacia arriba, aplicada en la Tierra.
- La normal es la fuerza de la mesa sobre el libro. Su reacción es la fuerza con que el libro empuja la mesa, del mismo tamaño y hacia abajo, aplicada en la mesa.
El peso y la normal actúan los dos sobre el libro y vienen de interacciones distintas (una a distancia y otra de contacto). A veces son iguales, como en la mesa quieta, y a veces no, como en un ascensor que acelera. Si fueran un par de acción y reacción, serían iguales siempre.
La balanza mide la normal
Una balanza de baño no mide tu masa: mide la fuerza con que la aprietas. Por la tercera ley, esa fuerza es igual a la normal que la balanza te hace a ti. Si la balanza muestra kilogramos, es porque divide la fuerza que mide entre $9{,}8\ \text{m/s}^2$, como si tú estuvieras en reposo. A lo que marca se le llama peso aparente.
En un ascensor, toma hacia arriba como positivo. Sobre ti actúan tu peso y la normal de la balanza, y la segunda ley queda
$$N - mg = ma \quad\Longrightarrow\quad N = m(g + a).$$
- Si el ascensor acelera hacia arriba (arranca subiendo, o frena mientras baja), $a > 0$ y la balanza marca más que tu peso.
- Si acelera hacia abajo (arranca bajando, o frena mientras sube), $a < 0$ y marca menos.
- Si se mueve con velocidad constante, subiendo o bajando, $a = 0$ y marca tu peso: es la primera ley. Lo que importa es la aceleración, no hacia dónde se mueve.
La caja del ejemplo 2 con sus fuerzas a escala. El tirón F, inclinado 30° sobre la horizontal, sostiene una parte de la caja, y por eso la normal N queda más corta que el peso P. Suponemos un piso muy liso: la fricción es tema de la próxima lección.
Ejemplo resuelto
Masa y peso de un morral
Un morral tiene una masa de 6 kg. ¿Cuánto pesa en la Tierra, con g = 9,8 m/s²? ¿Cuánto pesaría en un planeta inventado donde g = 4 m/s²? ¿Cuál sería su masa allá?
Ver la solución paso a paso
En la Tierra multiplicamos la masa por la aceleración de la gravedad:
$$6 \cdot 9{,}8$$
El peso es $P = 58{,}8\ \text{N}$.
En el planeta inventado cambia $g$, no la masa:
$$6 \cdot 4$$
Allá el peso sería $P = 24\ \text{N}$.
La masa sigue siendo 6 kg: es la misma cantidad de materia con la misma inercia. Lo que cambió es la fuerza con que el planeta la atrae.
Respuesta: Pesa 58,8 N en la Tierra y pesaría 24 N en el planeta inventado; su masa es 6 kg en los dos lugares.
Ejemplo resuelto
La normal cuando halas en diagonal
Simón hala una caja de 20 kg por un piso horizontal con una cuerda que forma 30° con la horizontal, con una fuerza de 50 N. ¿Cuánto vale la normal? ¿Y si en lugar de halarla la empujara con 50 N inclinados 30° hacia abajo? Usa g = 9,8 m/s².
Ver la solución paso a paso
En el eje vertical la caja no se mueve, así que la suma de fuerzas verticales es cero. Hacia arriba van la normal y la componente vertical del tirón, $F\operatorname{sen}30^\circ$; hacia abajo, el peso:
$$N + 50\operatorname{sen} 30^{\circ} - 20 \cdot 9{,}8 = 0$$
Como $\operatorname{sen}30^\circ = \tfrac{1}{2}$, la componente vertical del tirón vale 25 N y el peso 196 N:
$$N = 196 - 25$$
La normal es
$$N = 171$$
Es menor que el peso, porque la cuerda sostiene una parte de la caja:
$$171 < 20 \cdot 9{,}8$$
Si la empuja hacia abajo, la componente vertical de su fuerza apunta hacia abajo y se suma al peso:
$$N - 50\operatorname{sen} 30^{\circ} - 20 \cdot 9{,}8 = 0$$
Despejamos la normal:
$$N = 221$$
Respuesta: Halando, N = 171 N; empujando hacia abajo, N = 221 N. En ninguno de los dos casos la normal es igual al peso de 196 N.
La caja de 20 kg de Simón, en un piso sin fricción, halada con 50 N a 30° sobre la horizontal: la cuerda la levanta un poco y la normal baja a 171 N. Lleva el ángulo a 0° y la normal vuelve a ser el peso, 196 N; llévalo a −30°, empujando en diagonal hacia abajo, y la normal sube a 221 N.
Ejemplo resuelto
La balanza en el ascensor
Marta, de 60 kg, está de pie sobre una balanza dentro de un ascensor. Toma hacia arriba como positivo y g = 9,8 m/s². ¿Cuánto marca la balanza cuando el ascensor (a) arranca hacia arriba con una aceleración de 1,2 m/s², y (b) frena mientras sube, con una aceleración de 1,2 m/s² hacia abajo?
Ver la solución paso a paso
(a) Sobre Marta actúan la normal de la balanza, hacia arriba, y su peso, hacia abajo. La segunda ley en el eje vertical, con $a$ positiva:
$$N - 60 \cdot 9{,}8 = 60 \cdot 1{,}2$$
Despejamos la normal:
$$N = 660$$
Una balanza que muestra kilogramos divide esa fuerza entre 9,8, así que marcaría unos 67,3 «kilos» aunque la masa de Marta siga siendo 60 kg:
$$67{,}3 < \frac{660}{9{,}8} < 67{,}4$$
(b) Ahora la aceleración apunta hacia abajo, así que entra con signo negativo:
$$N - 60 \cdot 9{,}8 = 60 \cdot \left(-1{,}2\right)$$
Despejamos:
$$N = 516$$
En «kilos», la balanza marcaría unos 52,7:
$$52{,}6 < \frac{516}{9{,}8} < 52{,}7$$
Las dos lecturas quedan a lado y lado del peso de Marta, que es 588 N:
$$516 < 60 \cdot 9{,}8 < 660$$
Respuesta: (a) 660 N, unos 67,3 «kg» en la pantalla; (b) 516 N, unos 52,7 «kg». La masa de Marta no cambia: cambia la normal.
Práctica
Una estudiante tiene una masa de 45 kg. ¿Cuál es su peso, en newtons? Usa g = 9,8 m/s².
P = mg = 45 · 9,8 = 441 N. Los 45 kg son la masa; el peso es una fuerza.
Un bulto de arroz pesa 294 N. ¿Cuál es su masa, en kilogramos? Usa g = 9,8 m/s².
De P = mg se despeja m = P/g = 294/9,8 = 30 kg. Multiplicar por 9,8 da 2 881,2, que no tiene sentido como masa.
Una caja de 15 kg está sobre un piso horizontal. Alguien la empuja con 40 N en una dirección inclinada 30° hacia abajo respecto a la horizontal. ¿Cuánto vale la normal, en newtons? Usa g = 9,8 m/s².
La componente vertical del empujón, 40 · sen 30° = 20 N, aprieta la caja contra el piso: N = 147 + 20 = 167 N.
Una maleta de 10 kg descansa sobre un piso horizontal y alguien la hala con 60 N mediante una correa inclinada 30° hacia arriba. La maleta no se despega del piso. ¿Cuánto vale la normal, en newtons? Usa g = 9,8 m/s².
La correa sostiene 60 · sen 30° = 30 N del peso de 98 N, así que el piso solo tiene que empujar N = 98 − 30 = 68 N.
Un libro de 2 kg está sobre una mesa horizontal y alguien lo aprieta hacia abajo con la mano, con una fuerza vertical de 5 N. Con g = 9,8 m/s², ¿verdadero o falso? La normal sobre el libro vale 19,6 N.
19,6 N es el peso. La mano también empuja hacia abajo, así que la mesa tiene que empujar más: N = 19,6 + 5 = 24,6 N.
Pablo, de 50 kg, está sobre una balanza en un ascensor que arranca hacia abajo con una aceleración de 2 m/s². ¿Cuánto marca la balanza, en newtons? Toma hacia arriba como positivo y g = 9,8 m/s².
N − mg = m·a con a = −2: N = 50 · (9,8 − 2) = 390 N, menos que su peso de 490 N.
Una persona de 70 kg está sobre una balanza que muestra kilogramos (divide la fuerza entre 9,8). El ascensor acelera hacia arriba a 0,98 m/s². ¿Qué número muestra la balanza?
La normal es N = 70 · (9,8 + 0,98) = 754,6 N, y la balanza muestra 754,6/9,8 = 77. La masa sigue siendo 70 kg.
Una persona de 60 kg está sobre una balanza en un ascensor cuyo cable se rompe, de modo que todo cae con aceleración de 9,8 m/s² hacia abajo. ¿Verdadero o falso? La balanza marca cero.
Con a = −g, N = m(g + a) = m(g − g) = 0. La persona y la balanza caen juntas y no se aprietan. Su peso no desapareció: la Tierra la sigue atrayendo.
Un ascensor sube con velocidad constante. ¿Qué marca una balanza sobre la que está una persona, comparado con el peso de esa persona?
Lo que cambia la lectura es la aceleración, no el sentido del movimiento. Con velocidad constante la fuerza neta es cero (primera ley), así que N = mg.
Un libro descansa sobre una mesa. Según la tercera ley de Newton, ¿cuál es la reacción del peso del libro?
El peso es la fuerza de la Tierra sobre el libro; su reacción es la del libro sobre la Tierra. La normal actúa sobre el mismo libro y es de otra interacción (de contacto con la mesa), así que no es su reacción.
Reto
Abre el candado del peso y la normal.
Cada respuesta, en newtons, es una cifra del código. En este candado usa g = 10 m/s² y toma hacia arriba como positivo.
Reto
Une cada cuenta de la normal con su valor en newtons.
Todas son de una caja de 20 kg con g = 9,8 m/s². Fíjate en el signo: ¿la fuerza extra aprieta la caja o la sostiene?
Cierre
En resumen
La masa (en kg) mide la inercia y no cambia de lugar en lugar; el peso P = mg es una fuerza (en N) y depende de g.
La normal es perpendicular a la superficie y vale lo que haga falta para que el cuerpo no la atraviese; se calcula con la segunda ley en el eje perpendicular.
La normal vale mg solo si el peso y la normal son las únicas fuerzas en ese eje y no hay aceleración en él; un empujón hacia abajo la aumenta y un tirón hacia arriba la disminuye.
El peso y la normal no son un par de acción y reacción; la reacción del peso es la atracción del cuerpo sobre la Tierra.
Una balanza mide la normal; en un ascensor marca N = m(g + a), con hacia arriba positivo.
Vocabulario
- Masa
Cantidad de materia de un cuerpo y medida de su inercia. Se mide en kilogramos y no cambia de un lugar a otro.
- Peso
Fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo. Vale P = mg, apunta hacia el centro de la Tierra y se mide en newtons.
- Fuerza normal
Fuerza de contacto que una superficie ejerce sobre un cuerpo apoyado en ella, perpendicular a la superficie. Vale lo que haga falta para que el cuerpo no la atraviese.
- Peso aparente
Lo que marca una balanza: la normal que la balanza le hace al cuerpo. Coincide con el peso solo si la aceleración vertical es cero.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué marcaría una balanza de baño en un ascensor que arranca hacia arriba, y anote las predicciones sin corregirlas.
- Explicación · 15 min — Masa frente a peso; la normal como fuerza que «se ajusta»; el ejemplo de la caja halada en diagonal con su diagrama en el tablero.
- Ascensor y tercera ley · 10 min — Resuelva el ejemplo del ascensor y vuelva a las predicciones del inicio; discuta por qué la normal no es la reacción del peso.
- Práctica · 12 min — Preguntas y retos en parejas; el candado se puede resolver en grupo proyectado.
- Cierre · 3 min — Que cada estudiante escriba una situación en la que la normal sea mayor que el peso y otra en la que sea menor.
Preguntas para el salón
- Si la normal siempre fuera igual al peso, ¿qué marcaría la balanza en el ascensor?
- ¿Hacia dónde apunta la reacción de su peso, y sobre qué cuerpo actúa?
- ¿Puede la normal ser mayor que el peso cuando el ascensor baja? ¿En qué momento?
Errores típicos
- Escribir N = mg en toda situación. Pida siempre el diagrama de cuerpo libre y la suma de fuerzas en el eje perpendicular antes de dar un valor de la normal.
- Decir que la normal es la reacción del peso. Pregunte quién ejerce cada fuerza y sobre quién: el peso lo ejerce la Tierra y la normal la mesa, y las dos actúan sobre el libro.
- Confundir masa y peso, o dar el peso en kilogramos. Exija la unidad en cada respuesta y compare la masa y el peso de un mismo objeto en dos planetas inventados.
- Creer que la balanza marca más cuando el ascensor sube, aunque sea con velocidad constante. Separe velocidad y aceleración: con velocidad constante la fuerza neta es cero y la lectura es el peso.
Tarea sugerida
Calcular lo que marcaría la balanza para una persona de 55 kg en las cuatro fases de un viaje en ascensor (arranca subiendo, sube constante, frena subiendo, quieto), con aceleraciones de 1,5 m/s² en los arranques y frenadas, y explicar con la primera y la segunda ley cada resultado.