El plano inclinado
Lo que vas a aprender
- Descomponer el peso de un cuerpo en una rampa en sus componentes paralela (mg sen θ) y perpendicular (mg cos θ).
- Calcular la normal y la aceleración de un cuerpo en una rampa sin fricción.
- Decidir si un cuerpo se queda quieto en una rampa comparando mg sen θ con μs·N, y calcular su aceleración cuando desliza con fricción.
- Calcular el ángulo a partir del cual un cuerpo empieza a deslizar.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una rampa para sillas de ruedas, el tobogán de un parque, la carretera que sube a un pueblo en la montaña o la tabla que se apoya en un camión para bajar un trasteo: todos son planos inclinados. En ellos un cuerpo puede quedarse quieto, deslizar despacio o salir disparado, según el ángulo y las superficies.
En esta lección vas a aprender a separar el peso en dos partes, una que tira del cuerpo rampa abajo y otra que lo aprieta contra la rampa. Con eso podrás calcular la normal, la aceleración y el ángulo en que una caja empieza a resbalar.
Antes de empezar necesitas sacar componentes de un vector con seno y coseno, calcular la normal con la segunda ley y el criterio de arranque de la fricción estática.
Explicación
Ejes inclinados
En el piso horizontal escogíamos un eje horizontal y uno vertical. En una rampa conviene inclinar los ejes: uno a lo largo de la rampa y otro perpendicular a ella. La razón es práctica. El cuerpo solo se puede mover a lo largo de la rampa, así que en el eje perpendicular su aceleración es cero; además, la normal y la fricción ya quedan cada una sobre un eje. La única fuerza que queda «torcida» es el peso, y por eso lo descomponemos.
Las dos componentes del peso
Si la rampa forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, el peso, que apunta vertical hacia abajo, forma ese mismo ángulo $\theta$ con la perpendicular a la rampa. Se ve en la figura: si la rampa estuviera horizontal ($\theta = 0$), el peso sería perpendicular a ella; al inclinar la rampa un ángulo $\theta$, la perpendicular gira lo mismo y se separa $\theta$ de la vertical.
Con ese ángulo, el peso $mg$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y sus componentes son:
- Paralela a la rampa, hacia abajo de ella: $mg\operatorname{sen}\theta$. Es la parte que tira del cuerpo rampa abajo.
- Perpendicular a la rampa, hacia ella: $mg\cos\theta$. Es la parte que aprieta el cuerpo contra la rampa.
Un truco para no confundirlas: piensa en los extremos. Con la rampa horizontal ($\theta = 0$) nada tira del cuerpo hacia ningún lado, y en efecto $\operatorname{sen}0 = 0$. Con la rampa vertical ($\theta = 90^\circ$) el cuerpo cae sin apretar la pared, y $\cos 90^\circ = 0$.
Una rampa de 30° con un bloque. El peso P (vertical) se descompone en mg sen θ, a lo largo de la rampa y hacia abajo, y mg cos θ, perpendicular a ella (punteadas). La normal N equilibra solo la componente perpendicular, así que es más corta que P.
La normal en la rampa
En el eje perpendicular actúan la normal, hacia afuera de la rampa, y la componente $mg\cos\theta$, hacia la rampa. Si ninguna otra fuerza tiene componente en ese eje, la aceleración en él es cero y
$$N = mg\cos\theta.$$
Como $\cos\theta < 1$ para cualquier rampa inclinada, la normal es menor que el peso. Otra vez: la normal no vale $mg$ por regla; vale lo que diga la segunda ley en su eje.
Sin fricción: la aceleración no depende de la masa
Si la rampa es muy lisa, la única fuerza a lo largo de ella es $mg\operatorname{sen}\theta$, y la segunda ley da
$$mg\operatorname{sen}\theta = ma \quad\Longrightarrow\quad a = g\operatorname{sen}\theta.$$
La masa se cancela: en una rampa sin fricción, un bloque liviano y uno pesado bajan con la misma aceleración. Con $\theta = 90^\circ$ queda $a = g$, la caída libre.
Con fricción: ¿se queda quieto o desliza?
Si hay fricción, primero se decide si el cuerpo desliza. La fuerza que tiende a moverlo es $mg\operatorname{sen}\theta$ y el tope de la fricción estática es $\mu_s N = \mu_s mg\cos\theta$.
- Si $mg\operatorname{sen}\theta \le \mu_s mg\cos\theta$, el cuerpo se queda quieto. La fricción estática apunta rampa arriba y vale exactamente $mg\operatorname{sen}\theta$, no $\mu_s N$: es lo que hace falta para el equilibrio.
- Si $mg\operatorname{sen}\theta > \mu_s mg\cos\theta$, el cuerpo desliza rampa abajo, y entonces actúa la fricción cinética $\mu_k mg\cos\theta$, rampa arriba:
$$mg\operatorname{sen}\theta - \mu_k mg\cos\theta = ma \quad\Longrightarrow\quad a = g(\operatorname{sen}\theta - \mu_k\cos\theta).$$
El ángulo en que empieza a deslizar
Imagina que vas levantando poco a poco una tabla con una caja encima. Al principio la caja se queda quieta; a partir de cierto ángulo, resbala. Ese ángulo crítico es el borde entre los dos casos: $mg\operatorname{sen}\theta = \mu_s mg\cos\theta$. La masa y la $g$ se cancelan, y dividiendo entre $\cos\theta$ queda
$$\tan\theta = \mu_s.$$
Este resultado sirve para medir $\mu_s$ en el salón: se inclina la tabla hasta que el objeto empieza a resbalar, se mide el ángulo y se calcula su tangente. Los coeficientes de los ejemplos de esta lección son inventados.
Ejemplo resuelto
Las componentes del peso en una rampa lisa
Una caja de 10 kg está sobre una rampa sin fricción inclinada 30°. Calcula las componentes de su peso, la normal y la aceleración con que baja. Usa g = 9,8 m/s².
Ver la solución paso a paso
Componente paralela a la rampa, $mg\operatorname{sen}30^\circ$:
$$10 \cdot 9{,}8\operatorname{sen} 30^{\circ}$$
Como $\operatorname{sen}30^\circ = \tfrac{1}{2}$, vale $\,49\ \text{N}$.
Componente perpendicular, $mg\cos 30^\circ$:
$$10 \cdot 9{,}8\operatorname{cos} 30^{\circ}$$
Como $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$, vale $\,49\sqrt{3}\ \text{N}$.
Eso es un poco menos de 85 N:
$$84{,}8 < 49\sqrt{3} < 84{,}9$$
Comprobación: las dos componentes son los catetos de un triángulo cuya hipotenusa es el peso de 98 N.
$$\sqrt{49^{2} + \left(49\sqrt{3}\right)^{2}} = 10 \cdot 9{,}8$$
En el eje perpendicular la caja no se mueve, así que la normal equilibra la componente perpendicular:
$$N - 10 \cdot 9{,}8\operatorname{cos} 30^{\circ} = 0$$
La normal es menor que el peso.
$$N = 49\sqrt{3}$$
A lo largo de la rampa solo actúa la componente paralela. Segunda ley, con rampa abajo positivo:
$$10 \cdot 9{,}8\operatorname{sen} 30^{\circ} = 10a$$
La aceleración es $g\operatorname{sen}30^\circ$:
$$a = 4{,}9$$
Respuesta: Componentes: 49 N a lo largo de la rampa y 49√3 ≈ 84,9 N contra ella; N ≈ 84,9 N; a = 4,9 m/s² rampa abajo.
Ejemplo resuelto
¿Se queda quieta o resbala?
La misma caja de 10 kg está ahora en una rampa de madera con μs = 0,7 y μk = 0,4 (inventados). ¿Se queda quieta con la rampa a 30°? ¿Y si se inclina a 40°? Si desliza, ¿con qué aceleración? Usa g = 9,8 m/s².
Ver la solución paso a paso
A 30°, comparamos la componente que la hace bajar, 49 N, con el tope de la fricción estática, $\mu_s mg\cos 30^\circ \approx 59{,}4\ \text{N}$. Es menor, así que se queda quieta:
$$10 \cdot 9{,}8\operatorname{sen} 30^{\circ} < 0{,}7 \cdot 10 \cdot 9{,}8\operatorname{cos} 30^{\circ}$$
El tope, en efecto, es de unos 59,4 N:
$$59{,}4 < 0{,}7 \cdot 10 \cdot 9{,}8\operatorname{cos} 30^{\circ} < 59{,}5$$
Como está en equilibrio, la fricción estática vale lo mismo que la componente paralela, rampa arriba, y no el tope de 59,4 N:
$$10 \cdot 9{,}8\operatorname{sen} 30^{\circ}$$
$f_s = 49\ \text{N}$.
A 40°, la componente paralela ya supera el tope de la fricción estática, así que desliza:
$$10 \cdot 9{,}8\operatorname{sen} 40^{\circ} > 0{,}7 \cdot 10 \cdot 9{,}8\operatorname{cos} 40^{\circ}$$
Mientras desliza actúa la fricción cinética, rampa arriba. Segunda ley a lo largo de la rampa, con rampa abajo positivo:
$$10 \cdot 9{,}8\operatorname{sen} 40^{\circ} - 0{,}4 \cdot 10 \cdot 9{,}8\operatorname{cos} 40^{\circ} = 10a$$
La masa se cancela:
$$a = 9{,}8 \cdot \left(\operatorname{sen} 40^{\circ} - 0{,}4\operatorname{cos} 40^{\circ}\right)$$
Eso da unos 3,3 m/s²:
$$3{,}29 < 9{,}8 \cdot \left(\operatorname{sen} 40^{\circ} - 0{,}4\operatorname{cos} 40^{\circ}\right) < 3{,}3$$
Respuesta: A 30° se queda quieta, con una fricción estática de 49 N; a 40° desliza con una aceleración de unos 3,3 m/s² rampa abajo.
La caja de 10 kg del ejemplo en la rampa de madera (μs = 0,7 y μk = 0,4). A 30° se queda quieta: la fricción estática vale 49 N, lo mismo que la componente del peso a lo largo de la rampa. Sube el ángulo grado a grado: a 34° todavía aguanta, a 36° ya resbala, y a 40° baja con 3,3 m/s².
Ejemplo resuelto
El ángulo crítico
Entre la caja y la rampa de madera, μs = 0,7. ¿A partir de qué ángulo empieza a deslizar la caja, si se va levantando la rampa poco a poco?
Ver la solución paso a paso
En el borde, la componente paralela iguala al tope de la fricción estática. Dividimos entre $mg$, que está en los dos lados:
$$\operatorname{sen} \theta = 0{,}7\operatorname{cos} \theta$$
Dividimos entre $\cos\theta$:
$$\operatorname{tan} \theta = 0{,}7$$
El ángulo es
$$\theta = \operatorname{tan}^{-1}\left(0{,}7\right)$$
Eso es casi 35°:
$$34{,}9^{\circ} < \operatorname{tan}^{-1}\left(0{,}7\right) < 35^{\circ}$$
Coincide con el ejemplo anterior: a 30° (menos que el ángulo crítico) se quedaba quieta, y a 40° (más) deslizaba. Como la masa se canceló, cualquier caja del mismo material empieza a deslizar en el mismo ángulo.
Respuesta: Empieza a deslizar cuando la rampa supera unos 35°, el ángulo cuya tangente es 0,7.
Práctica
Un bloque de 20 kg está sobre una rampa inclinada 30°. ¿Cuánto vale la componente de su peso paralela a la rampa, en newtons? Usa g = 9,8 m/s².
mg sen 30° = 196 · 0,5 = 98 N, rampa abajo.
El mismo bloque de 20 kg sobre la rampa de 30°: ¿cuánto vale la normal, en newtons, si ninguna otra fuerza actúa perpendicular a la rampa? Usa g = 9,8 m/s² y redondea a una cifra decimal.
N = mg cos 30° = 196 · 0,866… ≈ 169,7 N. Es menor que el peso de 196 N.
Un trineo baja por una rampa de hielo, sin fricción, inclinada 25°. ¿Cuál es su aceleración, en m/s²? Usa g = 9,8 m/s² y redondea a dos decimales.
Sin fricción, a = g sen θ = 9,8 · sen 25° ≈ 4,14 m/s². No hace falta la masa.
Una caja de 4 kg está sobre una rampa inclinada 60°. Si ninguna otra fuerza actúa perpendicular a la rampa, ¿cuánto vale la normal, en newtons? Usa g = 9,8 m/s².
N = mg cos 60° = 39,2 · 0,5 = 19,6 N. 39,2 N es el peso completo, y mg sen 60° es la componente a lo largo de la rampa.
Un bloque de 3 kg descansa sobre una rampa de 20°, con μs = 0,5 (inventado). Con g = 9,8 m/s², ¿verdadero o falso? El bloque se queda quieto.
La componente paralela es unos 10,1 N y el tope de la fricción estática unos 13,8 N. Como no lo supera, el bloque se queda quieto (también se ve con tan 20° ≈ 0,36, menor que 0,5).
Ese bloque de 3 kg sigue quieto sobre la rampa de 20° (μs = 0,5). ¿Cuánto vale la fricción estática sobre él, en newtons? Usa g = 9,8 m/s² y redondea a dos decimales.
En reposo, la fricción estática equilibra la componente paralela: f_s = mg sen 20° ≈ 10,06 N, rampa arriba. No es μs·N ≈ 13,8 N, que es solo el máximo.
Una caja desliza rampa abajo por una rampa de 30° con μk = 0,2 (inventado). ¿Cuál es su aceleración, en m/s²? Usa g = 9,8 m/s² y redondea a dos decimales.
a = g(sen 30° − 0,2 · cos 30°) = 9,8 · (0,5 − 0,173…) ≈ 3,20 m/s².
Entre un bloque y una tabla, μs = 1 (inventado). Si la tabla se va inclinando poco a poco, ¿a partir de qué ángulo empieza a deslizar el bloque?
El ángulo crítico cumple tan θ = μs = 1, y tan 45° = 1.
Entre un borrador y una regla, μs = 0,6 (inventado). ¿A partir de qué ángulo, en grados, empieza a deslizar el borrador si se inclina la regla? Redondea a una cifra decimal.
tan θ = 0,6, así que θ = tan⁻¹ 0,6 ≈ 31,0°.
Una caja de 10 kg está sobre una rampa de 30°, sin más fuerzas perpendiculares a la rampa que su peso y la normal. Con g = 9,8 m/s², ¿verdadero o falso? La normal vale lo mismo que el peso.
La normal solo equilibra la componente perpendicular: N = mg cos 30° ≈ 84,9 N, menos que los 98 N del peso.
Dos cajas, una pequeña y otra diez veces más pesada, se sueltan desde lo alto de la misma rampa sin fricción. ¿Cuál baja con mayor aceleración?
La caja pesada tiene una componente paralela mayor, pero también más inercia: en a = mg sen θ / m la masa se cancela y queda a = g sen θ para las dos.
Reto
Une cada componente del peso con su valor en newtons.
Seno para la componente a lo largo de la rampa, coseno para la que aprieta contra ella. Recuerda que sen 30° = cos 60° = 0,5.
Reto
Abre el candado de la rampa.
Cada respuesta es una cifra del código. En este candado usa g = 10 m/s².
Cierre
En resumen
En una rampa conviene tomar un eje a lo largo de ella y otro perpendicular; el peso se descompone en mg sen θ (rampa abajo) y mg cos θ (contra la rampa).
Si ninguna otra fuerza actúa perpendicular a la rampa, N = mg cos θ, menor que el peso.
Sin fricción, el cuerpo baja con a = g sen θ, sin importar su masa.
Con fricción, el cuerpo se queda quieto si mg sen θ ≤ μs·N, y entonces la fricción estática vale mg sen θ; si desliza, a = g(sen θ − μk cos θ).
El ángulo en que un cuerpo empieza a deslizar cumple tan θ = μs.
Vocabulario
- Plano inclinado
Superficie plana que forma un ángulo θ con la horizontal, como una rampa.
- Componente paralela del peso
La parte del peso a lo largo de la rampa, hacia abajo de ella. Vale mg sen θ.
- Componente perpendicular del peso
La parte del peso que aprieta el cuerpo contra la rampa. Vale mg cos θ.
- Ángulo crítico
El ángulo de la rampa a partir del cual un cuerpo empieza a deslizar. Cumple tan θ = μs.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Ponga un borrador sobre un libro y levante el libro poco a poco hasta que el borrador resbale. Pregunte qué cambió al inclinarlo.
- Explicación · 15 min — Ejes inclinados, el ángulo θ entre el peso y la perpendicular, y las dos componentes con la figura en el tablero.
- Ejemplos · 12 min — Rampa lisa, rampa con fricción a 30° y a 40°, y el ángulo crítico. Vuelva al borrador del inicio para estimar su μs.
- Práctica · 15 min — Preguntas y retos en parejas; exija el diagrama con los ejes inclinados antes de cualquier cuenta.
- Cierre · 3 min — Que cada estudiante diga cuál componente del peso usa seno y cuál coseno, y cómo lo comprueba con una rampa horizontal.
Preguntas para el salón
- Si la rampa se vuelve más empinada, ¿la normal sube o baja? ¿Y la componente que hace bajar al cuerpo?
- Una caja quieta en una rampa: ¿la fricción vale μs·N? ¿Cuándo sí?
- ¿Por qué el ángulo crítico no depende de la masa de la caja?
Errores típicos
- Intercambiar seno y coseno en las componentes del peso. Pida revisar los extremos: con θ = 0 la componente paralela tiene que ser cero.
- Escribir N = mg en la rampa. Pida la segunda ley en el eje perpendicular, donde el peso aporta solo mg cos θ.
- Poner la fricción estática igual a μs·N aunque la caja esté lejos de resbalar. Pida primero la comparación mg sen θ frente a μs·N y, si se queda quieta, la fricción por equilibrio.
- Dibujar la normal vertical en vez de perpendicular a la rampa. Recuerde que «normal» significa perpendicular a la superficie, sea cual sea su inclinación.
Tarea sugerida
Con un libro, una regla y un transportador, medir el ángulo en que una moneda y una goma de borrar empiezan a resbalar sobre la tapa del libro, calcular el μs de cada una con tan θ = μs y explicar cuál de las dos se agarra mejor.