El trabajo de una fuerza
Lo que vas a aprender
- Calcular el trabajo de una fuerza constante con W = F·d·cos θ y expresarlo en joules.
- Decidir si el trabajo de una fuerza es positivo, negativo o nulo a partir del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
- Calcular el trabajo del peso, de la normal y de la fricción en situaciones sencillas.
- Obtener el trabajo neto como la suma de los trabajos de todas las fuerzas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el lenguaje de todos los días, «trabajar» es cansarse: estudiar, cargar bultos o sostener una caja mientras alguien abre la puerta. En física la palabra tiene un significado más estrecho y mucho más útil: una fuerza hace trabajo cuando el cuerpo sobre el que actúa se desplaza, y solo cuenta la parte de la fuerza que va en la dirección de ese desplazamiento.
Con esa idea se puede contar cuánta energía le entrega un motor a un ascensor, cuánta le quita el roce del piso a una caja que se arrastra y por qué una mochila no gana nada mientras la sostienes quieta, aunque te duela el brazo. El trabajo es la puerta de entrada a toda la unidad de energía: es la forma de medir cómo una fuerza cambia la energía de un cuerpo.
Antes de empezar necesitas recordar cómo se sacan las componentes de un vector con seno y coseno, y las fuerzas de peso, normal y fricción de la unidad anterior.
Explicación
La definición
Si una fuerza constante de magnitud $F$ actúa sobre un cuerpo mientras este recorre un desplazamiento recto de magnitud $d$, y $\theta$ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento, el trabajo de esa fuerza es
$$W = F\,d\cos\theta$$
La fuerza va en newtons y el desplazamiento en metros, así que el trabajo queda en newtons multiplicados por metros, $\text{N}\cdot\text{m}$ (newton-metro). Esa unidad tiene nombre propio: el joule, J. Un joule es el trabajo que hace una fuerza de un newton que empuja un metro en su misma dirección.
¿Por qué aparece el coseno? Porque una fuerza inclinada se puede descomponer en dos partes: una a lo largo del desplazamiento, $F\cos\theta$, y otra perpendicular a él, $F\,\mathrm{sen}\,\theta$. Solo la primera empuja al cuerpo en la dirección en que se mueve. La perpendicular puede levantar un poco la caja o apretarla contra el piso, pero no la hace avanzar, y por eso no entra en el trabajo.
Cuidado con el ángulo: es el que forman la fuerza y el desplazamiento. Muchas veces coincide con el ángulo con el piso, porque el cuerpo se mueve por el piso, pero en una rampa o en un ascensor no es así.
El trabajo es un escalar: no tiene dirección, pero sí tiene signo.
Positivo, negativo o nulo
El signo lo decide el coseno.
- Si el ángulo está entre $0°$ y $90°$, el coseno es positivo y el trabajo también. La fuerza ayuda al movimiento y le entrega energía al cuerpo.
- Si el ángulo es exactamente $90°$, el coseno vale cero y el trabajo es nulo.
- Si el ángulo está entre $90°$ y $180°$, el coseno es negativo. La fuerza se opone al movimiento y le quita energía al cuerpo.
Fuerzas que no hacen trabajo
Hay dos maneras de que el trabajo sea cero, y las dos confunden mucho.
Sin desplazamiento no hay trabajo. Si sostienes una pesa quieta, la pesa no se mueve: $d = 0$ y el trabajo de tu mano sobre ella es cero, por grande que sea la fuerza y por mucho tiempo que la sostengas. Te cansas porque tus músculos se contraen sin parar y gastan energía química que se vuelve calor dentro de tu cuerpo, pero nada de esa energía llega a la pesa.
Una fuerza perpendicular al desplazamiento no hace trabajo. Cuando una caja se desliza por un piso horizontal, la normal apunta hacia arriba y la caja avanza de lado: el ángulo es de $90°$ y el trabajo de la normal es cero. Lo mismo le pasa al peso en ese movimiento horizontal, y a la fuerza con la que un mesero sostiene una bandeja mientras camina a velocidad constante.
El trabajo del peso
El peso, $mg$, apunta siempre hacia abajo. Si el cuerpo sube verticalmente una altura $h$, el peso y el desplazamiento forman $180°$ y el trabajo del peso es $-mgh$ (y, como verás, es $-mgh$ por cualquier camino que suba $h$): el peso le quita energía de movimiento al cuerpo que sube. Si el cuerpo baja una altura $h$, el ángulo es $0°$ y el trabajo del peso es $+mgh$. Si el cuerpo solo se mueve en horizontal, el trabajo del peso es cero.
El trabajo de la fricción
La fricción cinética apunta en contra del deslizamiento, así que forma $180°$ con el desplazamiento y su trabajo es $W_f = -f\,d = -\mu N d$. Sobre un piso quieto, ese trabajo siempre es negativo: la fricción convierte energía de movimiento en calor. Por eso las manos se calientan al frotarlas. En la unidad 7 verás que esa energía no se pierde: solo cambia de forma.
El trabajo neto
Sobre un cuerpo actúan casi siempre varias fuerzas. El trabajo neto es la suma de los trabajos de cada una, con sus signos. Es el que decide si el cuerpo acaba más rápido o más lento, como verás en la próxima lección.
Gráfica de una fuerza constante de 30 N (eje vertical) a lo largo de 4 m de recorrido (eje horizontal). El área del rectángulo, base por altura, es el trabajo: 120 J.
Ejemplo resuelto
Una fuerza inclinada
Laura arrastra su maleta 8 m por un pasillo horizontal. Tira de la correa con una fuerza de 50 N que forma un ángulo de 60° con el piso. ¿Cuánto trabajo hace la fuerza de Laura?
Ver la solución paso a paso
La maleta se mueve por el pasillo, en horizontal, y la correa forma 60° con el piso: el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es θ = 60°.
Aplicamos W = F·d·cos θ, sin unidades en la cuenta:
$$W = 50 \cdot 8\operatorname{cos} 60^{\circ}$$
Como cos 60° = 1/2:
$$W = 400 \cdot \frac{1}{2}$$
Laura hace un trabajo de 200 J.
$$W = 200$$
Si tirara con la correa horizontal, con la misma fuerza, haría el doble. La parte vertical de su fuerza, F·sen 60°, sostiene parte de la maleta y reduce la normal sobre las ruedas, pero no la hace avanzar:
$$50 \cdot 8\operatorname{cos} 0^{\circ} = 400$$
Respuesta: W = 200 J.
Ejemplo resuelto
El trabajo de cada fuerza
Mateo empuja una caja de 10 kg con una fuerza horizontal de 60 N y la desplaza 5 m sobre un piso horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y el piso es 0,3. Calcula el trabajo de cada fuerza y el trabajo neto (g = 9,8 m/s²).
Ver la solución paso a paso
El empuje es horizontal, así que la normal equilibra todo el peso: N = mg, en newtons.
$$10 \cdot 9{,}8 = 98$$
La fricción cinética vale f = μN, en newtons:
$$0{,}3 \cdot 98 = 29{,}4$$
El empuje va en el sentido del movimiento (θ = 0°). Su trabajo, en joules:
$$60 \cdot 5\operatorname{cos} 0^{\circ} = 300$$
La fricción va en contra del movimiento (θ = 180°):
$$29{,}4 \cdot 5\operatorname{cos} 180^{\circ} = -147$$
El peso (hacia abajo) y la normal (hacia arriba) miden 98 N y son perpendiculares al desplazamiento (θ = 90°). Cada uno hace trabajo cero:
$$98 \cdot 5\operatorname{cos} 90^{\circ} = 0$$
El trabajo neto es la suma de los cuatro, con sus signos:
$$300 + \left(-147\right) + 0 + 0 = 153$$
Respuesta: Empuje: 300 J. Fricción: −147 J. Peso y normal: 0 J cada uno. Trabajo neto: 153 J.
La caja de 10 kg de Mateo, empujada 5 m con 60 N sobre un piso con μ = 0,3: el empuje hace 300 J, la fricción −147 J, y el peso y la normal nada, porque son perpendiculares al recorrido. Sube el empuje a 100 N: su trabajo crece, pero el de la fricción no cambia. Bájalo a 20 N: la caja no arranca y ninguna fuerza hace trabajo.
Ejemplo resuelto
Subir una mochila y sostenerla
Sofía levanta del piso una mochila de 4 kg hasta una altura de 1,5 m, a velocidad constante, y luego la sostiene quieta durante 20 s. ¿Cuánto trabajo hace el peso mientras la mochila sube? ¿Cuánto hace Sofía al subirla? ¿Y mientras la sostiene? (g = 9,8 m/s²)
Ver la solución paso a paso
El peso de la mochila, mg, en newtons:
$$4 \cdot 9{,}8 = 39{,}2$$
Al subir, el peso apunta hacia abajo y el desplazamiento hacia arriba: θ = 180°. El trabajo del peso, en joules:
$$39{,}2 \cdot 1{,}5\operatorname{cos} 180^{\circ} = -58{,}8$$
Como sube a velocidad constante, la fuerza de Sofía equilibra al peso: mide lo mismo y apunta hacia arriba, en el sentido del desplazamiento (θ = 0°):
$$39{,}2 \cdot 1{,}5\operatorname{cos} 0^{\circ} = 58{,}8$$
Mientras la sostiene quieta, el desplazamiento es cero durante esos 20 s, y el trabajo de Sofía sobre la mochila también:
$$39{,}2 \cdot 0 = 0$$
Sofía sí se cansa mientras sostiene la mochila: sus músculos gastan energía química que se vuelve calor. Pero esa energía no llega a la mochila, que ni se mueve ni cambia de altura.
Respuesta: El peso hace −58,8 J al subir; Sofía hace +58,8 J al subirla y 0 J mientras la sostiene quieta.
Práctica
Una fuerza constante de 30 N empuja un carrito 4 m en su misma dirección. ¿Cuánto trabajo hace, en J?
La fuerza y el desplazamiento van en la misma dirección (θ = 0°, cos 0° = 1): W = 30 · 4 = 120 J. Es el área del rectángulo de la figura.
Un niño tira de un carrito de juguete con una cuerda que forma 30° con el piso horizontal. La tensión de la cuerda es de 20 N y el carrito avanza 6 m. ¿Cuánto trabajo hace la cuerda, en J? Redondea a la décima.
W = 20 · 6 · cos 30° = 120 · 0,866… ≈ 103,9 J. Si la cuerda fuera horizontal, el trabajo sería 120 J.
Una fuerza de 10 N actúa sobre un cuerpo que se desplaza 3 m, y el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es de 120°. ¿Cuánto trabajo hace esa fuerza, en J?
cos 120° = −1/2, así que W = 10 · 3 · (−1/2) = −15 J. El ángulo es mayor que 90°: la fuerza frena al cuerpo.
Un deportista sostiene una pesa de 20 kg quieta, a 2 m del piso, durante 30 s. ¿Cuánto trabajo hace el deportista sobre la pesa en ese tiempo, en J?
La pesa no se desplaza (d = 0), así que el trabajo es cero, aunque la fuerza sea grande y el deportista se canse. Su cansancio es energía química que se vuelve calor en sus músculos, no trabajo sobre la pesa.
Una caja de 15 kg se desliza 4 m por un piso horizontal. ¿Cuánto trabajo hace la fuerza normal sobre la caja, en J? (g = 9,8 m/s²)
La normal es vertical y el desplazamiento horizontal: forman 90° y cos 90° = 0. El trabajo de la normal es cero, sea cual sea la masa de la caja.
Una piedra de 2 kg cae desde una altura de 5 m hasta el suelo. ¿Cuánto trabajo hace su peso durante la caída, en J? (g = 9,8 m/s²)
Al bajar, el peso y el desplazamiento apuntan hacia abajo (θ = 0°): W = mgh = 2 · 9,8 · 5 = 98 J. Es positivo porque el peso ayuda a la caída.
Un ascensor sube a una persona de 60 kg hasta una altura de 12 m. ¿Cuánto trabajo hace el peso de la persona durante la subida, en J? (g = 9,8 m/s²)
El peso apunta hacia abajo y la persona sube (θ = 180°): W = −mgh = −60 · 9,8 · 12 = −7056 J. El signo menos dice que el peso se opone a la subida.
Una caja de 20 kg se desliza 3 m por un piso horizontal y el coeficiente de fricción cinética es 0,25. ¿Cuánto trabajo hace la fricción, en J? (g = 9,8 m/s²)
N = mg = 196 N y f = 0,25 · 196 = 49 N. La fricción va en contra del movimiento: W = −49 · 3 = −147 J. −588 J sería olvidar el coeficiente; −49 J es la fuerza, no el trabajo.
Sobre un carrito que avanza 5 m en línea recta por un piso horizontal actúan un empuje de 50 N en el sentido del movimiento y una fricción de 20 N en contra. ¿Cuál es el trabajo neto sobre el carrito, en J?
El empuje hace 50 · 5 = 250 J y la fricción −20 · 5 = −100 J. El peso y la normal hacen cero. El trabajo neto es 250 − 100 = 150 J.
¿Verdadero o falso? Si una fuerza de 40 N es perpendicular a un desplazamiento de 10 m, su trabajo es $40 \cdot 10\operatorname{cos} 90^{\circ} = 400$
Perpendicular quiere decir θ = 90°, y cos 90° = 0. El trabajo es 0 J, no 400 J.
Cada opción es el trabajo F · d · cos θ de una fuerza distinta. Marca todas las que dan trabajo negativo.
Marca todas las que apliquen.
El coseno es negativo para los ángulos entre 90° y 180°: 150° y 100°. Con 90° el trabajo es cero, que no es negativo.
Un mesero lleva una bandeja con la mano, a velocidad constante, por un pasillo horizontal. ¿Qué se puede decir del trabajo que hace la fuerza de su mano sobre la bandeja?
A velocidad constante, la mano solo tiene que equilibrar el peso: su fuerza es vertical y forma 90° con el desplazamiento. El trabajo es cero. Que el mesero se canse no cambia el trabajo sobre la bandeja.
Reto
Lleva cada trabajo a su canasta.
Cada tarjeta es F · d · cos θ. Mira el ángulo: menor que 90°, positivo; mayor que 90°, negativo; 90° o sin desplazamiento, nulo.
Reto
Une cada cuenta de trabajo con su resultado en joules.
Recuerda: cos 0° = 1, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0 y cos 180° = −1.
Reto
El crucigrama del trabajo.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
El trabajo de una fuerza constante es W = F·d·cos θ, donde θ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento; se mide en joules (1 J = 1 N·m).
El trabajo es positivo si la fuerza ayuda al movimiento, negativo si se opone y nulo si es perpendicular al desplazamiento.
Sin desplazamiento no hay trabajo, aunque la fuerza sea grande y quien la hace se canse.
El peso hace −mgh al subir y +mgh al bajar; la normal sobre un piso horizontal hace trabajo cero; la fricción cinética hace trabajo negativo.
El trabajo neto es la suma, con signos, de los trabajos de todas las fuerzas.
Vocabulario
- Trabajo
Producto de la fuerza, el desplazamiento y el coseno del ángulo entre ellos. Mide cuánta energía le da o le quita una fuerza a un cuerpo.
- Joule
Unidad de trabajo y de energía en el SI. Un joule (J) es un newton multiplicado por un metro, N·m.
- Trabajo neto
La suma de los trabajos de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
- Desplazamiento
El cambio de posición del punto donde actúa la fuerza, con su dirección y su sentido.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a un estudiante que sostenga un morral con el brazo extendido y pregunte al grupo si está trabajando. Anote las respuestas sin corregirlas todavía.
- Explicación · 15 min — La definición con el coseno, los tres signos y los dos casos de trabajo cero. Resuelva en el tablero el ejemplo de la maleta y el de la caja con fricción.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Las canastas y el dominó se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Vuelva a la pregunta del morral y pida que la respondan con la definición física del trabajo.
Preguntas para el salón
- ¿Hace trabajo una persona que empuja una pared con todas sus fuerzas? ¿Por qué se cansa, entonces?
- Cuando un balón sube y luego baja, ¿cambia el signo del trabajo de su peso? ¿En qué momento?
- ¿Puede la fricción hacer trabajo cero sobre una caja que se mueve? ¿Y positivo?
Errores típicos
- Creer que sostener un objeto quieto es hacer trabajo sobre él. Pregunte cuál es el desplazamiento de la pesa y escriba W = F · 0. Separe el cansancio (energía del cuerpo que se vuelve calor) del trabajo sobre el objeto.
- Usar el ángulo con la vertical o con otra línea en lugar del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Pida que dibujen primero la flecha del desplazamiento y luego la de la fuerza saliendo del mismo punto, y que marquen el ángulo entre las dos.
- Darle a la normal o al peso un trabajo distinto de cero en un movimiento horizontal. Recuerde que cos 90° = 0 y pregunte qué parte de la normal empuja la caja hacia adelante.
- Escribir el trabajo de la fricción como positivo. Pregunte si la fricción ayuda o frena, y relacione la respuesta con el ángulo de 180°.
Tarea sugerida
Elegir tres actividades de la casa (barrer, subir un mercado por la escalera, sostener a un bebé) y, para cada una, decir qué fuerza hace trabajo, con qué signo y por qué. Inventar los datos de una de ellas y calcular el trabajo.