Energía potencial
Lo que vas a aprender
- Calcular la energía potencial gravitacional mgh respecto a un nivel de referencia dado, y su cambio entre dos alturas.
- Explicar por qué el valor de la energía potencial depende del nivel de referencia y su cambio no.
- Usar la ley de Hooke, F = kx, para hallar fuerzas, constantes elásticas y deformaciones.
- Calcular la energía potencial elástica kx²/2 como el área bajo la gráfica fuerza–deformación.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando subes un mercado por la escalera, haces trabajo, pero el mercado llega arriba quieto: no ganó energía cinética. ¿Dónde quedó ese trabajo? Quedó guardado en la altura. Si el mercado se cae, esa energía vuelve a aparecer como velocidad. Lo mismo pasa con el resorte de un lapicero o con la liga de una cauchera: el trabajo que haces al deformarlos queda guardado, y se recupera cuando los sueltas.
A esa energía guardada se le llama energía potencial. En esta lección vas a calcular las dos formas que más se usan en mecánica: la gravitacional, que depende de la altura, y la elástica, que depende de cuánto se deforma un resorte. Son la pieza que falta para la conservación de la energía de la próxima unidad.
Antes de empezar necesitas recordar el trabajo del peso (−mgh al subir), la energía cinética y cómo se calcula el área de un triángulo.
Explicación
Energía guardada por la altura
Si subes un cuerpo de masa $m$ una altura $h$ a velocidad constante, tu fuerza equilibra el peso y hace un trabajo $mgh$. El peso hace al mismo tiempo $-mgh$, el trabajo neto es cero y el cuerpo no gana rapidez. La energía que entregaste queda guardada en la nueva posición. Esa es la energía potencial gravitacional:
$$E_p = m\,g\,h$$
donde $h$ es la altura del cuerpo sobre un nivel de referencia. Con la masa en kilogramos, $g$ en m/s² y la altura en metros, la energía queda en joules.
El nivel de referencia
¿Desde dónde se mide $h$? Desde donde tú decidas: el piso del salón, la mesa, la calle o la terraza. Ese lugar es el nivel de referencia, y en él la energía potencial vale cero. Un cuerpo que está por encima de la referencia tiene energía potencial positiva, y uno que está por debajo la tiene negativa. Eso no quiere decir que tenga «menos que nada»: solo dice que está por debajo del cero que elegiste.
Por eso el valor de la energía potencial de una matera no es único: cambia si cambias la referencia. Lo que no cambia es la diferencia de energía potencial entre dos posiciones, porque la diferencia de alturas es la misma desde cualquier referencia:
$$\Delta E_p = m\,g\,(h_f - h_i)$$
Es como la estatura de un escalón: no importa si mides las alturas desde el piso o desde la azotea, el escalón mide lo mismo. Y solo las diferencias tienen consecuencias que se pueden medir: el trabajo del peso es $W_{\text{peso}} = -\Delta E_p$, y es la diferencia la que dice cuánta rapidez gana un cuerpo al caer. Elegir bien la referencia solo sirve para que las cuentas sean más cortas.
La ley de Hooke
Para estirar o comprimir un resorte una distancia $x$, medida desde su largo natural, hace falta una fuerza proporcional a esa deformación:
$$F = k\,x$$
La constante $k$ se llama constante elástica y se mide en N/m: dice cuántos newtons hacen falta por cada metro de deformación. Un resorte duro tiene una $k$ grande y uno blando, una pequeña. El resorte responde con una fuerza de la misma magnitud y sentido contrario, que intenta devolverlo a su largo natural.
La ley de Hooke vale mientras el resorte no se deforme demasiado. Si se pasa de cierto límite, el resorte queda dañado y ya no vuelve a su forma.
La gráfica de $F$ contra $x$ es una recta que pasa por el origen, y su pendiente es $k$.
La energía potencial elástica
Para calcular el trabajo que haces al estirar un resorte no sirve multiplicar la fuerza final por la deformación, porque la fuerza no es constante: empieza en cero y crece hasta $kx$. En la lección 1 viste que, con una fuerza constante, el trabajo es el área del rectángulo bajo la gráfica fuerza–distancia. Con una fuerza que cambia, el trabajo sigue siendo el área bajo la gráfica. Bajo la recta de Hooke esa área es un triángulo de base $x$ y altura $kx$:
$$E_{p,e} = \frac{1}{2}\,x\,(k\,x) = \frac{1}{2}\,k\,x^2$$
Esa es la energía que guarda el resorte. Vale igual para estirarlo que para comprimirlo, porque $x$ va al cuadrado. Y, como en la energía cinética, el cuadrado manda: con el doble de deformación, el resorte guarda cuatro veces más energía.
Ley de Hooke para un resorte de constante 200 N/m: fuerza F en newtons (eje vertical) contra estiramiento x en metros (eje horizontal). Con x = 0,2 m la fuerza es 40 N, y el área del triángulo bajo la recta, 4 J, es la energía que guarda el resorte.
Ejemplo resuelto
Una matera y tres referencias
Una matera de 3 kg está en el borde de un balcón, a 6 m sobre la calle. Una ventana está a 2 m sobre la calle y el techo, a 9 m. Calcula la energía potencial de la matera respecto a la calle, a la ventana y al techo. Luego calcula cuánto cambia si la matera cae a la calle (g = 9,8 m/s²).
Ver la solución paso a paso
Respecto a la calle, la matera está 6 m arriba. En joules:
$$3 \cdot 9{,}8 \cdot 6 = 176{,}4$$
Respecto a la ventana, está 6 − 2 = 4 m arriba:
$$3 \cdot 9{,}8 \cdot \left(6 - 2\right) = 117{,}6$$
Respecto al techo, está 3 m abajo, y la energía potencial es negativa:
$$3 \cdot 9{,}8 \cdot \left(6 - 9\right) = -88{,}2$$
Al caer a la calle, su altura final es 0 m sobre la calle, 2 m por debajo de la ventana y 9 m por debajo del techo. El cambio, energía final menos inicial, con la calle como referencia:
$$3 \cdot 9{,}8 \cdot 0 - 176{,}4 = -176{,}4$$
Con la ventana como referencia:
$$3 \cdot 9{,}8 \cdot \left(0 - 2\right) - 117{,}6 = -176{,}4$$
Con el techo como referencia:
$$3 \cdot 9{,}8 \cdot \left(0 - 9\right) - \left(-88{,}2\right) = -176{,}4$$
Respuesta: La energía potencial vale 176,4 J, 117,6 J o −88,2 J según la referencia, pero al caer a la calle disminuye 176,4 J con cualquiera de las tres.
La matera de 3 kg en el balcón, a 6 m de la calle: respecto a la calle guarda 176,4 J. Suéltala y páusala al pasar por la ventana, a 2 m: le quedan 58,8 J de potencial, y los 117,6 J que perdió ya son cinética. Al llegar a la calle perdió los 176,4 J de potencial.
Ejemplo resuelto
Medir la constante de un resorte
Un resorte se estira 0,04 m cuando se cuelga de él una pesa de 0,5 kg y la pesa queda quieta. ¿Cuál es su constante elástica? ¿Cuánto se estira con una pesa de 1,5 kg? (g = 9,8 m/s²)
Ver la solución paso a paso
Con la pesa quieta, la fuerza del resorte equilibra el peso: kx = mg. Sin unidades:
$$k \cdot 0{,}04 = 0{,}5 \cdot 9{,}8$$
El peso es 4,9 N. Despejamos k:
$$k = \frac{4{,}9}{0{,}04}$$
La constante es 122,5 N/m.
$$k = 122{,}5$$
Con la pesa de 1,5 kg, el equilibrio es 122,5 · x = 1,5 · 9,8, y ahora la incógnita es x:
$$122{,}5x = 1{,}5 \cdot 9{,}8$$
El resorte se estira 0,12 m: el triple de masa, el triple de estiramiento.
$$x = 0{,}12$$
Respuesta: k = 122,5 N/m; con la pesa de 1,5 kg el resorte se estira 0,12 m.
Ejemplo resuelto
La energía de un resorte es un área
Un resorte de constante 200 N/m se estira 0,2 m. ¿Qué fuerza hace falta para mantenerlo así? ¿Cuánta energía guarda? ¿Y si se estira 0,4 m?
Ver la solución paso a paso
Por la ley de Hooke, F = kx, en newtons:
$$200 \cdot 0{,}2 = 40$$
Mientras se estira, la fuerza crece de 0 a 40 N. El trabajo es el área del triángulo bajo la recta de la figura, de base 0,2 y altura 40, en joules:
$$\frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 40 = 4$$
La fórmula kx²/2 da lo mismo, porque es esa misma área:
$$\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot \left(0{,}2\right)^{2} = 4$$
Multiplicar la fuerza final por el estiramiento daría el rectángulo completo, el doble de la energía. Es un error frecuente:
$$40 \cdot 0{,}2 = 2 \cdot 4$$
Con el doble de estiramiento, 0,4 m, la energía es cuatro veces mayor:
$$\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot \left(0{,}4\right)^{2} = 4 \cdot 4$$
Respuesta: Hacen falta 40 N; el resorte guarda 4 J estirado 0,2 m y 16 J estirado 0,4 m.
El resorte de 200 N/m del ejemplo, estirado 0,2 m: guarda 4 J. Suéltalo y mira la barra de la energía elástica: a 0,1 m, la mitad del estiramiento, solo le queda 1 J, la cuarta parte, porque la energía va con x². El resto ya es energía cinética del bloque.
Práctica
Un libro de 1,2 kg está en un estante a 2 m del piso. ¿Cuál es su energía potencial gravitacional respecto al piso, en J? (g = 9,8 m/s²)
Ep = mgh = 1,2 · 9,8 · 2 = 23,52 J.
Un balde de 5 kg está en el fondo de un pozo, 4 m por debajo del suelo. Si el suelo es el nivel de referencia, ¿cuál es la energía potencial gravitacional del balde, en J? (g = 9,8 m/s²)
El balde está por debajo de la referencia: h = −4 m y Ep = 5 · 9,8 · (−4) = −196 J. El signo solo dice que está por debajo del cero elegido.
Una niña de 30 kg sube por una escalera desde 1 m hasta 3,5 m de altura sobre el piso. ¿Cuánto aumenta su energía potencial gravitacional, en J? (g = 9,8 m/s²)
Solo cuenta la diferencia de alturas, 3,5 − 1 = 2,5 m: ΔEp = 30 · 9,8 · 2,5 = 735 J. 1029 J sería la energía respecto al piso en el punto final, no el cambio.
¿Verdadero o falso? Una pelota de 2 kg baja de 5 m a 1 m de altura sobre el piso. Si las alturas se miden desde una mesa de 0,8 m de alto, el cambio de su energía potencial es el mismo que si se miden desde el piso (g = 9,8 m/s²). En cuentas: $2 \cdot 9{,}8 \cdot \left(1 - 5\right) = 2 \cdot 9{,}8 \cdot \left(\left(1 - 0{,}8\right) - \left(5 - 0{,}8\right)\right)$
Desde la mesa, las dos alturas bajan 0,8 m, pero su diferencia sigue siendo −4 m. El cambio es −78,4 J con las dos referencias.
Ana calcula que la energía potencial de una lámpara del techo es 50 J y Juan calcula 20 J. Los dos hicieron bien la cuenta. ¿Cómo es posible?
El valor de la energía potencial depende de dónde se ponga el cero de alturas. Si Ana midió desde el piso y Juan desde una mesa, los dos tienen razón. Si la lámpara cayera al piso, los dos calcularían el mismo cambio de energía.
Un resorte de constante 300 N/m se comprime 0,05 m. ¿Qué fuerza hace el resorte, en N?
F = kx = 300 · 0,05 = 15 N, en sentido contrario a la compresión.
Un resorte se estira 0,1 m cuando se tira de él con una fuerza de 25 N. ¿Cuál es su constante elástica, en N/m?
De F = kx sale k = F/x = 25/0,1 = 250 N/m.
Un resorte de constante 500 N/m sostiene quieta una masa de 2 kg colgada de él. ¿Cuánto se estira, en m? (g = 9,8 m/s²)
En equilibrio, kx = mg: x = 19,6/500 = 0,0392 m, casi 4 cm.
¿Cuánta energía guarda un resorte de constante 400 N/m comprimido 0,1 m, en J?
Ep = kx²/2 = 400 · 0,01 / 2 = 2 J.
Si la compresión de un resorte se duplica, ¿por cuánto se multiplica la energía potencial elástica que guarda?
La energía es proporcional a x². Con el doble de compresión, se multiplica por 2² = 4. La fuerza, en cambio, solo se duplica.
En la gráfica fuerza–estiramiento de un resorte, la recta llega a 60 N cuando el estiramiento es 0,3 m. ¿Cuánta energía guarda el resorte en ese punto, en J?
La energía es el área del triángulo bajo la recta: (1/2) · 0,3 · 60 = 9 J. 18 J es el rectángulo completo, y 200 es la constante k = 60/0,3 en N/m, no una energía.
Reto
¿Positiva, negativa o cero?
Cada tarjeta es m · g · h, con h medida desde el nivel de referencia. Mira el signo de la altura.
Reto
Completa lo que hace el resorte.
Fuerza: F = kx. Energía: kx²/2.
Reto
Encuentra las palabras de la energía potencial.
Las palabras pueden estar en horizontal, en vertical o en diagonal.
Cierre
En resumen
La energía potencial gravitacional es Ep = mgh, con h medida sobre un nivel de referencia que se elige.
El valor de la energía potencial depende de la referencia (puede ser negativo); su diferencia entre dos posiciones no depende de ella.
La ley de Hooke dice que la fuerza para deformar un resorte es F = kx; k, en N/m, mide qué tan duro es.
La energía potencial elástica es kx²/2, el área del triángulo bajo la recta de la gráfica fuerza–deformación.
Con el doble de deformación, la fuerza del resorte se duplica y su energía se cuadruplica.
Vocabulario
- Energía potencial gravitacional
La energía que tiene un cuerpo por su altura sobre un nivel de referencia: mgh.
- Nivel de referencia
La altura que se elige como cero para medir la energía potencial gravitacional.
- Constante elástica
La fuerza que hace falta por cada metro de deformación de un resorte. Se mide en N/m; mientras mayor, más duro es el resorte.
- Energía potencial elástica
La energía que guarda un resorte estirado o comprimido una distancia x: kx²/2.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Suba un libro del piso a la mesa y pregunte dónde quedó el trabajo que usted hizo, si el libro llegó quieto.
- Explicación · 15 min — La energía potencial gravitacional con el ejemplo de la matera y sus tres referencias; la ley de Hooke y el área bajo la recta.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Si hay resortes y pesas, mida una constante elástica como en el ejemplo 2.
- Cierre · 5 min — Pida que cada estudiante explique con sus palabras por qué la energía potencial puede ser negativa y su cambio no depende de la referencia.
Preguntas para el salón
- Si cambio el nivel de referencia del piso a la mesa, ¿cambia el trabajo del peso cuando un libro cae de la mesa al piso?
- ¿Qué significa que un cuerpo tenga energía potencial negativa?
- ¿Por qué no sirve multiplicar la fuerza final de un resorte por su estiramiento para calcular su energía?
Errores típicos
- Creer que la energía potencial tiene un único valor correcto. Repita el ejemplo de la matera con una referencia que propongan los estudiantes y compare los cambios, no los valores.
- Pensar que una energía potencial negativa es imposible. Use la analogía de la temperatura bajo cero o de los pisos de un sótano: el signo depende de dónde está el cero.
- Calcular la energía del resorte como F·x. Dibuje la gráfica F–x y compare el triángulo con el rectángulo: el rectángulo es el doble.
- Medir x desde el extremo del resorte o con su largo total, no desde su largo natural. Pida que marquen el largo natural antes de colgar la pesa y que midan solo lo que se estira.
Tarea sugerida
Inventar un edificio de cinco pisos con la altura de cada uno y calcular la energía potencial de una persona en el tercer piso respecto a la calle, al primer piso y a la azotea; luego, el cambio al bajar al primer piso con las tres referencias.