Conservación de la energía mecánica
Lo que vas a aprender
- Calcular la energía mecánica de un cuerpo como la suma de su energía cinética y su energía potencial.
- Describir cómo se transforma la energía cinética en potencial, y al revés, en un sistema sin fricción.
- Plantear la igualdad de la energía mecánica entre dos estados para hallar una rapidez o una altura.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina un vagón de montaña rusa que sube despacio hasta la cima, se queda un instante casi quieto y luego se lanza por una pista llena de curvas, bajadas y subidas. Si quisieras saber qué tan rápido va en cada punto usando solo las fórmulas del movimiento, tendrías que conocer la inclinación de cada tramo y hacer cuentas por pedazos. Con la energía basta saber a qué altura está el vagón: la forma de la pista no importa.
Ese atajo se llama conservación de la energía mecánica. Sirve para predecir hasta dónde sube una patineta en una rampa, con qué rapidez llega una pelota al suelo o cuánto se eleva un columpio. Es una de las ideas más poderosas de la física, porque convierte un problema de movimiento, que cambia a cada instante, en una igualdad entre dos momentos.
Antes de empezar necesitas recordar la energía cinética, $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$, y la energía potencial gravitacional, $E_p = mgh$, de la unidad anterior.
Explicación
La energía mecánica
Un cuerpo que se mueve tiene energía cinética, y un cuerpo que está a cierta altura sobre el nivel de referencia tiene energía potencial gravitacional. La suma de las dos es la energía mecánica:
$$E_m = E_c + E_p = \tfrac{1}{2}mv^2 + mgh$$
Las tres se miden en joules (J), porque son energías. En este curso usamos $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$, salvo que el enunciado diga otra cosa.
El principio de conservación
Cuando sobre un cuerpo solo hace trabajo su peso (no hay fricción con la pista ni resistencia del aire), la energía mecánica no cambia durante todo el movimiento. Se dice que el sistema es conservativo. La energía no aparece ni desaparece: solo pasa de una forma a la otra.
- Cuando el cuerpo baja, su altura disminuye y pierde energía potencial. Esa misma cantidad la gana como energía cinética: va más rápido.
- Cuando el cuerpo sube, pasa lo contrario: gana energía potencial y pierde energía cinética, así que se frena.
- En todo momento, $E_c + E_p$ da el mismo número.
Por eso, si eliges dos estados cualesquiera del movimiento, que llamaremos 1 y 2, puedes escribir
$$\tfrac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \tfrac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$$
y de esa igualdad despejar lo que no sabes: una rapidez o una altura.
Cómo plantear un problema
- Dibuja la situación y marca los dos estados que te interesan: casi siempre uno donde lo sabes todo y otro donde está la pregunta.
- Elige el nivel de referencia, la altura cero. Lo más cómodo es el punto más bajo del recorrido, para que ninguna altura sea negativa.
- Escribe la energía mecánica de cada estado: la cinética con la rapidez y la potencial con la altura. Si el cuerpo parte del reposo, su energía cinética inicial es cero.
- Iguala las dos energías y despeja.
- Revisa el resultado: una rapidez es positiva, y un cuerpo que parte del reposo nunca puede subir más alto que el punto de partida.
El último punto merece una explicación. La energía cinética nunca es negativa, porque $v^2$ siempre es positivo o cero. Entonces la energía potencial nunca puede ser mayor que la energía mecánica total, y la altura tiene un techo: la altura a la que la energía cinética se acaba. Un vagón que sale del reposo desde la cima no puede pasar por encima de otra cima más alta, por mucho que corra en la bajada.
La forma del camino no importa
La igualdad entre dos estados solo pregunta por la rapidez y la altura de cada uno. No pregunta si la pista era recta, curva o en zigzag. Dos esferas que se sueltan desde la misma altura por dos rampas lisas de forma distinta llegan abajo con la misma rapidez, aunque tarden tiempos diferentes. Para saber el tiempo sí hace falta la cinemática; para saber la rapidez, la energía es suficiente.
Una gráfica de barras de energía
Una manera de ver la conservación es dibujar, en cada estado, una barra con dos partes: abajo la energía potencial y encima la cinética. Si no hay fricción, todas las barras tienen la misma altura total, la energía mecánica. Lo que cambia de un estado a otro es cómo se reparte esa altura entre las dos partes.
Ejemplo resuelto
La rapidez en el punto más bajo
Un vagón de montaña rusa de 500 kg parte del reposo en la cima, a 40 m de altura, y baja por una pista sin fricción hasta el punto más bajo, a 0 m. ¿Con qué rapidez pasa por allí? Usa g = 9,8 m/s².
Ver la solución paso a paso
Tomamos el punto más bajo como nivel de referencia. El estado 1 es la cima (rapidez 0, altura 40 m) y el estado 2 es el punto más bajo (altura 0). Igualamos las energías mecánicas: $\frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 0^{2} + 500 \cdot 9{,}8 \cdot 40 = \frac{1}{2} \cdot 500v^{2} + 500 \cdot 9{,}8 \cdot 0$
A la izquierda solo queda la potencial, 196 000 J; a la derecha, solo la cinética: $196\,000 = 250v^{2}$
Dividimos entre 250: $v^{2} = 784$
Como una rapidez es positiva, nos quedamos con la raíz positiva: $v = 28$
El vagón pasa por el punto más bajo a 28 m/s. Fíjate en que la masa aparece en todos los términos: si dividimos todo entre 500, el resultado no cambia.
Respuesta: $v = 28$
Ejemplo resuelto
Cómo se reparte la energía en la pista
El mismo vagón de 500 kg, que salió del reposo a 40 m, pasa por el punto B, a 30 m de altura. ¿Cuánta energía cinética tiene en B y con qué rapidez va? Usa g = 9,8 m/s².
Ver la solución paso a paso
La energía mecánica es la que tenía en la cima, donde toda era potencial:
$$\frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 0^{2} + 500 \cdot 9{,}8 \cdot 40 = 196\,000$$
En B la energía potencial es menor, porque está más abajo:
$$500 \cdot 9{,}8 \cdot 30 = 147\,000$$
La diferencia es la energía cinética en B, porque la mecánica no cambia:
$$196\,000 - 147\,000 = 49\,000$$
Con la energía cinética despejamos la rapidez: $\frac{1}{2} \cdot 500v^{2} = 49\,000$
$v^{2} = 196$
Tomamos la raíz positiva: $v = 14$
En B, de los 196 000 J, 147 000 J están como potencial y 49 000 J como cinética. El vagón va a 14 m/s.
Respuesta: $v = 14$
Un carrito de 1 kg en una montaña rusa sin fricción, soltado desde 10 m: su energía total, 98 J, no cambia en todo el recorrido. Páusalo cuando pase por 5 m: tiene mitad potencial y mitad cinética, 49 J cada una. En el punto más bajo, a 0,6 m, va a 13,57 m/s. Suéltalo después desde 5 m y compara la rapidez abajo.
Barras de energía, en kilojoules, del vagón de 500 kg en cuatro estados: 1 es la cima (40 m), 2 es B (30 m), 3 está a 17,5 m y 4 es el punto más bajo. La parte continua de cada barra es la energía potencial (la etiqueta da su valor) y la punteada, encima, la cinética. Todas llegan a la recta y = 196: la energía mecánica no cambia.
Ejemplo resuelto
¿Hasta dónde sube?
Lanzas hacia arriba una pelota de 0,2 kg con una rapidez de 7 m/s. Sin resistencia del aire, ¿hasta qué altura sobre el punto de lanzamiento sube? Usa g = 9,8 m/s².
Ver la solución paso a paso
El nivel de referencia es el punto de lanzamiento. En el estado 1 la pelota tiene solo energía cinética; en el estado 2, el punto más alto, se detiene un instante y tiene solo energía potencial: $\frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 7^{2} + 0{,}2 \cdot 9{,}8 \cdot 0 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 0^{2} + 0{,}2 \cdot 9{,}8h$
Hacemos las cuentas de cada lado: $4{,}9 = 1{,}96h$
Dividimos entre 1,96: $h = 2{,}5$
La pelota sube 2,5 m. En el punto más alto su energía cinética es cero, pero su energía mecánica sigue siendo la misma que al salir de tu mano.
Respuesta: $h = 2{,}5$
Práctica
Una piedra de 2 kg pasa a 3 m/s por un punto que está 5 m por encima del suelo. Con el suelo como nivel de referencia y g = 9,8 m/s², ¿cuál es su energía mecánica, en joules?
La cinética es ½·2·3² = 9 J y la potencial es 2·9,8·5 = 98 J. La mecánica es la suma: 107 J.
Un carrito de 40 kg parte del reposo en lo alto de una rampa lisa, 2,5 m por encima de su base. ¿Con qué rapidez, en m/s, llega a la base? Usa g = 9,8 m/s².
40·9,8·2,5 = 980 J de potencial se vuelven cinética: ½·40·v² = 980, así que v² = 49 y v = 7 m/s.
En un sistema sin fricción, la energía mecánica de una patineta es 600 J. En cierto punto, su energía potencial es 450 J. ¿Cuántos joules de energía cinética tiene en ese punto?
La energía mecánica es la suma de las dos: 600 − 450 = 150 J de cinética.
Un carrito de 1,5 kg pasa a 2,8 m/s por un punto que está 0,5 m por encima del piso de una pista sin fricción. ¿Con qué rapidez, en m/s, llega al piso? Usa g = 9,8 m/s².
½·1,5·2,8² + 1,5·9,8·0,5 = 5,88 + 7,35 = 13,23 J. Entonces ½·1,5·v² = 13,23, v² = 17,64 y v = 4,2 m/s. La rapidez inicial no se suma a la final: se suman las energías.
Lanzas hacia arriba una pelota de 0,5 kg a 14 m/s. Sin resistencia del aire, ¿cuántos metros sube por encima del punto de lanzamiento? Usa g = 9,8 m/s².
La cinética inicial, ½·0,5·14² = 49 J, se vuelve potencial arriba: 0,5·9,8·h = 49, así que h = 10 m.
El vagón de 500 kg que salió del reposo a 40 m pasa por un punto a 17,5 m de altura. Sin fricción y con g = 9,8 m/s², ¿cuánta energía cinética tiene allí, en joules?
La mecánica es 500·9,8·40 = 196 000 J y la potencial a 17,5 m es 85 750 J. La cinética es la diferencia: 110 250 J.
El vagón de 500 kg, que había partido del reposo a 40 m, pasa a 7 m/s por un punto a 37,5 m de altura (g = 9,8 m/s²). ¿Verdadero o falso? Su energía mecánica en ese punto es la misma que en la cima.
En el punto: ½·500·7² + 500·9,8·37,5 = 12 250 + 183 750 = 196 000 J. En la cima: 0 + 196 000 J. Son iguales, como pide la conservación.
Un balón de 3 kg pasa de ir a 4 m/s a ir a 8 m/s. ¿Verdadero o falso? Su energía cinética se duplica.
Pasa de ½·3·4² = 24 J a ½·3·8² = 96 J: se cuadruplica, porque la rapidez va al cuadrado.
Desde la misma altura sueltas dos esferas iguales: una por una rampa recta y otra por una rampa curva, las dos sin fricción, hasta el mismo nivel del piso. ¿Cómo son sus rapideces al llegar abajo?
La conservación solo compara alturas y rapideces. Las dos pierden la misma energía potencial y la ganan como cinética, así que llegan con la misma rapidez, aunque tarden tiempos distintos.
Un vagón sale del reposo desde una cima en una montaña rusa sin fricción. Más adelante, la pista sube hasta una segunda cima más alta que la primera. ¿Qué pasa?
Para estar más alto que al principio necesitaría más energía potencial que toda su energía mecánica, y eso exigiría una energía cinética negativa, que no existe. Se detiene a la altura de la primera cima y se devuelve.
Reto
Abre el candado de la montaña rusa.
Cada respuesta es una cifra del código. Usa g = 9,8 m/s², salvo donde se diga otra cosa.
Reto
En cada ronda, toca el valor que NO puede ser una energía cinética, en joules.
La energía cinética es ½·m·v². Piensa en el signo de v².
Cierre
En resumen
La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial: Em = ½mv² + mgh.
Sin fricción ni resistencia del aire, la energía mecánica se conserva; solo pasa de cinética a potencial y de potencial a cinética.
Para resolver un problema se eligen dos estados, se escribe la energía mecánica de cada uno y se igualan.
La forma del camino no importa para la rapidez; solo importan las alturas.
Un cuerpo que parte del reposo nunca sube más alto que su punto de partida, porque la energía cinética no puede ser negativa.
Vocabulario
- Energía mecánica
Suma de la energía cinética y la energía potencial de un cuerpo en un instante.
- Sistema conservativo
Sistema en el que no actúan la fricción ni la resistencia del aire, y la energía mecánica se mantiene constante.
- Estado
Un instante del movimiento elegido para el cálculo, descrito por su altura y su rapidez.
- Nivel de referencia
Altura que se toma como cero para medir la energía potencial gravitacional.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué necesitarían saber para predecir la rapidez de un vagón en el punto más bajo de una montaña rusa. Anote las respuestas sin corregirlas.
- Explicación · 15 min — Energía mecánica, principio de conservación y los cinco pasos para plantear un problema. Resuelva en el tablero los dos primeros ejemplos y comente la gráfica de barras.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. El candado y el intruso se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante explique con sus palabras por qué un vagón que sale del reposo no puede superar una cima más alta.
Preguntas para el salón
- Si la pista tuviera más curvas pero las mismas alturas, ¿cambiaría la rapidez en el punto más bajo? ¿Y el tiempo que tarda?
- ¿Dónde conviene poner el nivel de referencia? ¿Cambia el resultado si lo pone en otra parte?
- ¿Por qué la masa del vagón no aparece en la respuesta del primer ejemplo?
Errores típicos
- Sumar las rapideces en lugar de las energías (por ejemplo, rapidez inicial más la que se gana al bajar). Pida que escriban la energía de cada estado en joules antes de pensar en rapideces, y que comparen con el cuarto ejercicio de la práctica.
- Olvidar que la energía cinética inicial es cero cuando el cuerpo parte del reposo, o ponerla en el estado final. Haga una tabla con dos filas (estado 1 y estado 2) y dos columnas (cinética y potencial) y llénela antes de igualar.
- Quedarse con la raíz negativa o con las dos al despejar la rapidez. Recuerde que la energía solo da la rapidez (el tamaño de la velocidad); el sentido se lee en el dibujo.
Tarea sugerida
Diseñar una montaña rusa inventada con cuatro puntos de alturas distintas, partiendo del reposo desde el más alto, y calcular la rapidez del vagón en cada punto. Dibujar sus barras de energía.