Caída libre y péndulo con energía

¿Para qué sirve esto?

Un mango que se desprende del árbol, una llave que se le cae a alguien desde un balcón, un niño en un columpio o el péndulo de un reloj de pared: todos son movimientos en los que la energía potencial se convierte en cinética y, a veces, otra vez en potencial. En la unidad de cinemática calculaste la rapidez de un cuerpo que cae con ecuaciones que dependen del tiempo. Con la energía llegas al mismo resultado en un solo paso, sin preguntar cuánto tarda.

En el péndulo la ventaja es todavía mayor. Su trayectoria es un arco de circunferencia, y su aceleración cambia de dirección y de tamaño a cada instante, así que las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado no sirven. La conservación de la energía, en cambio, funciona igual de bien.

Antes de empezar necesitas la igualdad de la energía mecánica entre dos estados, de la lección anterior, y recordar el coseno de un ángulo.

La caída libre vista con energía

Suelta un cuerpo de masa $m$ desde el reposo a una altura $h$ sobre el suelo, y toma el suelo como nivel de referencia. Arriba, toda su energía mecánica es potencial, $mgh$. Justo antes de tocar el suelo, toda es cinética, $\tfrac{1}{2}mv^2$. Si no hay resistencia del aire, las dos son iguales:

$$mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$$

La masa está en los dos lados, así que se puede dividir entre $m$. Queda $gh = \tfrac{1}{2}v^2$, y al despejar la rapidez:

$$v = \sqrt{2gh}$$

Esta fórmula dice dos cosas importantes:

• La rapidez no depende de la masa. Sin aire, una canica y una bola de bolos soltadas desde la misma altura llegan al suelo con la misma rapidez. Un cuerpo más pesado tiene más energía potencial, pero también necesita más energía para moverse a la misma rapidez: las dos cosas crecen en la misma proporción.
• La rapidez crece con la raíz de la altura, no con la altura. Para llegar con el doble de rapidez hay que caer desde una altura cuatro veces mayor.

En la vida diaria el aire sí frena, y frena más a los cuerpos livianos y extendidos, como una hoja de papel. Por eso aquí siempre decimos «sin resistencia del aire».

Si el cuerpo ya se movía

Cuando el cuerpo se lanza con una rapidez inicial $v_0$, la igualdad gana un término:

$$\tfrac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$$

Lo curioso es que no importa hacia dónde se lanzó. La energía cinética depende de $v_0^2$, que es igual si la velocidad apunta hacia arriba o hacia abajo. Una piedra lanzada hacia arriba sube, se frena, vuelve a pasar por el punto de partida con la misma rapidez con que salió y llega al suelo exactamente igual de rápido que otra lanzada hacia abajo con esa misma rapidez. Solo tarda más.

El péndulo simple

Un péndulo simple es una masa pequeña colgada de una cuerda de longitud $L$. Sobre la masa actúan dos fuerzas: su peso y la tensión de la cuerda. La tensión siempre tira hacia el punto de donde cuelga la cuerda, es decir, perpendicular al arco que recorre la masa. Una fuerza perpendicular al movimiento no hace trabajo, así que no cambia la energía. Si no hay fricción en el punto de giro ni resistencia del aire, la energía mecánica del péndulo se conserva.

Lo que importa es cuánto baja la masa. Si se suelta con la cuerda formando un ángulo $\theta$ con la vertical (ese ángulo es la amplitud del vaivén), la masa está más alta que en el punto más bajo una distancia

$$h = L - L\cos\theta = L(1 - \cos\theta)$$

porque la cuerda inclinada «cuelga» solo $L\cos\theta$ por debajo del punto de giro.

Con esa altura se aplica la conservación como en la caída libre:

• En los extremos del vaivén la masa se detiene un instante: toda su energía es potencial.
• En el punto más bajo toda la energía es cinética: allí la rapidez es máxima, y vale $\sqrt{2gh}$.
• Al otro lado, la masa sube hasta la misma altura de la que salió, y vuelve.

Igual que en la caída libre, la masa no influye en la rapidez del péndulo: dos esferas de masas distintas, colgadas de cuerdas iguales y soltadas desde el mismo ángulo, pasan por el punto más bajo con la misma rapidez.

En resumen

• Un cuerpo que cae desde el reposo una altura h, sin aire, llega con rapidez v = √(2gh).

• Sin resistencia del aire la rapidez de caída no depende de la masa, porque la masa se cancela en la igualdad de energías.

• Si el cuerpo se lanza con rapidez inicial, se suma su energía cinética inicial; la dirección del lanzamiento no cambia la rapidez de llegada.

• En el péndulo la tensión no hace trabajo; la esfera baja h = L(1 − cos θ) y su rapidez es máxima en el punto más bajo.

• El péndulo sube al otro lado hasta la misma altura de la que salió, sea cual sea su masa.

Vocabulario

Caída libre

Movimiento de un cuerpo sobre el que solo actúa su peso, sin resistencia del aire.

Péndulo simple

Una masa pequeña colgada de una cuerda que no se estira y de masa despreciable, que oscila de un lado a otro.

Amplitud

En el péndulo, el ángulo máximo que forma la cuerda con la vertical, en los extremos de su recorrido. En la masa y el resorte de la próxima lección la amplitud es una distancia.

Tensión

La fuerza con la que la cuerda tira de la masa; en el péndulo siempre es perpendicular al movimiento.