El sistema masa–resorte
Lo que vas a aprender
- Calcular la rapidez con la que un resorte comprimido lanza un cuerpo, igualando la energía elástica con la cinética.
- Calcular la compresión máxima de un resorte cuando un cuerpo choca contra él.
- Identificar dónde es máxima la rapidez de un oscilador masa–resorte y calcularla en un punto cualquiera de su recorrido.
- Resolver un lanzamiento vertical con resorte combinando energía elástica y gravitacional.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Los resortes guardan energía. La guardan cuando los comprimes en un lapicero de botón, en el lanzador de una máquina de pinball, en los amortiguadores de una moto o en el colchón de una cama elástica. Cuando el resorte se suelta, esa energía se convierte en movimiento: lanza la bola, empuja el carrito o te devuelve hacia arriba.
Con la conservación de la energía puedes predecir con qué rapidez sale disparado un cuerpo, cuánto se comprime un resorte cuando algo choca contra él o hasta qué altura sube una bola lanzada por un resorte vertical. Es la misma idea de las lecciones anteriores, con un tipo de energía potencial nuevo: la elástica.
Antes de empezar necesitas la ley de Hooke, $F = kx$, y la energía potencial elástica, $E_e = \tfrac{1}{2}kx^2$, de la unidad anterior.
Explicación
La energía elástica en la cuenta
Un resorte de constante $k$ estirado o comprimido una distancia $x$ desde su posición de equilibrio guarda una energía potencial elástica
$$E_e = \tfrac{1}{2}kx^2$$
Como $x$ va al cuadrado, la energía es la misma si el resorte se estira o se comprime la misma distancia, y no crece en proporción a la deformación: comprimir el doble guarda cuatro veces más energía.
Si no hay fricción, la fuerza del resorte, igual que el peso, no hace desaparecer energía: la que el resorte entrega al soltarse es la misma que recibió al deformarse. Entonces la energía mecánica, que ahora incluye la elástica, se conserva:
$$E_c + E_p + E_e = \text{constante}$$
En un resorte horizontal la altura no cambia, y solo intercambian energía el resorte y el cuerpo.
Del resorte al movimiento
Piensa en un bloque apoyado contra un resorte comprimido una distancia $x$ sobre una mesa lisa. Al soltarlo, el resorte lo empuja hasta llegar a su posición de equilibrio, y en ese momento el bloque se separa con toda la energía que el resorte tenía guardada:
$$\tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}mv^2$$
Al revés, si un carrito que va con rapidez $v$ choca contra un resorte, lo va comprimiendo y se va frenando. La compresión máxima se alcanza cuando el carrito se detiene un instante: toda su energía cinética quedó guardada en el resorte. Se plantea la misma igualdad y se despeja $x$, quedándose con la solución positiva.
El oscilador masa–resorte
Si el bloque está unido al resorte, no se separa: va y viene alrededor de la posición de equilibrio. Si se suelta desde una deformación $A$, la amplitud, ese vaivén repite el mismo intercambio de energía una y otra vez:
- En los extremos ($x = A$ o $x = -A$) el bloque se detiene un instante: toda la energía es elástica, $\tfrac{1}{2}kA^2$.
- En la posición de equilibrio ($x = 0$) el resorte no guarda energía: toda es cinética, y allí la rapidez es máxima.
- En un punto intermedio hay de las dos, y la suma siempre es la misma:
$$\tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2$$
Esta es la misma historia del péndulo, con el resorte en lugar de la altura: la rapidez es máxima donde la energía potencial es mínima.
Un resorte vertical
Cuando el resorte está de pie, como en un lanzador de juguete que dispara una bola hacia arriba, entran en juego las dos energías potenciales. Si se mide la altura desde el punto donde la bola está apoyada sobre el resorte comprimido, al principio toda la energía es elástica y en el punto más alto toda es gravitacional:
$$\tfrac{1}{2}kx^2 = mgh$$
Hay que tener cuidado con el caso contrario: cuando un cuerpo cae sobre un resorte vertical, su peso sigue haciendo trabajo mientras el resorte se comprime. La altura que baja no es solo la de la caída libre, sino esa altura más la compresión, y la ecuación queda cuadrática.
Ejemplo resuelto
Un bloque lanzado por un resorte
Un bloque de 0,5 kg está apoyado contra un resorte de constante 200 N/m, comprimido 0,1 m, sobre una mesa sin fricción. Al soltarlo, ¿con qué rapidez se separa del resorte?
Ver la solución paso a paso
Toda la energía elástica del resorte comprimido pasa al bloque como energía cinética: $\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot \left(0{,}1\right)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5v^{2}$
El resorte guardaba 1 J: $1 = 0{,}25v^{2}$
$v^{2} = 4$
Tomamos la raíz positiva: $v = 2$
El bloque sale a 2 m/s y, como la mesa es lisa, sigue así.
Respuesta: $v = 2$
El bloque de 0,5 kg y el resorte de 200 N/m del ejemplo, comprimido 0,1 m: guarda 1 J. Suéltalo: al pasar por el centro el resorte ya no guarda nada y el bloque va a 2 m/s. Páusalo a 0,05 m, la mitad de la compresión: el resorte guarda solo 0,25 J y el bloque lleva 0,75 J, a 1,73 m/s.
Ejemplo resuelto
La compresión máxima de un parachoques
Un carrito de 4 kg va a 3 m/s y choca contra un parachoques de resorte de constante 900 N/m. Sin fricción, ¿cuánto se comprime el resorte como máximo?
Ver la solución paso a paso
En la compresión máxima el carrito se detiene: toda su energía cinética quedó como energía elástica. $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3^{2} = \frac{1}{2} \cdot 900x^{2}$
$18 = 450x^{2}$
$x^{2} = 0{,}04$
Una compresión es una distancia: tomamos la raíz positiva. $x = 0{,}2$
El resorte se comprime 0,2 m. Después devuelve la energía y empuja al carrito de regreso a 3 m/s.
Respuesta: $x = 0{,}2$
Ejemplo resuelto
La rapidez en un punto del vaivén
Un bloque de 2 kg unido a un resorte de 800 N/m oscila sobre una superficie sin fricción con amplitud 0,15 m. ¿Qué rapidez tiene cuando está a 0,09 m de la posición de equilibrio?
Ver la solución paso a paso
La energía total es la elástica en un extremo:
$$\frac{1}{2} \cdot 800 \cdot \left(0{,}15\right)^{2} = 9$$
En el punto pedido hay energía elástica y cinética, y suman lo mismo: $\frac{1}{2} \cdot 800 \cdot \left(0{,}15\right)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2v^{2} + \frac{1}{2} \cdot 800 \cdot \left(0{,}09\right)^{2}$
La elástica a 0,09 m es 3,24 J, así que la cinética es 9 − 3,24 = 5,76 J: $5{,}76 = v^{2}$
Tomamos la raíz positiva: $v = 2{,}4$
En la posición de equilibrio los 9 J serían todos cinéticos y la rapidez sería máxima. En la gráfica se ve cómo cambia el reparto a lo largo del vaivén.
Respuesta: $v = 2{,}4$
Barras de energía, en joules, del bloque de 2 kg y el resorte de 800 N/m. 1 es el extremo a 0,15 m, 2 está a 0,12 m, 3 a 0,09 m, 4 es la posición de equilibrio y 5 el otro extremo, a −0,15 m. La parte continua es la energía elástica (la etiqueta da su valor) y la punteada, la cinética. Todas llegan a la recta y = 9.
Ejemplo resuelto
Un lanzador vertical
Un lanzador de juguete tiene un resorte vertical de 490 N/m. Se comprime 0,2 m, se apoya encima una bola de 0,5 kg y se suelta. Midiendo la altura desde el punto donde estaba la bola con el resorte comprimido, ¿hasta qué altura sube? Usa g = 9,8 m/s² y desprecia el aire.
Ver la solución paso a paso
Al principio toda la energía es elástica; en el punto más alto la bola se detiene y toda la energía es gravitacional: $\frac{1}{2} \cdot 490 \cdot \left(0{,}2\right)^{2} = 0{,}5 \cdot 9{,}8h$
$9{,}8 = 4{,}9h$
$h = 2$
La bola sube 2 m por encima del punto de partida.
Respuesta: $h = 2$
Práctica
Un resorte de constante 400 N/m está comprimido 0,05 m. ¿Cuántos joules de energía elástica guarda?
½·400·0,05² = 200·0,0025 = 0,5 J.
Un bloque de 2 kg está apoyado contra un resorte de 800 N/m comprimido 0,1 m, sobre una superficie sin fricción. Al soltarlo, ¿con qué rapidez, en m/s, se separa del resorte?
½·800·0,1² = 4 J. Entonces ½·2·v² = 4, v² = 4 y v = 2 m/s.
Una caja de 1 kg se desliza a 2 m/s sobre un piso sin fricción y choca contra un resorte de 400 N/m. ¿Cuántos metros se comprime el resorte como máximo?
La cinética, ½·1·2² = 2 J, queda toda en el resorte: ½·400·x² = 2, x² = 0,01 y x = 0,1 m.
Un resorte de 300 N/m se comprime primero 0,1 m y después 0,2 m. ¿Verdadero o falso? Con la segunda compresión guarda el doble de energía.
Pasa de ½·300·0,1² = 1,5 J a ½·300·0,2² = 6 J: guarda cuatro veces más, porque la compresión va al cuadrado.
El bloque de 2 kg unido al resorte de 800 N/m oscila sin fricción con amplitud 0,15 m. ¿Qué rapidez, en m/s, tiene cuando está a 0,12 m de la posición de equilibrio?
La energía total es 9 J y la elástica a 0,12 m es 5,76 J. La cinética es 3,24 J: ½·2·v² = 3,24, v² = 3,24 y v = 1,8 m/s.
En ese mismo oscilador (800 N/m, amplitud 0,15 m), ¿verdadero o falso? Cuando el bloque está a 0,075 m de la posición de equilibrio, a la mitad de la amplitud, su energía cinética es la mitad de la energía total.
A 0,075 m la energía elástica es ½·800·0,075² = 2,25 J, solo la cuarta parte de los 9 J, porque x va al cuadrado. La cinética es 9 − 2,25 = 6,75 J, no la mitad (4,5 J).
Un resorte vertical de 980 N/m se comprime 0,1 m y lanza hacia arriba una bola de 0,2 kg. Midiendo desde el punto de partida de la bola y sin aire, ¿cuántos metros sube? Usa g = 9,8 m/s².
La energía elástica, ½·980·0,1² = 4,9 J, se vuelve gravitacional: 0,2·9,8·h = 4,9, así que h = 2,5 m.
Una bola de 2 kg se suelta 0,8 m por encima de un resorte vertical de 980 N/m, cae sobre él y lo comprime. Sin aire y con g = 9,8 m/s², ¿cuántos metros se comprime el resorte como máximo? Pista: si el resorte se comprime x, la bola baja 0,8 m más x; iguala esa energía potencial gravitacional con la elástica y resuelve la ecuación cuadrática con la fórmula general.
La bola baja 0,8 + x metros, así que 2·9,8·(0,8 + x) = ½·980·x². Queda 490x² − 19,6x − 15,68 = 0, cuya solución positiva es x = 0,2 m. La negativa no tiene sentido como compresión.
Un resorte comprimido 0,1 m lanza un bloque de 0,5 kg, que sale a 2 m/s sobre una mesa sin fricción. ¿Cuál es la constante del resorte, en N/m?
La cinética del bloque es ½·0,5·2² = 1 J, la misma energía que guardaba el resorte: ½·k·0,01 = 1, así que k = 200 N/m.
Un bloque unido a un resorte oscila sin fricción sobre una mesa. ¿En qué posición es máxima su rapidez?
En la posición de equilibrio la energía elástica es cero, así que toda la energía es cinética. En los extremos el bloque se detiene un instante.
Reto
Lleva cada resorte a su canasta según la energía que guarda.
Cada expresión es ½·k·x² con k en N/m y x en metros. Calcula la energía en joules.
Reto
Abre el candado de los resortes.
Cada respuesta es una cifra del código. No hay fricción.
Cierre
En resumen
Un resorte deformado una distancia x guarda una energía elástica ½kx²; comprimir el doble guarda cuatro veces más.
Sin fricción, la energía elástica se convierte en cinética y al revés: ½kx² = ½mv² da la rapidez de salida o la compresión máxima.
En un oscilador masa–resorte la rapidez es máxima en la posición de equilibrio y es cero en los extremos.
En cualquier punto del vaivén, ½kA² = ½mv² + ½kx².
En un resorte vertical intervienen las dos energías potenciales; si un cuerpo cae sobre el resorte, su peso sigue actuando durante la compresión.
Vocabulario
- Energía potencial elástica
Energía que guarda un resorte estirado o comprimido una distancia x; vale ½kx².
- Constante elástica
El número k que dice qué tan rígido es un resorte; se mide en newtons por metro (N/m).
- Posición de equilibrio
La posición en que el resorte no está ni estirado ni comprimido.
- Amplitud
La mayor distancia a la que se aleja de la posición de equilibrio un cuerpo que oscila unido a un resorte.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre un lapicero de resorte o un carrito de juguete con lanzador y pregunte de dónde sale la energía del lanzamiento.
- Explicación · 18 min — Energía elástica en la conservación; los dos primeros ejemplos (lanzar y frenar). Luego el oscilador con la gráfica de barras y el lanzador vertical.
- Práctica · 17 min — Preguntas en parejas; las canastas y el candado en grupo. La pregunta de la bola que cae sobre el resorte es la más exigente: déjela para el final.
- Cierre · 5 min — Pida que comparen el oscilador con el péndulo de la lección anterior: dónde es máxima la rapidez en cada uno y por qué.
Preguntas para el salón
- Si comprime un resorte el doble, ¿el bloque sale con el doble de rapidez? Compruébelo con la fórmula.
- ¿Por qué en los extremos del oscilador la rapidez es cero si allí la fuerza del resorte es la más grande?
- Cuando una bola cae sobre un resorte vertical, ¿por qué no basta con igualar mgh con ½kx²?
Errores típicos
- Usar kx (la fuerza) en lugar de ½kx² (la energía). Pida que revisen las unidades: kx da newtons y ½kx² da joules.
- Creer que la rapidez es máxima en los extremos porque allí la fuerza es máxima. Use la gráfica de barras: en los extremos toda la energía es elástica y la cinética es cero.
- Olvidar elevar al cuadrado la compresión, o convertir mal los centímetros a metros. Exija escribir x en metros antes de reemplazar y calcular primero x².
- En la bola que cae sobre el resorte, usar solo la altura de caída y no sumar la compresión. Dibuje la posición inicial y la de compresión máxima y mida en el dibujo cuánto bajó la bola en total.
Tarea sugerida
Inventar un oscilador masa–resorte (masa, constante y amplitud), calcular su energía total, su rapidez máxima y su rapidez en otros dos puntos, y dibujar sus barras de energía.