Cantidad de movimiento e impulso
Lo que vas a aprender
- Calcular la cantidad de movimiento de un cuerpo con su signo, a partir de un sentido positivo elegido.
- Calcular el cambio de cantidad de movimiento de un cuerpo que frena, acelera o rebota.
- Relacionar el impulso de una fuerza con el cambio de cantidad de movimiento que produce.
- Explicar por qué alargar el tiempo de un choque reduce la fuerza media sin cambiar el impulso.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando atrapas un balón que viene fuerte, sin pensarlo llevas las manos hacia atrás. Cuando saltas desde una tapia, doblas las rodillas al caer. En el coliseo del colegio, los ejercicios de gimnasia se hacen sobre colchonetas, y los carros modernos traen bolsas de aire. En todos esos casos pasa lo mismo: un cuerpo que se mueve tiene que detenerse, y hay formas de detenerlo que lastiman y otras que no.
Para entender la diferencia necesitas dos ideas nuevas. La cantidad de movimiento dice cuánto movimiento lleva un cuerpo, teniendo en cuenta a la vez su masa y su velocidad. El impulso dice cuánto cambia ese movimiento cuando una fuerza actúa durante un tiempo. Con ellas podrás explicar por qué es más difícil frenar un carrito de mercado lleno que un balón, aunque el balón vaya más rápido, y por qué una colchoneta protege.
Antes de empezar recuerda la segunda ley de Newton, $F = ma$, y que la aceleración es el cambio de velocidad dividido entre el tiempo en que ocurre.
Explicación
La cantidad de movimiento
Imagina que un balón y un carrito de mercado lleno vienen hacia ti con la misma velocidad. Detener el carrito cuesta mucho más, porque tiene más masa. Ahora imagina dos balones iguales, uno que rueda despacio y otro que viene rapidísimo: el rápido es el difícil de parar. Lo que hay que vencer para detener un cuerpo depende de su masa y de su velocidad a la vez. Por eso se define la cantidad de movimiento (también llamada momento lineal):
$$p = m\,v$$
La masa $m$ va en kilogramos y la velocidad $v$ en metros por segundo, así que $p$ se mide en kg·m/s. Esta unidad no tiene nombre propio.
La cantidad de movimiento es un vector, como la velocidad: apunta hacia donde se mueve el cuerpo. En una dimensión (todo ocurre sobre una misma línea) basta con un signo. Al empezar cada problema se elige un sentido positivo y se dice en voz alta, por ejemplo «positivo hacia la derecha». Todo lo que se mueve hacia la derecha lleva velocidad positiva y cantidad de movimiento positiva; lo que va hacia la izquierda lleva signo menos. La masa siempre es positiva: el signo de $p$ es el de $v$.
Un cuerpo en reposo tiene cantidad de movimiento cero. Y dos cuerpos muy distintos pueden tener la misma: uno liviano y rápido puede llevar tanta como uno pesado y lento.
Ejemplo resuelto
Dos cantidades de movimiento con su signo
Un balón de 0,45 kg rueda a 20 m/s hacia la derecha y una patinadora de 50 kg se desliza a 3 m/s hacia la izquierda. Tomamos como positivo el sentido hacia la derecha. Calcula la cantidad de movimiento de cada uno.
Ver la solución paso a paso
El balón va en el sentido positivo, así que su velocidad es positiva. Multiplicamos masa por velocidad:
$$0{,}45 \cdot 20$$
El balón tiene $p = 9$ kg·m/s, hacia la derecha:
$$9$$
La patinadora va hacia la izquierda: su velocidad lleva signo menos.
$$50 \cdot \left(-3\right)$$
Su cantidad de movimiento es $-150$ kg·m/s:
$$-150$$
El signo menos no es un error: dice que su cantidad de movimiento apunta hacia la izquierda. En tamaño es mucho mayor que la del balón aunque ella vaya más despacio, porque su masa es más de cien veces la del balón:
$$\frac{50}{0{,}45} > 100$$
Respuesta: Balón: 9 kg·m/s (hacia la derecha). Patinadora: −150 kg·m/s (hacia la izquierda).
El cambio de cantidad de movimiento
Cuando un cuerpo frena, acelera o se devuelve, su cantidad de movimiento cambia. El cambio se calcula siempre igual, lo de después menos lo de antes:
$$\Delta p = p_f - p_i = m\,v_f - m\,v_i$$
Aquí los signos mandan. Si un balón llega a una pared y rebota, su velocidad pasa de positiva a negativa, y el cambio es más grande que si el balón simplemente se detuviera: primero hay que quitarle todo su movimiento y después dárselo en sentido contrario. Quien solo mira las rapideces se equivoca, porque olvida que el balón se dio la vuelta.
El impulso
¿Qué hace cambiar la cantidad de movimiento? Una fuerza que actúa durante un tiempo. La segunda ley dice $F = ma$, y la aceleración es $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$. Si las juntamos y pasamos $\Delta t$ al otro lado:
$$F\,\Delta t = m\,\Delta v = \Delta p$$
El producto $F\,\Delta t$ se llama impulso y se escribe $I$. La igualdad $I = \Delta p$ es otra forma de decir la segunda ley: el impulso de la fuerza neta sobre un cuerpo es igual al cambio de su cantidad de movimiento. El impulso se mide en N·s, que es lo mismo que kg·m/s.
En un golpe real la fuerza no es constante: crece, llega a un máximo y desaparece en un instante. Por eso se habla de la fuerza media, la fuerza constante que en el mismo tiempo daría el mismo impulso. El impulso también es un vector, con el mismo sentido que el cambio de cantidad de movimiento.
Ejemplo resuelto
Un balón que rebota en una pared
Un balón de 0,4 kg llega a una pared a 10 m/s y rebota en sentido contrario a 8 m/s. El contacto con la pared dura 0,04 s. Tomamos como positivo el sentido en que llega el balón. Calcula el cambio de cantidad de movimiento del balón y la fuerza media que la pared hace sobre él.
Ver la solución paso a paso
Antes del choque la velocidad es positiva; después del rebote, negativa. El cambio es lo de después menos lo de antes:
$$0{,}4 \cdot \left(-8\right) - 0{,}4 \cdot 10$$
Hacemos cada producto:
$$-3{,}2 - 4$$
El cambio de cantidad de movimiento es $\Delta p = -7{,}2$ kg·m/s:
$$-7{,}2$$
Si solo miráramos las rapideces, parecería que el balón perdió poca velocidad, de 10 a 8 m/s. Pero se dio la vuelta: su velocidad cambió, lo de después menos lo de antes, (−8) − 10 = −18 m/s. Es un cambio de 18 m/s en tamaño, no de 2:
$$-8 - 10 = -18$$
El impulso de la pared es igual a ese cambio: fuerza media por tiempo de contacto igual a $\Delta p$.
$$F \cdot 0{,}04 = -7{,}2$$
Despejamos la fuerza:
$$F = \frac{-7{,}2}{0{,}04}$$
La fuerza media es de 180 N y lleva signo menos: la pared empuja al balón en sentido contrario al de llegada, que es justo lo que lo devuelve.
$$F = -180$$
Respuesta: $F = -180$
Por qué protegen la colchoneta y la bolsa de aire
Piensa en una persona que cae y tiene que quedar quieta. Su cantidad de movimiento antes de tocar el suelo depende de su masa y de la velocidad con que llega; al final es cero. Así que el cambio de cantidad de movimiento ya está decidido antes del golpe: caiga sobre baldosa o sobre una colchoneta, el impulso que tiene que recibir es el mismo.
Lo que sí se puede cambiar es cuánto tiempo dura el frenado. Como $F\,\Delta t$ tiene un valor fijo, si el tiempo crece, la fuerza media disminuye en la misma proporción. La baldosa no cede y frena en un instante: la fuerza es enorme. La colchoneta se hunde poco a poco y reparte el mismo impulso en un tiempo mucho mayor: la fuerza es mucho menor, y lo que lastima es la fuerza.
La bolsa de aire de un carro funciona igual. No reduce el cambio de cantidad de movimiento del pasajero, que de todas formas pasa de ir con el carro a quedar quieto: alarga el tiempo en que se detiene y así reduce la fuerza que recibe. Lo mismo hacen las manos que retroceden al atrapar el balón y las rodillas que se doblan al caer.
La idea también funciona al revés. Si quieres darle mucha cantidad de movimiento a un balón, no basta con golpear fuerte: conviene acompañar el golpe para que la fuerza actúe más tiempo. Eso hacen el pie que sigue la patada o la raqueta que acompaña la pelota.
Ejemplo resuelto
Piso duro o colchoneta
Una estudiante de 60 kg salta desde una barra y llega al suelo a 5 m/s. Tomamos hacia arriba como positivo. Compara la fuerza neta media que la detiene si cae sobre el piso duro, donde se detiene en 0,05 s, y si cae sobre una colchoneta, donde se detiene en 0,5 s.
Ver la solución paso a paso
Al llegar va hacia abajo, así que su velocidad es negativa; al final está quieta. El cambio de cantidad de movimiento es el mismo en los dos casos:
$$60 \cdot 0 - 60 \cdot \left(-5\right)$$
Da $\Delta p = 300$ kg·m/s, positivo: hacia arriba, porque el suelo la frena empujándola hacia arriba.
$$300$$
Piso duro. El impulso es fuerza neta media por tiempo:
$$F \cdot 0{,}05 = 300$$
Despejamos:
$$F = 6000$$
Colchoneta. El mismo impulso, en un tiempo mayor:
$$F \cdot 0{,}5 = 300$$
Despejamos:
$$F = 600$$
El tiempo de frenado es diez veces mayor y la fuerza neta media, diez veces menor:
$$\frac{6000}{600} = 10$$
El cambio de cantidad de movimiento no cambió: cambió el tiempo en que se reparte. La fuerza que hace el suelo es la fuerza neta más la que sostiene el peso de la estudiante, y aun así la colchoneta empuja mucho menos que el piso duro.
Respuesta: En los dos casos Δp = 300 kg·m/s hacia arriba. La fuerza neta media es de 6.000 N sobre el piso duro y de 600 N sobre la colchoneta.
Una pelota de 2 kg llega a 5 m/s y se detiene, primero contra el piso y después contra la colchoneta. Las dos veces su cantidad de movimiento cambia lo mismo, 10 kg·m/s. En el piso se detiene en 0,05 s y la fuerza media es de 200 N; en la colchoneta tarda 0,5 s, diez veces más, y la fuerza es diez veces menor, 20 N.
Práctica
Un carrito de 2 kg avanza a 1,5 m/s. ¿Cuál es su cantidad de movimiento, en kg·m/s?
p = mv = 2 · 1,5 = 3 kg·m/s, en el sentido en que avanza.
Tomamos como positivo el sentido hacia la derecha. Un patinador de 40 kg se mueve a 2 m/s hacia la izquierda. ¿Cuál es su cantidad de movimiento, en kg·m/s?
Va hacia la izquierda, así que su velocidad es −2 m/s: p = 40 · (−2) = −80 kg·m/s. El signo dice hacia dónde apunta.
Un balón de 0,5 kg tiene una cantidad de movimiento de 6 kg·m/s. ¿A qué rapidez se mueve, en m/s?
De p = mv se despeja v = p/m = 6/0,5 = 12 m/s.
¿Verdadero o falso? Un camión de 3.000 kg que avanza a 1 m/s y un carro de 1.000 kg que avanza a 3 m/s en el mismo sentido tienen la misma cantidad de movimiento.
3.000 · 1 = 3.000 kg·m/s y 1.000 · 3 = 3.000 kg·m/s. Lo que le falta al carro en masa lo compensa con velocidad.
Un balón de 0,2 kg llega a una pared a 15 m/s y rebota con la misma rapidez, 15 m/s, en sentido contrario. Tomamos como positivo el sentido en que llega. ¿Cuál es el cambio de su cantidad de movimiento, en kg·m/s?
Δp = 0,2 · (−15) − 0,2 · 15 = −3 − 3 = −6 kg·m/s. No es cero: aunque la rapidez sea la misma, la velocidad cambió de sentido.
Una fuerza neta de 50 N empuja un carrito durante 0,2 s. ¿Qué impulso recibe el carrito, en N·s?
I = FΔt = 50 · 0,2 = 10 N·s, que es también lo que cambia su cantidad de movimiento.
Un carrito de 2 kg está en reposo y recibe un impulso de 8 N·s. ¿Con qué rapidez queda, en m/s?
El impulso es el cambio de cantidad de movimiento: pasa de 0 a 8 kg·m/s, así que v = 8/2 = 4 m/s.
Un carrito de 3 kg avanza a 4 m/s y se detiene en 0,6 s. Tomamos como positivo el sentido en que avanzaba. ¿Cuál es la fuerza neta media que lo frena, en N, con su signo?
Δp = 0 − 3 · 4 = −12 kg·m/s, y F = Δp/Δt = −12/0,6 = −20 N. El signo menos dice que la fuerza va contra el movimiento.
¿Verdadero o falso? Para producir el mismo cambio de cantidad de movimiento, 12 kg·m/s, una fuerza que actúa durante 0,3 s tiene que ser el doble de una que actúa durante 0,6 s.
12/0,3 = 40 N y 12/0,6 = 20 N. Con la mitad del tiempo hace falta el doble de fuerza: es la otra cara de la colchoneta.
En un choque de frente, ¿qué hace la bolsa de aire con el pasajero?
El pasajero pasa de ir con el carro a quedar quieto con o sin bolsa: el cambio de cantidad de movimiento es el mismo. La bolsa alarga el tiempo de frenado, y como FΔt no cambia, la fuerza media baja.
Reto
Completa la historia del carrito.
Escoge el valor correcto para cada espacio. Tomamos como positivo el sentido en que avanza el carrito.
Reto
Abre el candado del impulso.
Cada respuesta es una cifra del código. Usa p = mv y que el impulso es igual al cambio de p.
Cierre
En resumen
La cantidad de movimiento de un cuerpo es p = mv; se mide en kg·m/s y tiene el signo de la velocidad, según el sentido positivo que se elija.
El cambio de cantidad de movimiento es lo de después menos lo de antes; si el cuerpo se devuelve, el cambio es mayor que si solo se detiene.
El impulso de la fuerza neta, I = FΔt, es igual al cambio de cantidad de movimiento; es la segunda ley de Newton escrita de otra forma.
Si el cambio de cantidad de movimiento está fijo, alargar el tiempo del frenado reduce la fuerza media; así protegen la colchoneta y la bolsa de aire.
Vocabulario
- Cantidad de movimiento
Producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, p = mv. Es un vector: apunta hacia donde se mueve el cuerpo. Se mide en kg·m/s.
- Impulso
Producto de la fuerza media que actúa sobre un cuerpo por el tiempo que actúa, I = FΔt. Se mide en N·s, que es lo mismo que kg·m/s.
- Sentido positivo
El sentido que se elige al empezar un problema para que las velocidades y las fuerzas que van hacia él lleven signo más, y las contrarias, signo menos.
- Fuerza media
La fuerza constante que, actuando durante el mismo tiempo, produciría el mismo impulso que la fuerza real, que suele cambiar durante un golpe.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lance un balón despacio a un estudiante y pídale que lo atrape con las manos rígidas y luego dejándolas retroceder. Pregunte cuándo le dolió menos y por qué.
- Explicación · 20 min — Defina p = mv insistiendo en el sentido positivo, que se dice antes de cualquier cuenta. Deduzca FΔt = Δp desde la segunda ley y resuelva en el tablero el rebote en la pared y la comparación entre piso y colchoneta.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas; los huecos y el candado se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un objeto de la vida diaria que proteja alargando el tiempo de un golpe y explica qué cantidad queda igual y cuál disminuye.
Preguntas para el salón
- ¿Puede un balón tener más cantidad de movimiento que un carro? ¿Qué tendría que pasar?
- Si un balón rebota con la misma rapidez con que llegó, ¿cambió su cantidad de movimiento?
- ¿La bolsa de aire hace que el pasajero cambie menos su movimiento, o que lo cambie más despacio?
Errores típicos
- Olvidar el signo de la velocidad y sumar o restar solo rapideces. Exija que cada solución empiece con la frase «positivo hacia…» y que cada velocidad se escriba con su signo antes de multiplicar.
- Creer que en un rebote con la misma rapidez el cambio de cantidad de movimiento es cero. Dibuje la flecha de antes y la de después en el tablero y pregunte cuánto hay que cambiar para pasar de una a otra.
- Creer que la colchoneta o la bolsa de aire reducen el cambio de cantidad de movimiento. Pregunte con qué velocidad termina la persona en cada caso; si termina quieta en los dos, el cambio es el mismo y lo único distinto es el tiempo.
Tarea sugerida
Buscar en la casa o en el barrio tres objetos que protejan alargando el tiempo de un golpe (casco, guantes, empaques, cojines) y, para uno de ellos, inventar los datos de un frenado y calcular la fuerza media con y sin el objeto.