Conservación de la cantidad de movimiento
Lo que vas a aprender
- Reconocer cuándo un sistema de cuerpos se puede tratar como aislado.
- Explicar la conservación de la cantidad de movimiento a partir de la tercera ley de Newton.
- Calcular la velocidad de retroceso o de separación de dos cuerpos con la conservación de la cantidad de movimiento.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Dos patinadores están quietos sobre una pista de hielo, frente a frente. Se empujan con las manos y salen en sentidos contrarios. ¿Cuál sale más rápido? Un niño parado en una patineta lanza un balón pesado hacia adelante, y la patineta rueda hacia atrás. Un cañón de juguete montado en un carrito dispara una pelota, y el carrito retrocede.
En todos esos casos hay un mismo principio: si nada de afuera empuja al sistema, la cantidad de movimiento total no cambia. Es una de las leyes más poderosas de la física, porque permite calcular velocidades sin saber nada de las fuerzas, que en un empujón o en un disparo cambian a cada instante y casi nunca se pueden medir. También es la herramienta que vas a usar en las próximas lecciones para estudiar los choques.
Antes de empezar recuerda la tercera ley de Newton (acción y reacción) y que la cantidad de movimiento es $p = mv$, con el signo que le da el sentido positivo.
Explicación
Sistema, fuerzas internas y fuerzas externas
Para usar este principio, lo primero es decidir qué cuerpos se estudian juntos. Ese conjunto se llama sistema. Si el sistema son los dos patinadores, las fuerzas que uno hace sobre el otro al empujarse son internas. El peso de cada uno, la fuerza del hielo que los sostiene y la fricción con el hielo son externas: las hace algo que no está en el sistema.
Un sistema es aislado cuando la fuerza externa neta sobre él es cero. Con los patinadores el peso y la fuerza del hielo se anulan, porque son verticales y nadie sube ni baja, y la fricción con el hielo es muy pequeña. Durante el empujón, que dura un instante, las fuerzas internas son mucho mayores que cualquier fricción, y el sistema se puede tratar como aislado.
Por qué se conserva
Mientras los patinadores se empujan, el patinador A empuja a B y, por la tercera ley, B empuja a A con una fuerza de igual tamaño y sentido contrario. Las dos fuerzas actúan durante el mismo tiempo, porque empiezan y terminan juntas. Llamamos $F_{AB}$ a la fuerza que A hace sobre B, y $F_{BA}$ a la que B hace sobre A. Entonces los impulsos también son iguales y opuestos, y el impulso de $F_{AB}$ es el que cambia la cantidad de movimiento de B:
$$F_{AB}\,\Delta t = -F_{BA}\,\Delta t \quad\Longrightarrow\quad \Delta p_B = -\Delta p_A$$
Lo que gana uno en cantidad de movimiento, lo pierde el otro. Si se suma, el cambio total es cero:
$$p_{A,\,\text{antes}} + p_{B,\,\text{antes}} = p_{A,\,\text{después}} + p_{B,\,\text{después}}$$
Ese es el principio de conservación de la cantidad de movimiento: en un sistema aislado, la cantidad de movimiento total es la misma antes y después de cualquier interacción entre sus cuerpos. Las fuerzas internas pueden cambiar la cantidad de movimiento de cada cuerpo, pero no la del conjunto.
Fíjate en que es una suma con signos. Si los dos patinadores parten del reposo, la suma vale cero antes y tiene que valer cero después: uno queda con cantidad de movimiento positiva y el otro con la misma, pero negativa. Por eso salen en sentidos contrarios, y por eso el de menor masa sale más rápido: para tener la misma cantidad de movimiento con menos masa hace falta más velocidad.
Ejemplo resuelto
Dos patinadores que se empujan
Sofía, de 50 kg, y Tomás, de 70 kg, están quietos sobre el hielo. Se empujan y Sofía sale a 2,8 m/s hacia la izquierda. Tomamos como positivo el sentido hacia la derecha. ¿Con qué velocidad sale Tomás?
Ver la solución paso a paso
Antes del empujón los dos están quietos: la cantidad de movimiento total es cero. Después tiene que seguir siendo cero. Sofía va hacia la izquierda, así que su velocidad es negativa; llamamos $v$ a la de Tomás:
$$50 \cdot \left(-2{,}8\right) + 70v = 0$$
Hacemos el producto de Sofía:
$$-140 + 70v = 0$$
Pasamos el término numérico al otro lado:
$$70v = 140$$
Y dividimos entre 70:
$$v = 2$$
La velocidad de Tomás es positiva: sale hacia la derecha, a 2 m/s, más despacio que Sofía porque tiene más masa.
¿Y la energía? Antes del empujón no había energía cinética. Después, entre los dos tienen 336 J:
$$\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \left(2{,}8\right)^{2} + \frac{1}{2} \cdot 70 \cdot 2^{2} = 336$$
Esa energía salió de los músculos de los dos. La cantidad de movimiento total siguió en cero, pero la energía cinética no se conservó: son dos cosas distintas.
Respuesta: $v = 2$
El retroceso
Cuando un cuerpo lanza algo hacia adelante, él mismo se mueve hacia atrás. Es la misma historia de los patinadores: si el lanzador y lo lanzado parten del reposo, la cantidad de movimiento total es cero, y lo que se lleva el objeto hacia adelante lo tiene que compensar el lanzador hacia atrás. Así retroceden un cañón de juguete, una manguera que suelta agua con fuerza o una persona que lanza un balón pesado desde una patineta. Así se impulsa también un cohete en el espacio: expulsa gases hacia atrás y él avanza hacia adelante, sin necesidad de apoyarse en nada.
Cómo se plantea un problema
- Elige el sistema y revisa que se pueda tratar como aislado.
- Elige el sentido positivo y dilo.
- Escribe la cantidad de movimiento total antes, con el signo de cada velocidad.
- Escribe la cantidad de movimiento total después, con la velocidad desconocida como incógnita.
- Iguala las dos y despeja. El signo de la respuesta te dice hacia dónde se mueve.
El sistema no tiene que partir del reposo. Si dos carritos van juntos y un resorte los separa, la cantidad de movimiento total de antes no es cero, pero se conserva igual.
Ejemplo resuelto
El retroceso de un cañón de juguete
Un carrito con un cañón de juguete tiene una masa de 2 kg y está quieto. Dispara hacia adelante una pelota de 0,1 kg que sale a 12 m/s. Tomamos como positivo el sentido hacia adelante. ¿Con qué velocidad retrocede el carrito?
Ver la solución paso a paso
Antes del disparo todo está quieto: la cantidad de movimiento total es cero. Después, la del carrito más la de la pelota tiene que seguir dando cero:
$$2v + 0{,}1 \cdot 12 = 0$$
La pelota se lleva 1,2 kg·m/s hacia adelante:
$$2v + 1{,}2 = 0$$
Despejamos:
$$2v = -1{,}2$$
Y dividimos entre 2:
$$v = -0{,}6$$
El signo menos dice que el carrito va hacia atrás, a 0,6 m/s. Su masa es veinte veces la de la pelota, y por eso su rapidez es veinte veces menor:
$$\frac{12}{0{,}6} = \frac{2}{0{,}1}$$
Respuesta: $v = -0{,}6$
El cañón de juguete del ejemplo: la pelota de 0,1 kg y el carrito de 2 kg parten quietos y juntos, con cantidad de movimiento total cero. Al disparar, la pelota sale a 12 m/s hacia un lado y el carrito retrocede a 0,6 m/s hacia el otro. Mira las barras: 0,1 · 12 y 2 · 0,6 valen lo mismo, 1,2 kg·m/s, en sentidos contrarios, y la total sigue en cero.
Ejemplo resuelto
Un sistema que ya se movía
Un carrito de 3 kg lleva encima un bloque de 1 kg, y los dos avanzan juntos a 2 m/s hacia la derecha. Un resorte lanza el bloque hacia adelante, y el bloque queda a 5 m/s hacia la derecha. Tomamos la derecha como positiva. ¿Qué velocidad lleva ahora el carrito?
Ver la solución paso a paso
Antes, los dos se mueven juntos con la misma velocidad. La cantidad de movimiento total es la masa total por esa velocidad:
$$\left(3 + 1\right) \cdot 2$$
Es decir, 8 kg·m/s:
$$8$$
Después, el bloque y el carrito se mueven por separado. La suma tiene que seguir dando lo mismo:
$$1 \cdot 5 + 3v = 8$$
Pasamos los 5 kg·m/s del bloque al otro lado:
$$3v = 3$$
Y dividimos entre 3:
$$v = 1$$
El carrito sigue hacia la derecha, pero más despacio: le cedió parte de su cantidad de movimiento al bloque. El total no cambió.
Respuesta: $v = 1$
Práctica
Dos patinadores, de 40 kg y de 60 kg, están quietos y se empujan. El de 40 kg sale a 3 m/s. ¿Con qué rapidez sale el de 60 kg, en m/s?
La cantidad de movimiento total sigue en cero: 40 · 3 = 120 kg·m/s hacia un lado y 120 kg·m/s hacia el otro. 120/60 = 2 m/s, en sentido contrario.
Un patinador de 80 kg está quieto y lanza un balón de 4 kg a 10 m/s hacia la derecha. Tomamos la derecha como positiva. ¿Cuál es la velocidad del patinador después del lanzamiento, en m/s?
80v + 4 · 10 = 0, así que v = −40/80 = −0,5 m/s: el patinador retrocede hacia la izquierda.
¿Verdadero o falso? Un resorte separa dos carritos quietos: el de 1 kg sale a 6 m/s hacia la derecha y el de 3 kg sale a 2 m/s hacia la izquierda. Con la derecha como positiva, la cantidad de movimiento total sigue siendo cero.
1 · 6 + 3 · (−2) = 6 − 6 = 0. Se conserva la cantidad de movimiento total que había antes, que era cero.
¿Verdadero o falso? En esa misma separación, el carrito de 1 kg a 6 m/s y el de 3 kg a 2 m/s tienen entre los dos una energía cinética total de cero, igual que antes.
La energía cinética no lleva signo: 18 J + 6 J = 24 J. Esa energía la soltó el resorte. Lo que se conserva es la cantidad de movimiento, no la energía cinética.
Un carrito de 0,5 kg está quieto y dispara hacia atrás un dardo de 0,02 kg a 15 m/s. ¿Con qué rapidez avanza el carrito, en m/s?
El dardo se lleva 0,02 · 15 = 0,3 kg·m/s hacia atrás, y el carrito la misma cantidad hacia adelante: v = 0,3/0,5 = 0,6 m/s.
Dos carritos de 2 kg cada uno van unidos a 3 m/s. Un resorte los separa y el de adelante queda a 5 m/s, en el mismo sentido. ¿A qué velocidad queda el de atrás, en m/s?
Antes: 4 · 3 = 12 kg·m/s. Después: 2 · 5 + 2v = 12, así que v = 1 m/s, en el mismo sentido y más despacio.
Una astronauta de 60 kg flota quieta junto a su nave y lanza una herramienta de 2 kg a 3 m/s. ¿Con qué rapidez se mueve ella hacia el otro lado, en m/s?
En el espacio no hay fricción ni piso: el sistema es aislado. 2 · 3 = 6 kg·m/s para cada lado, y 6/60 = 0,1 m/s.
Tomamos como positivo el sentido hacia la derecha. Cada expresión es la masa por la velocidad de un carrito. Marca los carritos que se mueven hacia la izquierda.
Marca todas las que apliquen.
Van hacia la izquierda los que tienen velocidad negativa: 3 · (−2), 2 · (−3) y 0,5 · (−8). La masa siempre es positiva: el signo lo pone la velocidad.
¿Verdadero o falso? Una patinadora de 45 kg y un patinador de 90 kg, quietos, se empujan. Como la cantidad de movimiento total sigue en cero, él sale con la mitad de la rapidez de ella.
Cada uno se lleva la misma cantidad de movimiento en tamaño: 45 · v_ella = 90 · v_él. La razón de las rapideces es la inversa de la razón de las masas, 45/90 = 1/2.
¿Por qué se conserva la cantidad de movimiento total cuando dos patinadores se empujan sobre el hielo?
Por la tercera ley, las fuerzas son iguales y opuestas y duran lo mismo: los impulsos se cancelan. Sí hay fuerzas, pero son internas. La energía cinética, en cambio, aumenta.
Reto
Clasifica cada sistema según su cantidad de movimiento total.
Cada expresión es la suma de masa por velocidad de dos carritos, con la derecha como positiva. Calcúlala y lleva el sistema a su canasta.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En la primera ronda, cada expresión es la cantidad de movimiento total de dos patinadores después de empujarse desde el reposo: toca la que no puede ser. En la segunda, cada producto es masa por velocidad de un carrito, con la derecha como positiva: toca el que va hacia otro lado.
Cierre
En resumen
Un sistema es aislado cuando la fuerza externa neta sobre él es cero o se puede despreciar durante la interacción.
Por la tercera ley, las fuerzas internas son iguales y opuestas y duran lo mismo; por eso sus impulsos se cancelan.
En un sistema aislado, la cantidad de movimiento total antes es igual a la cantidad de movimiento total después, sumando con signos.
Dos cuerpos que se separan desde el reposo salen en sentidos contrarios, y el de menor masa sale más rápido.
La cantidad de movimiento se conserva aunque la energía cinética cambie, como cuando un resorte o unos músculos separan dos cuerpos.
Vocabulario
- Sistema
El conjunto de cuerpos que se decide estudiar juntos, por ejemplo dos patinadores, o un cañón de juguete y su pelota.
- Fuerza interna
Fuerza que un cuerpo del sistema hace sobre otro cuerpo del mismo sistema.
- Fuerza externa
Fuerza que algo de fuera del sistema hace sobre un cuerpo del sistema, como el peso o la fricción con el piso.
- Sistema aislado
Sistema sobre el que la fuerza externa neta es cero, o tan pequeña durante la interacción que se puede despreciar.
- Retroceso
Movimiento hacia atrás de un cuerpo que lanza o dispara algo hacia adelante.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a dos estudiantes de masas distintas, sobre patinetas o sillas con ruedas, que se empujen con las palmas. Pregunte quién salió más rápido y por qué salieron en sentidos contrarios.
- Explicación · 20 min — Defina sistema, fuerzas internas y externas. Deduzca la conservación desde la tercera ley con los dos impulsos iguales y opuestos. Resuelva en el tablero los patinadores y el cañón, insistiendo en decir el sentido positivo antes de escribir.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas; las canastas y el intruso se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica con una frase por qué retrocede un cañón de juguete, usando las palabras sistema y cantidad de movimiento total.
Preguntas para el salón
- Si dos patinadores de la misma masa se empujan desde el reposo, ¿qué pueden decir de sus rapideces?
- ¿Se conserva la cantidad de movimiento de un balón que rueda por el pasto hasta detenerse? ¿Qué sistema habría que tomar para que sí?
- Cuando los patinadores se empujan, la energía cinética aumenta. ¿De dónde sale?
Errores típicos
- Sumar cantidades de movimiento sin signo y concluir que el total aumentó. Exija la frase «positivo hacia…» y que cada velocidad se escriba con su signo. Si el total de antes era cero, el de después también tiene que dar cero.
- Creer que la conservación significa que cada cuerpo conserva su cantidad de movimiento. Haga una tabla con antes y después para cada cuerpo y una fila para el total: cambian las filas de cada uno, no la del total.
- Confundir la conservación de la cantidad de movimiento con la de la energía cinética. Calcule las dos en el ejemplo de los patinadores: la cantidad de movimiento sigue en cero y la energía cinética pasa de cero a un valor positivo.
Tarea sugerida
Inventar una situación de retroceso (una persona en un bote que lanza una mochila, un carrito con un globo que suelta aire), con masas y una velocidad propuestas, y calcular la velocidad del otro cuerpo diciendo el sentido positivo.