Choques en una dimensión
Lo que vas a aprender
- Distinguir un choque elástico, uno inelástico y uno perfectamente inelástico.
- Calcular la velocidad final de dos cuerpos que quedan unidos después de un choque.
- Predecir las velocidades finales de un choque elástico entre dos cuerpos de igual masa.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En los carros chocones de un parque de diversiones, en una mesa de billar o en una partida de canicas, dos cuerpos se golpean y salen con velocidades nuevas. A veces rebotan, a veces uno se queda quieto y el otro sale disparado, y a veces quedan pegados y siguen juntos, como dos carritos de laboratorio con velcro en las puntas.
¿Se puede predecir cómo salen? Durante el golpe las fuerzas son enormes y cambian en milésimas de segundo, así que nadie las puede seguir paso a paso. Pero no hace falta: la conservación de la cantidad de movimiento, que viste en la lección anterior, permite calcular las velocidades de después a partir de las de antes. En esta lección vas a aprender a hacerlo en los dos casos más importantes: cuando los cuerpos quedan unidos y cuando rebotan sin perder energía.
Antes de empezar recuerda que la cantidad de movimiento es $p = mv$, con signo, y que la energía cinética es $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$.
Explicación
Por qué se conserva la cantidad de movimiento en un choque
Un choque dura muy poco. Mientras dura, cada cuerpo empuja al otro con fuerzas internas grandísimas, iguales y opuestas por la tercera ley. Las fuerzas externas, como la fricción con el piso, son pequeñas y en ese instante casi no alcanzan a dar impulso. Por eso, durante un choque, el sistema de los dos cuerpos se comporta como aislado y su cantidad de movimiento total se conserva:
$$m_A\,v_A + m_B\,v_B = m_A\,v_A' + m_B\,v_B'$$
Las velocidades con tilde ($v'$) son las de después del choque. Como siempre, cada velocidad lleva el signo que le da el sentido positivo que se eligió.
Tres clases de choques
La cantidad de movimiento se conserva en todos los choques. Lo que cambia de un choque a otro es qué pasa con la energía cinética:
- Elástico. Los cuerpos rebotan y la energía cinética total de después es igual a la de antes. Las bolas de billar y los carritos con imanes o resortes en las puntas se acercan mucho a este caso.
- Inelástico. Los cuerpos rebotan, pero parte de la energía cinética se transforma en deformación, calor y sonido. Así son la mayoría de los choques de la vida diaria.
- Perfectamente inelástico. Los cuerpos quedan unidos y siguen juntos con una misma velocidad. Pasa con el velcro, con una bola de plastilina que se pega a otra o con un vagón que se engancha a otro.
Cuando los cuerpos quedan unidos
Este es el caso más fácil de calcular, porque después del choque solo hay una velocidad desconocida, la del conjunto. La cantidad de movimiento de después es la masa total por esa velocidad:
$$m_A\,v_A + m_B\,v_B = (m_A + m_B)\,v$$
Se despeja $v$ y su signo dice hacia dónde se mueve el conjunto. Si los dos venían de frente, el conjunto sigue en el sentido del que traía más cantidad de movimiento; si las dos cantidades eran iguales y opuestas, el conjunto queda quieto.
Ejemplo resuelto
Un carrito alcanza a otro y quedan pegados
Un carrito A de 2 kg avanza a 3 m/s hacia la derecha y choca con un carrito B de 1 kg que está quieto. Tienen velcro en las puntas y quedan unidos. Tomamos la derecha como positiva. ¿Con qué velocidad siguen?
Ver la solución paso a paso
Antes solo se mueve A; B está quieto. Después, los dos van juntos con la velocidad $v$:
$$2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = \left(2 + 1\right)v$$
Hacemos las cuentas de cada lado:
$$6 = 3v$$
Dividimos entre 3:
$$v = 2$$
Siguen juntos a 2 m/s hacia la derecha. Tiene sentido: la misma cantidad de movimiento, repartida en más masa, da menos velocidad.
Respuesta: $v = 2$
Ejemplo resuelto
Un choque de frente
Un carrito A de 1,5 kg va a 4 m/s hacia la derecha y un carrito B de 2,5 kg va a 2 m/s hacia la izquierda. Chocan de frente y quedan unidos. Tomamos la derecha como positiva. ¿Con qué velocidad se mueven después?
Ver la solución paso a paso
B va hacia la izquierda: su velocidad es negativa. Después del choque, el conjunto tiene la masa de los dos:
$$1{,}5 \cdot 4 + 2{,}5 \cdot \left(-2\right) = \left(1{,}5 + 2{,}5\right)v$$
A trae 6 kg·m/s hacia la derecha y B trae 5 kg·m/s hacia la izquierda:
$$6 - 5 = 4v$$
Simplificamos:
$$1 = 4v$$
Y dividimos entre 4:
$$v = 0{,}25$$
El conjunto se mueve a 0,25 m/s hacia la derecha: gana el sentido de A, que traía más cantidad de movimiento, aunque tenga menos masa que B.
Respuesta: $v = 0{,}25$
Choque elástico entre masas iguales
Cuando los cuerpos rebotan, después del choque hay dos velocidades desconocidas, una por cuerpo, y la conservación de la cantidad de movimiento da una sola ecuación. Hace falta otra condición. En un choque elástico esa condición es que la energía cinética total también se conserva.
Con dos cuerpos de la misma masa, las dos condiciones llevan a un resultado muy sencillo: los cuerpos intercambian sus velocidades. El que llegaba se queda con la velocidad que tenía el otro, y el otro sale con la que traía el primero. Por eso, en el billar, cuando la bola blanca golpea de frente a otra que está quieta, la blanca se detiene en seco y la otra sale con la velocidad que traía la blanca.
Puedes comprobar que el intercambio cumple las dos condiciones: la suma de las cantidades de movimiento y la suma de las energías cinéticas tienen los mismos términos antes y después, solo que cambiados de lugar. Hay otra respuesta que también las cumple, que todo siga como antes, pero esa describe dos cuerpos que no llegaron a chocar.
Cuidado: el intercambio solo ocurre si las masas son iguales y el choque es elástico. Si quedan unidos, la cantidad de movimiento se conserva igual, pero el resultado es otro, como se ve en el ejemplo que sigue. Saber qué clase de choque es forma parte del problema: la conservación de la cantidad de movimiento, sola, no lo decide.
Ejemplo resuelto
Dos carritos iguales de frente
Dos carritos de 0,5 kg cada uno se acercan de frente: A va a 2 m/s hacia la derecha y B a 1 m/s hacia la izquierda. Tomamos la derecha como positiva. ¿Cómo salen si el choque es elástico? ¿Y si quedaran unidos?
Ver la solución paso a paso
La cantidad de movimiento total antes del choque es:
$$0{,}5 \cdot 2 + 0{,}5 \cdot \left(-1\right)$$
Vale 0,5 kg·m/s hacia la derecha:
$$0{,}5$$
Choque elástico. Las masas son iguales: intercambian velocidades. A sale a 1 m/s hacia la izquierda y B a 2 m/s hacia la derecha. La cantidad de movimiento total sigue siendo la misma:
$$0{,}5 \cdot \left(-1\right) + 0{,}5 \cdot 2 = 0{,}5$$
Y la energía cinética total también, porque son los mismos dos términos en otro orden. Vale 1,25 J antes y después:
$$\frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 2^{2} + \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot \left(-1\right)^{2} = 1{,}25$$
Si quedaran unidos. La cantidad de movimiento total se conserva igual, ahora con una sola velocidad para el conjunto de 1 kg:
$$0{,}5 \cdot 2 + 0{,}5 \cdot \left(-1\right) = \left(0{,}5 + 0{,}5\right)v$$
Despejamos:
$$v = 0{,}5$$
Seguirían juntos a 0,5 m/s hacia la derecha. Su energía cinética sería mucho menor que los 1,25 J del principio:
$$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left(0{,}5\right)^{2} < 1{,}25$$
Los dos resultados conservan la cantidad de movimiento. Lo que los distingue es la clase de choque: en el elástico la energía cinética se conserva y en el perfectamente inelástico se pierde una parte. De esa pérdida se ocupa la próxima lección.
Respuesta: Elástico: A sale a −1 m/s y B a 2 m/s. Unidos: los dos siguen a 0,5 m/s hacia la derecha.
Los dos carritos de 0,5 kg del ejemplo. En el choque elástico se intercambian las velocidades: A sale a −1 m/s y B a 2 m/s, y la cantidad de movimiento, 0,5 kg·m/s, es la misma antes y después. Predice qué pasa si A llega más rápido. Después cambia a «inelástico»: quedan unidos a 0,5 m/s, la misma cantidad de movimiento, pero se pierden 1,125 J.
Práctica
Un carrito de 4 kg avanza a 3 m/s y choca con otro de 2 kg que está quieto. Quedan unidos. ¿Con qué velocidad siguen, en m/s?
4 · 3 = 12 kg·m/s antes; después 6v = 12, así que v = 2 m/s. La velocidad baja porque la misma cantidad de movimiento se reparte en más masa.
Una bola de plastilina de 0,2 kg vuela a 9 m/s y se pega a un carrito de 0,4 kg que estaba quieto. ¿Con qué rapidez siguen juntos, en m/s?
0,2 · 9 = 1,8 kg·m/s, repartidos en 0,6 kg: v = 1,8/0,6 = 3 m/s.
Tomamos la derecha como positiva. Un carrito de 2 kg va a 5 m/s hacia la derecha y otro de 3 kg va a 4 m/s hacia la izquierda. Chocan de frente y quedan unidos. ¿Cuál es la velocidad del conjunto, en m/s?
2 · 5 + 3 · (−4) = 10 − 12 = −2 kg·m/s, y −2/5 = −0,4 m/s: el conjunto se mueve hacia la izquierda, el sentido del que traía más cantidad de movimiento.
¿Verdadero o falso? Dos carritos de 3 kg, uno a 2 m/s hacia la derecha y el otro a 2 m/s hacia la izquierda, chocan y quedan unidos. Con la derecha como positiva, la cantidad de movimiento total es cero y el conjunto queda quieto.
3 · 2 + 3 · (−2) = 0. Si el total es cero antes, es cero después, y con una sola velocidad para el conjunto, esa velocidad es cero.
Una bola de billar de 0,17 kg va a 3 m/s y choca de frente, en un choque elástico, con otra bola igual que está quieta. ¿A qué rapidez sale la segunda bola, en m/s?
Masas iguales y choque elástico: intercambian velocidades. La primera queda quieta y la segunda sale a 3 m/s. Comprueba: 0,17 · 3 = 0,17 · 0 + 0,17 · 3.
¿Verdadero o falso? Dos carritos de 1 kg chocan de frente de forma elástica: uno iba a 3 m/s hacia la derecha y el otro a 2 m/s hacia la izquierda. Si después el primero va a 2 m/s hacia la izquierda y el segundo a 3 m/s hacia la derecha, la cantidad de movimiento total se conservó.
Antes: 3 − 2 = 1 kg·m/s. Después: −2 + 3 = 1 kg·m/s. Intercambiaron velocidades, como corresponde a un choque elástico entre masas iguales.
Tomamos la derecha como positiva. Un carrito de 2 kg a 6 m/s hacia la derecha choca con uno de 2 kg que va a 1 m/s hacia la izquierda. El choque es elástico. ¿Qué velocidad lleva después el primer carrito, en m/s?
Masas iguales y choque elástico: el segundo sale con los 6 m/s del primero, y el primero con los −1 m/s del segundo. La cantidad de movimiento confirma: 12 − 2 = 2v + 12 da v = −1.
Un vagón de juguete de 0,3 kg va a 2 m/s y se engancha a otro de 0,2 kg que iba a 1 m/s en el mismo sentido. ¿Con qué rapidez siguen juntos, en m/s?
Antes: 0,6 + 0,2 = 0,8 kg·m/s. Después: 0,5v = 0,8, así que v = 1,6 m/s, entre las dos velocidades de antes.
¿Qué tienen en común un choque elástico, uno inelástico y uno perfectamente inelástico entre dos carritos sobre una pista lisa?
La cantidad de movimiento total se conserva en todo choque de un sistema aislado. La energía cinética solo se conserva en el elástico, y solo en el perfectamente inelástico quedan unidos.
Reto
Une cada choque con la velocidad final del conjunto.
Cada ficha de la izquierda es (masa por velocidad de A + masa por velocidad de B) entre la masa total, de dos carritos que quedan unidos. Únela con su resultado en m/s.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
Cada expresión da la velocidad, en m/s y con la derecha como positiva, de dos carritos que quedan unidos. En la primera ronda toca el conjunto que queda quieto; en la segunda, el que se mueve hacia la izquierda.
Cierre
En resumen
Durante un choque las fuerzas internas son mucho mayores que las externas, y la cantidad de movimiento total se conserva.
En un choque elástico se conserva además la energía cinética total; en uno inelástico, una parte se transforma en otras formas de energía.
Si los cuerpos quedan unidos (perfectamente inelástico): m_A·v_A + m_B·v_B = (m_A + m_B)·v, y el signo de v dice hacia dónde va el conjunto.
En un choque elástico entre dos cuerpos de igual masa, los cuerpos intercambian sus velocidades.
La conservación de la cantidad de movimiento, sola, no dice cómo salen dos cuerpos que rebotan; hay que saber además qué clase de choque es.
Vocabulario
- Choque
Interacción muy breve entre dos cuerpos en la que se ejercen fuerzas grandes y cambian sus velocidades.
- Choque elástico
Choque en el que, además de la cantidad de movimiento total, se conserva la energía cinética total.
- Choque inelástico
Choque en el que se conserva la cantidad de movimiento total, pero parte de la energía cinética se transforma en otras formas de energía.
- Choque perfectamente inelástico
Choque inelástico en el que los cuerpos quedan unidos y siguen con una misma velocidad.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Haga rodar una canica contra otra igual quieta sobre una mesa lisa y pida que describan qué pasa con cada una. Luego repita con dos bolas de plastilina.
- Explicación · 20 min — Justifique la conservación durante el choque, presente las tres clases de choques y resuelva en el tablero los dos choques con carritos unidos. Cierre con el intercambio de velocidades entre masas iguales y el contraste del último ejemplo.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas; el dominó y el intruso se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja el antes y el después de un choque perfectamente inelástico y de uno elástico entre masas iguales, con flechas de velocidad.
Preguntas para el salón
- Si dos carritos que quedan unidos venían de frente, ¿cómo saben hacia dónde se moverá el conjunto antes de hacer la cuenta?
- En el billar, ¿por qué la bola blanca a veces se detiene en seco y a veces sigue avanzando después del golpe? (Respuesta esperada: se detiene en seco si el golpe es de frente y la blanca desliza sin girar; sigue si el golpe es oblicuo o si la bola rueda o lleva efecto, casos que esta lección no estudia. No es porque el choque deje de ser elástico.)
- ¿Puede un choque conservar la cantidad de movimiento y no la energía cinética? ¿Y al revés?
Errores típicos
- Usar la masa de un solo carrito después de un choque en que quedan unidos. Pida que escriban primero qué se mueve después del choque; si es el conjunto, la masa es la suma.
- Olvidar el signo de la velocidad del carrito que viene de frente. Exija la frase «positivo hacia…» y dibuje las flechas antes de escribir números.
- Aplicar el intercambio de velocidades a masas distintas o a choques en que quedan unidos. Muestre con el último ejemplo que, con las mismas velocidades de antes, el resultado cambia según la clase de choque.
Tarea sugerida
Inventar tres choques entre carritos (uno en que quedan unidos alcanzándose, uno de frente en que quedan unidos y uno elástico entre masas iguales), resolverlos diciendo el sentido positivo y comprobar en cada uno que la cantidad de movimiento total de antes es igual a la de después.