Choques y energía
Lo que vas a aprender
- Calcular la energía cinética total antes y después de un choque y decidir si el choque es elástico.
- Calcular cuánta energía cinética se pierde en un choque inelástico y explicar en qué se transforma.
- Resolver un choque elástico entre masas distintas con la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía cinética.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando dos carritos de plastilina chocan y quedan pegados, después del golpe van más despacio que antes. La cantidad de movimiento total se conservó, como ya sabes. Pero ¿y la energía? Si haces la cuenta, encuentras que después del choque hay menos energía cinética que antes. ¿Se perdió? ¿Se rompió la ley de conservación de la energía?
No. La energía que falta se transformó: en la abolladura de la plastilina, en un poco de calor y en el ruido del golpe. Por eso la carrocería de un carro se arruga en un choque: al deformarse, se queda con energía que de otra forma les llegaría a los pasajeros.
En esta lección vas a calcular cuánta energía cinética se pierde en un choque, vas a ver qué choques no pierden nada y vas a resolver un choque elástico entre masas distintas usando, a la vez, la cantidad de movimiento y la energía.
Antes de empezar recuerda que la energía cinética es $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$ y cómo se resuelve una ecuación cuadrática por factorización.
Explicación
Dos cantidades muy distintas
En un choque conviene mirar dos cantidades, y es fácil confundirlas:
- La cantidad de movimiento, $p = mv$, es un vector. Tiene signo: dos carritos que van en sentidos contrarios tienen cantidades de movimiento de signos contrarios, que al sumarse se pueden cancelar.
- La energía cinética, $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$, es un escalar. Como la velocidad va al cuadrado, nunca es negativa y no depende del sentido. Las energías cinéticas de varios cuerpos se suman sin que nada se cancele.
Por eso un sistema puede tener cantidad de movimiento total cero y, al mismo tiempo, mucha energía cinética: dos carritos iguales que se acercan de frente con la misma rapidez.
Qué se conserva en un choque
- La cantidad de movimiento total se conserva en todo choque de un sistema aislado, sea elástico o no.
- La energía cinética total solo se conserva en los choques elásticos. En los inelásticos, la de después es menor que la de antes.
- La energía total sí se conserva siempre. La energía cinética que falta se transformó en otras formas: energía de deformación (la plastilina abollada, la lámina doblada), energía térmica (los cuerpos se calientan un poco) y sonido.
Un choque inelástico es un ejemplo de sistema no conservativo: la energía mecánica disminuye, pero la energía no desaparece. El choque en que más energía cinética se pierde es el perfectamente inelástico, en el que los cuerpos quedan unidos. Aun así, la cantidad de movimiento exige que el conjunto siga moviéndose si al principio no sumaba cero, y esa parte de la energía cinética no se puede perder.
Para medir la pérdida se calcula la energía cinética total antes y después, y se restan:
$$E_{c,\,\text{perdida}} = E_{c,\,\text{antes}} - E_{c,\,\text{después}}$$
Ejemplo resuelto
Cuánta energía se pierde cuando quedan unidos
Un carrito A de 4 kg avanza a 3 m/s hacia la derecha y choca con un carrito B de 2 kg que está quieto. Quedan unidos. Tomamos la derecha como positiva. ¿Cuánta energía cinética se pierde en el choque, y qué fracción de la inicial es?
Ver la solución paso a paso
Primero la velocidad del conjunto, con la cantidad de movimiento:
$$4 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = \left(4 + 2\right)v$$
Despejamos:
$$v = 2$$
Energía cinética antes del choque. Solo se mueve A:
$$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3^{2}$$
Son 18 J:
$$18$$
Energía cinética después: el conjunto de 6 kg a 2 m/s.
$$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2^{2}$$
Son 12 J:
$$12$$
La energía cinética perdida es la diferencia:
$$18 - 12$$
Se pierden 6 J:
$$6$$
Y eso es la tercera parte de la energía cinética inicial:
$$\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$
Los 6 J no desaparecieron: se fueron en deformar el velcro y las puntas de los carritos, en calentarlos un poco y en el sonido del golpe.
Respuesta: Se pierden 6 J, la tercera parte de los 18 J iniciales.
Los carritos del ejemplo: A, de 4 kg, a 3 m/s, y B, de 2 kg, quieto. Quedan unidos a 2 m/s; la cantidad de movimiento sigue en 12 kg·m/s, pero la barra de la energía cinética baja de 18 J a 12 J: se pierden 6 J. Cambia a «elástico»: A sale a 1 m/s y B a 4 m/s, y no se pierde nada.
Ejemplo resuelto
Un choque de frente que lo pierde todo
Dos carritos de 2 kg se acercan de frente, cada uno a 3 m/s. Chocan y quedan unidos. Tomamos la derecha como positiva. ¿Cuánta energía cinética queda después del choque?
Ver la solución paso a paso
Uno va hacia la derecha y el otro hacia la izquierda. La cantidad de movimiento total:
$$2 \cdot 3 + 2 \cdot \left(-3\right) = \left(2 + 2\right)v$$
Antes suma cero, así que el conjunto queda quieto:
$$v = 0$$
La energía cinética de antes, en cambio, no es cero: se suman las de los dos, sin signo.
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^{2}$$
Son 18 J:
$$18$$
Después, el conjunto está quieto y su energía cinética es cero:
$$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0^{2} = 0$$
Se perdió toda la energía cinética, mientras que la cantidad de movimiento total se conservó: era cero antes y es cero después. Los 18 J terminaron en deformación, calor y sonido.
Respuesta: No queda energía cinética: los 18 J iniciales se transforman en otras formas de energía.
Choque elástico entre masas distintas
En la lección anterior viste que dos cuerpos de igual masa intercambian sus velocidades en un choque elástico. Con masas distintas no hay atajo, pero el método sirve igual. Las incógnitas son las dos velocidades finales; llamémoslas $u$ (la de A) y $w$ (la de B). Hay dos condiciones, y cada una da una ecuación:
- Cantidad de movimiento: la total de antes es igual a la total de después.
- Energía cinética: como el choque es elástico, la total de antes es igual a la total de después.
Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. De la primera se despeja $w$, se reemplaza en la segunda y queda una ecuación cuadrática en $u$. Esa ecuación tiene dos soluciones, y una de ellas siempre es la velocidad que A traía antes: con ella todo sigue igual, como si los carritos no se hubieran tocado. La otra es la del choque.
Ejemplo resuelto
Un carrito liviano contra uno pesado
Un carrito A de 2 kg va a 6 m/s hacia la derecha y choca de frente, en un choque elástico, con un carrito B de 4 kg que está quieto. Tomamos la derecha como positiva y llamamos u a la velocidad final de A y w a la de B. ¿Cómo salen los dos?
Ver la solución paso a paso
Cantidad de movimiento. Antes solo se mueve A:
$$2 \cdot 6 + 4 \cdot 0 = 2u + 4w$$
Despejamos $w$:
$$w = \frac{12 - 2u}{4}$$
Energía cinética. Como el choque es elástico, la de antes es igual a la de después:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2u^{2} + \frac{1}{2} \cdot 4w^{2}$$
Reemplazamos $w$ por lo que dio la cantidad de movimiento. Queda una ecuación solo con $u$:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2u^{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left(\frac{12 - 2u}{4}\right)^{2}$$
Desarrollamos el cuadrado, pasamos todo a un lado y dividimos entre 1,5:
$$u^{2} - 4u - 12 = 0$$
Factorizamos:
$$\left(u - 6\right)\left(u + 2\right) = 0$$
Hay dos soluciones, $u = 6$ y $u = -2$. La primera es la velocidad que A traía: con ella, $w$ daría cero y todo seguiría como antes, que es lo que pasaría si los carritos no se tocaran. La solución del choque es la otra:
$$u = -2$$
A rebota: sale a 2 m/s hacia la izquierda. Con ese valor, la velocidad de B es:
$$w = \frac{12 - 2 \cdot \left(-2\right)}{4}$$
B sale a 4 m/s hacia la derecha:
$$w = 4$$
Comprobamos la cantidad de movimiento, 12 kg·m/s antes y después:
$$2 \cdot 6 + 4 \cdot 0 = 2 \cdot \left(-2\right) + 4 \cdot 4$$
Y la energía cinética, 36 J antes y después:
$$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(-2\right)^{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4^{2}$$
El carrito liviano rebota y el pesado sale hacia adelante, más despacio de lo que llegó el liviano. Con masas distintas no hay intercambio de velocidades.
Respuesta: A sale a 2 m/s hacia la izquierda (u = −2 m/s) y B a 4 m/s hacia la derecha (w = 4 m/s).
Práctica
Un carrito de 2 kg avanza a 3 m/s. ¿Cuál es su energía cinética, en J?
Ec = ½ · 2 · 3² = 9 J.
¿Verdadero o falso? Un carrito de 2 kg a 4 m/s hacia la derecha y otro de 2 kg a 4 m/s hacia la izquierda tienen la misma energía cinética.
La velocidad va al cuadrado, y (−4)² = 4² = 16: los dos tienen 16 J. La energía cinética no depende del sentido.
¿Verdadero o falso? Con la derecha como positiva, un carrito de 2 kg a 4 m/s hacia la derecha y otro de 2 kg a 4 m/s hacia la izquierda tienen la misma cantidad de movimiento.
Uno tiene 8 kg·m/s y el otro −8 kg·m/s. La cantidad de movimiento es un vector: el sentido importa.
¿Verdadero o falso? Un carrito de 2 kg a 5 m/s choca con uno de 3 kg que está quieto, quedan unidos y siguen a 2 m/s. La cantidad de movimiento total de antes es igual a la de después.
Antes: 2 · 5 = 10 kg·m/s. Después: 5 · 2 = 10 kg·m/s. En todo choque de un sistema aislado se conserva.
¿Verdadero o falso? En ese mismo choque (2 kg a 5 m/s contra 3 kg quieto, y después los dos unidos a 2 m/s) también se conserva la energía cinética total.
Antes: ½ · 2 · 5² = 25 J. Después: ½ · 5 · 2² = 10 J. Se pierden 15 J, porque el choque es perfectamente inelástico.
Un carrito de 3 kg a 4 m/s choca con uno de 1 kg que está quieto y quedan unidos. ¿Cuánta energía cinética se pierde, en J?
Juntos siguen a 12/4 = 3 m/s. Antes: ½ · 3 · 4² = 24 J. Después: ½ · 4 · 3² = 18 J. Se pierden 24 − 18 = 6 J.
Un carrito de 1 kg a 6 m/s choca con otro de 1 kg que está quieto y quedan unidos. ¿Qué fracción de la energía cinética inicial se pierde? Escríbela como decimal.
Juntos siguen a 3 m/s. Antes: 18 J; después: ½ · 2 · 3² = 9 J. Se pierden 9 J de 18: la mitad.
Tomamos la derecha como positiva. Un carrito de 2 kg a 3 m/s hacia la derecha choca de frente con uno de 1 kg a 3 m/s hacia la izquierda, y quedan unidos. ¿Cuál es la velocidad del conjunto, en m/s?
2 · 3 + 1 · (−3) = 3 kg·m/s, repartidos en 3 kg: v = 1 m/s hacia la derecha.
En ese mismo choque (2 kg a 3 m/s hacia la derecha contra 1 kg a 3 m/s hacia la izquierda, unidos después a 1 m/s), ¿cuánta energía cinética se pierde, en J?
Antes: 9 J + 4,5 J = 13,5 J (las energías se suman sin signo). Después: ½ · 3 · 1² = 1,5 J. Se pierden 12 J.
Un carrito A de 3 kg a 4 m/s choca de forma elástica con un carrito B de 1 kg que está quieto. Al reemplazar la cantidad de movimiento en la energía, la velocidad final u de A cumple $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4^{2} = \frac{1}{2} \cdot 3u^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left(3 \cdot 4 - 3u\right)^{2}$. ¿Cuál es el conjunto solución de esa ecuación?
La ecuación queda 6u² − 36u + 48 = 0, es decir, u² − 6u + 8 = (u − 2)(u − 4) = 0. La solución u = 4 es la velocidad de antes, sin choque; la del choque es u = 2 m/s.
En ese choque elástico, el carrito A de 3 kg llegó a 4 m/s y sigue a 2 m/s en el mismo sentido. ¿A qué velocidad sale el carrito B de 1 kg, en m/s?
Cantidad de movimiento: 3 · 4 = 3 · 2 + 1 · w, así que w = 6 m/s. Comprueba la energía: 24 J antes; 6 J + 18 J después.
Dos bolas de plastilina chocan y quedan pegadas. ¿Qué pasa con la energía cinética que falta después del choque?
La energía cinética total disminuye, pero la energía total no: la que falta queda como deformación, calor y sonido. La cantidad de movimiento no es una forma de energía.
Reto
¿Qué clase de choque es?
Cada expresión es la energía cinética total antes menos la de después, en joules, de un choque entre dos carritos sin resortes ni motores. Calcúlala y lleva el choque a su canasta.
Reto
Abre el candado de los choques.
Cada respuesta es una cifra del código. Usa la conservación de la cantidad de movimiento y la fórmula de la energía cinética.
Cierre
En resumen
La cantidad de movimiento es un vector y puede sumar cero; la energía cinética es un escalar, nunca es negativa y no se cancela.
En todo choque de un sistema aislado se conserva la cantidad de movimiento total; la energía cinética total solo se conserva en los choques elásticos.
La energía cinética que se pierde en un choque inelástico se transforma en deformación, calor y sonido; la energía total se conserva.
El choque perfectamente inelástico es el que más energía cinética pierde; si la cantidad de movimiento total era cero, la pierde toda.
Un choque elástico entre masas distintas se resuelve con dos ecuaciones, cantidad de movimiento y energía; de las dos soluciones, una describe el estado de antes del choque.
Vocabulario
- Energía cinética
Energía que tiene un cuerpo por moverse, Ec = mv²/2. Es un escalar: nunca es negativa y no depende del sentido del movimiento.
- Energía cinética perdida
Diferencia entre la energía cinética total antes y después de un choque. No desaparece: se transforma en deformación, calor y sonido.
- Sistema no conservativo
Sistema en el que la energía mecánica no se mantiene constante porque una parte se transforma en otras formas de energía.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Deje caer una pelota de caucho y una bola de plastilina desde la misma altura y pregunte cuál conserva más su energía de movimiento y a dónde se fue la de la otra.
- Explicación · 25 min — Contraste vector y escalar con dos carritos que se acercan de frente. Resuelva en el tablero la pérdida de energía de los carritos unidos y el choque de frente. El choque elástico entre masas distintas pide tiempo: haga explícito por qué hay dos soluciones y cuál se descarta.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas; las canastas y el candado se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante completa en una frase: «en todo choque se conserva…, y solo en los elásticos se conserva además…».
Preguntas para el salón
- ¿Puede un sistema tener cantidad de movimiento total cero y energía cinética distinta de cero? Den un ejemplo.
- Si en un choque la energía cinética total aumentara, ¿qué tendría que haber entre los carritos?
- ¿Por qué conviene que la parte delantera de un carro se arrugue en un choque?
Errores típicos
- Darle signo a la energía cinética y restar las de dos cuerpos que van en sentidos contrarios. Recuerde que la velocidad va al cuadrado y pida calcular (−3)² y 3² antes de seguir.
- Creer que en un choque inelástico no se conserva la cantidad de movimiento. Calcule las dos cantidades en el mismo choque, una al lado de la otra: la cantidad de movimiento coincide y la energía cinética no.
- Decir que la energía cinética perdida desaparece. Pida nombrar en qué se transformó en cada caso: abolladura, calentamiento, ruido.
- Quedarse con la solución que repite la velocidad inicial en el choque elástico. Pregunte qué describiría esa solución; si los carritos siguen igual, es que no chocaron.
Tarea sugerida
Inventar un choque en que dos carritos quedan unidos y otro elástico entre masas iguales con las mismas velocidades de antes, calcular en los dos la energía cinética total antes y después y explicar por escrito qué pasó con la diferencia.