El movimiento armónico simple
Lo que vas a aprender
- Identificar en una oscilación la posición de equilibrio, la amplitud, el periodo y la frecuencia.
- Calcular el periodo a partir de la frecuencia y la frecuencia angular a partir de cualquiera de los dos.
- Escribir la posición de un oscilador como x(t) = A cos(ωt) y calcularla en un instante dado.
- Leer en una gráfica posición–tiempo la amplitud, el periodo y los instantes en que el cuerpo pasa por el equilibrio.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un columpio que va y viene, la regla que vibra cuando la sujetas en el borde de la mesa y la golpeas, un carro que sube y baja sobre sus amortiguadores después de pasar un policía acostado, la cuerda de una guitarra: todos estos movimientos se repiten. El cuerpo se aleja de un punto, se devuelve, lo pasa de largo y vuelve a empezar.
Este curso trata de las ondas: el sonido y la luz. Una onda no es otra cosa que muchas oscilaciones encadenadas, una al lado de la otra. Cuando hablemos del tono de una nota o del color de una luz, hablaremos de frecuencias; cuando hablemos de qué tan fuerte suena algo, hablaremos de amplitudes. Esas dos palabras nacen aquí, con el movimiento oscilatorio más sencillo que existe: el movimiento armónico simple.
Antes de empezar necesitas recordar el movimiento circular uniforme (periodo, frecuencia y velocidad angular), el coseno de un ángulo en radianes y la ley de Hooke de los resortes.
Explicación
Equilibrio, amplitud, periodo y frecuencia
Piensa en un bloque sobre una mesa lisa, sujeto a una pared con un resorte. Si nadie lo toca, se queda quieto en un punto: la posición de equilibrio. Allí el resorte no está estirado ni comprimido, y la fuerza neta sobre el bloque es cero. Ese punto se toma como origen, $x = 0$.
Ahora separas el bloque hacia la derecha y lo sueltas. El resorte estirado tira de él hacia la izquierda. El bloque gana velocidad, pasa por el equilibrio sin detenerse, comprime el resorte, se frena, se detiene en el otro lado y se devuelve. Si no hubiera fricción, ese vaivén seguiría para siempre.
Para describir el vaivén se usan cuatro palabras:
- La amplitud $A$ es la mayor separación del equilibrio. El bloque se mueve entre $x = -A$ y $x = A$.
- Una oscilación completa es un viaje de ida y vuelta: de un extremo al otro y de regreso al primero. En ese viaje el bloque recorre cuatro veces la amplitud.
- El periodo $T$ es el tiempo que tarda una oscilación completa, en segundos.
- La frecuencia $f$ es cuántas oscilaciones completas hace en un segundo. Su unidad es el hertz (Hz): un hertz es una oscilación por segundo.
El periodo y la frecuencia dicen lo mismo de dos maneras. Si el bloque tarda medio segundo en cada oscilación, en un segundo hace dos. Por eso uno es el inverso del otro:
$$T = \frac{1}{f} \qquad\qquad f = \frac{1}{T}$$
Para medir el periodo en el laboratorio no se cronometra una sola oscilación, que es muy rápida y deja mucho error: se cuentan varias y se divide el tiempo total entre el número de oscilaciones.
La fuerza que devuelve
¿Qué hace que el movimiento se repita? Una fuerza que siempre apunta hacia el equilibrio y que es más grande cuanto más lejos está el cuerpo. En el resorte es la ley de Hooke, $F = -kx$: si el bloque está a la derecha ($x$ positivo), la fuerza va hacia la izquierda, y al revés. Cuando la fuerza que devuelve es proporcional al desplazamiento, el movimiento se llama movimiento armónico simple (MAS).
De ahí salen dos ideas que conviene tener muy claras:
- En los extremos el bloque se detiene un instante para devolverse: su velocidad es cero. Pero allí el resorte está más estirado o más comprimido que nunca, así que la fuerza y la aceleración son máximas en magnitud, apuntando hacia el equilibrio.
- En el equilibrio pasa lo contrario: la fuerza y la aceleración son cero, y la velocidad es máxima.
Que la velocidad sea cero no quiere decir que la aceleración sea cero. En el extremo el bloque está quieto solo un instante, justamente porque la aceleración lo está devolviendo.
La ecuación del movimiento
Si en $t = 0$ el bloque se suelta desde el extremo derecho, su posición en cada instante es
$$x(t) = A\cos(\omega t)$$
donde $\omega$ es la frecuencia angular:
$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$
¿Por qué un coseno? Imagina un punto que gira en una circunferencia de radio $A$ con velocidad angular $\omega$, y míralo de lado: su sombra sobre el diámetro hace exactamente este vaivén. Por eso la $\omega$ del MAS se mide en rad/s, como en el movimiento circular, y cuando $\omega t$ avanza $2\pi$ radianes el bloque completa una oscilación.
Cuidado con la calculadora: el ángulo $\omega t$ está en radianes, así que hay que ponerla en modo RAD.
Lee la ecuación en los momentos clave de la primera oscilación:
- En $t = 0$, $\cos 0 = 1$ y el bloque está en $x = A$.
- En $t = T/4$ pasa por el equilibrio, $x = 0$, hacia la izquierda.
- En $t = T/2$ llega al otro extremo, $x = -A$.
- En $t = 3T/4$ vuelve a pasar por el equilibrio, ahora hacia la derecha.
- En $t = T$ está otra vez en $x = A$, y todo se repite.
Una propiedad notable del MAS: el periodo no depende de la amplitud. Si separas el bloque el doble, recorre el doble de camino, pero también va más rápido, y tarda lo mismo. El periodo depende del resorte y del bloque, como verás en la próxima lección.
Posición de un bloque que oscila con amplitud 0,1 m y periodo 2 s, soltado desde el extremo derecho en t = 0. Pasa por el equilibrio en 0,5 s y en 1,5 s, llega al otro extremo en 1 s y vuelve al punto de partida en 2 s.
Suelta el bloque y cuenta en la gráfica x–t cuánto tarda una oscilación completa: el bloque de 1 kg en el resorte de 20 N/m tarda 1,40 s. Cambia la amplitud y vuelve a medir: el periodo no cambia.
Ejemplo resuelto
Del conteo al periodo
Un bloque colgado de un resorte hace 20 oscilaciones completas en 16 s. Halla su periodo, su frecuencia y su frecuencia angular.
Ver la solución paso a paso
El periodo es el tiempo de una oscilación: el tiempo total dividido entre el número de oscilaciones.
$$\frac{16}{20}$$
En segundos:
$$0{,}8$$
La frecuencia es el inverso del periodo:
$$\frac{1}{0{,}8}$$
En hertz, es decir, oscilaciones por segundo:
$$1{,}25$$
Lo comprobamos contando al revés: 20 oscilaciones en 16 s son
$$\frac{20}{16} = 1{,}25$$
La frecuencia angular es $\omega = 2\pi f$:
$$2\pi \cdot 1{,}25$$
En rad/s, exacta:
$$2{,}5\pi$$
Con la calculadora, entre 7,85 y 7,86 rad/s:
$$7{,}85 < 2{,}5\pi < 7{,}86$$
Respuesta: T = 0,8 s; f = 1,25 Hz; ω = 2,5π ≈ 7,85 rad/s.
Ejemplo resuelto
Escribir la posición de un bloque
Un bloque sobre una mesa sin fricción, unido a un resorte, se separa 0,1 m del equilibrio y se suelta en t = 0. Oscila con un periodo de 2 s. Escribe su posición x(t) y halla dónde está en t = 0,5 s, en t = 1 s y en t = 2 s.
Ver la solución paso a paso
La amplitud es la separación inicial, $A = 0{,}1$ m. La frecuencia angular es $\omega = 2\pi/T$:
$$\frac{2\pi}{2}$$
En rad/s. Entonces $x(t) = 0{,}1\cos(\pi t)$, en metros. Es la curva de la figura.
$$\pi$$
En $t = 0{,}5$ s:
$$0{,}1\operatorname{cos}\left(\pi \cdot 0{,}5\right)$$
El bloque pasa por el equilibrio: va un cuarto de periodo.
$$0$$
En $t = 1$ s:
$$0{,}1\operatorname{cos}\left(\pi \cdot 1\right)$$
Está en el extremo izquierdo, a medio periodo.
$$-0{,}1$$
En $t = 2$ s:
$$0{,}1\operatorname{cos}\left(\pi \cdot 2\right)$$
Volvió al punto de partida: completó una oscilación.
$$0{,}1$$
Respuesta: x(t) = 0,1 cos(πt), en metros. En 0,5 s está en el equilibrio (x = 0 m), en 1 s en el otro extremo (x = −0,1 m) y en 2 s otra vez en x = 0,1 m.
Ejemplo resuelto
Más rápido cerca del equilibrio
Un bloque oscila según $x(t) = 0{,}2\cos(\pi t)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. ¿Dónde está en $t = 1/3$ s y en $t = 2/3$ s? ¿Recorre la misma distancia en cada tercio de segundo?
Ver la solución paso a paso
En $t = 1/3$ s, con la calculadora en radianes:
$$0{,}2\operatorname{cos}\left(\pi \cdot \frac{1}{3}\right)$$
En metros: está a la mitad de la amplitud, todavía a la derecha.
$$0{,}1$$
En $t = 2/3$ s:
$$0{,}2\operatorname{cos}\left(\pi \cdot \frac{2}{3}\right)$$
En metros: ya pasó el equilibrio y está a la izquierda.
$$-0{,}1$$
En el primer tercio de segundo, del extremo hasta $x = 0{,}1$ m, recorrió:
$$0{,}2 - 0{,}2\operatorname{cos}\left(\pi \cdot \frac{1}{3}\right) = 0{,}1$$
En el segundo tercio, de $x = 0{,}1$ m a $x = -0{,}1$ m, recorrió el doble:
$$0{,}2\operatorname{cos}\left(\pi \cdot \frac{1}{3}\right) - 0{,}2\operatorname{cos}\left(\pi \cdot \frac{2}{3}\right) = 0{,}2$$
En el tercer tercio, de $x = -0{,}1$ m hasta el extremo izquierdo, $x = -0{,}2$ m en $t = 1$ s, vuelve a recorrer:
$$0{,}2\operatorname{cos}\left(\pi \cdot \frac{2}{3}\right) - 0{,}2\operatorname{cos}\left(\pi \cdot 1\right) = 0{,}1$$
Lectura. En tiempos iguales no recorre distancias iguales: 0,1 m, 0,2 m y otra vez 0,1 m. Cerca de los extremos va despacio, y cerca del equilibrio va más rápido. Un MAS no es un movimiento uniforme.
Respuesta: En 1/3 s está en x = 0,1 m y en 2/3 s en x = −0,1 m. Recorre 0,1 m en el primer tercio de segundo, 0,2 m en el segundo y otra vez 0,1 m en el tercero.
Práctica
Un bloque en un resorte oscila con una frecuencia de 4 Hz. ¿Cuál es su periodo, en segundos?
T = 1/f = 1/4 = 0,25 s: cuatro oscilaciones en un segundo, un cuarto de segundo cada una.
Un resorte hace 30 oscilaciones completas en 12 s. ¿Cuál es su periodo, en segundos?
Se divide el tiempo total entre el número de oscilaciones: 12/30 = 0,4 s.
Un bloque oscila con un periodo de 0,5 s. ¿Cuál es su frecuencia, en hertz?
f = 1/T = 1/0,5 = 2 Hz: si cada oscilación dura medio segundo, en un segundo caben dos.
Un resorte oscila con una frecuencia de 2 Hz. ¿Cuál es su frecuencia angular, en rad/s?
ω = 2πf = 2π·2 = 4π rad/s, unos 12,57 rad/s. El 2π no se puede olvidar: cada oscilación son 2π radianes.
Un bloque oscila con un periodo de 0,8 s. ¿Cuál es su frecuencia angular, en rad/s? Escribe el resultado con dos decimales.
ω = 2π/T = 2π/0,8 = 2,5π ≈ 7,85 rad/s.
Un bloque oscila con una amplitud de 0,15 m. ¿Qué distancia recorre, en metros, durante una oscilación completa?
En una oscilación va del extremo al equilibrio (A), del equilibrio al otro extremo (A) y vuelve (2A): en total 4A = 0,6 m. Su desplazamiento, en cambio, es cero.
La posición de un bloque, en metros, es $x =$ $0{,}2\operatorname{cos}\left(\pi t\right)$, con t en segundos. ¿Dónde está, en metros, en t = 1 s?
x(1) = 0,2·cos(π) = 0,2·(−1) = −0,2 m. El periodo es 2 s, así que en 1 s lleva media oscilación y está en el extremo izquierdo.
La posición de un bloque, en metros, es $x =$ $0{,}1\operatorname{cos}\left(\pi t\right)$, con t en segundos. ¿Verdadero o falso? En t = 0,5 s pasa por la posición de equilibrio.
x(0,5) = 0,1·cos(π/2) = 0. Con periodo de 2 s, en 0,5 s lleva un cuarto de oscilación: está en el equilibrio, con la velocidad máxima.
Un resorte oscila con un periodo de 0,25 s. ¿Verdadero o falso? Su frecuencia es de 4 Hz.
f = 1/T = 1/0,25 = 4 Hz.
Un resorte oscila con una frecuencia de 1,5 Hz. ¿Cuántas oscilaciones completas hace en un minuto?
Un minuto son 60 s, y en cada segundo hace 1,5 oscilaciones: 1,5·60 = 90.
Un bloque oscila en un resorte sin fricción. En el instante en que llega a uno de los extremos, ¿cómo son su velocidad y su aceleración?
En el extremo el bloque se detiene un instante para devolverse, pero el resorte está más estirado o comprimido que nunca: la fuerza que lo devuelve, y con ella la aceleración, es máxima en magnitud y apunta hacia el equilibrio.
Reto
Completa los datos del resorte.
Recuerda que T = 1/f y que ω = 2πf.
Reto
¿A qué lado del equilibrio está el bloque?
Cada ficha es la posición x = 0,2·cos(π·t), en metros, en un instante distinto. Con la calculadora en radianes, mira el signo y lleva la ficha a su canasta.
Cierre
En resumen
Un cuerpo oscila alrededor de su posición de equilibrio entre x = −A y x = A, donde A es la amplitud.
El periodo T es el tiempo de una oscilación completa y la frecuencia f el número de oscilaciones por segundo; T = 1/f.
En el movimiento armónico simple, soltado desde el extremo, x(t) = A cos(ωt), con ω = 2πf = 2π/T en rad/s.
En los extremos la velocidad es cero y la aceleración es máxima en magnitud; en el equilibrio la velocidad es máxima y la aceleración es cero.
El periodo de un movimiento armónico simple no depende de la amplitud.
Vocabulario
- Oscilación
Movimiento de ida y vuelta que se repite alrededor de una posición fija. Una oscilación completa es un viaje de ida y vuelta hasta el punto de partida.
- Posición de equilibrio
El punto donde el cuerpo quedaría quieto si nadie lo moviera; en ella la fuerza neta sobre el cuerpo es cero.
- Amplitud
La mayor separación del cuerpo respecto a la posición de equilibrio. Se escribe A y se mide en metros.
- Periodo
El tiempo que tarda una oscilación completa. Se escribe T y se mide en segundos.
- Frecuencia
El número de oscilaciones completas en cada segundo. Se escribe f y se mide en hertz (Hz).
- Frecuencia angular
ω = 2πf; dice cuántos radianes avanza por segundo el ángulo ωt de la función coseno. Se mide en rad/s.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Cuelgue un objeto de un resorte o de una banda elástica, sepárelo y suéltelo. Pida que describan el movimiento con sus palabras y que digan qué podrían medir.
- Explicación · 15 min — Amplitud, periodo y frecuencia con el resorte a la vista; cronometre diez oscilaciones con el grupo. Luego x(t) = A cos(ωt) con la gráfica y los tres ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los dos retos en parejas. Insista en poner la calculadora en radianes antes de las canastas.
- Cierre · 5 min — Pida a cada estudiante que señale en la gráfica un punto de velocidad cero y uno de aceleración cero, y que diga por qué.
Preguntas para el salón
- Si separa el bloque el doble, ¿tarda el doble en cada oscilación? ¿Por qué no?
- ¿Por qué conviene cronometrar diez oscilaciones y no una sola?
- En el extremo el bloque está quieto. ¿Por qué no se queda allí?
Errores típicos
- Creer que en el extremo la aceleración es cero porque la velocidad es cero. Pregunte qué fuerza hace el resorte en ese instante y qué pasaría con el bloque si esa fuerza no existiera.
- Calcular cos(ωt) con la calculadora en grados. Pida que comprueben x en t = T/2: debe dar −A. Si no da, la calculadora está en DEG.
- Olvidar el 2π y tomar ω igual a f. Recuerde la sombra del punto que gira: una vuelta completa son 2π radianes, y en un segundo da f vueltas.
- Pensar que en un periodo el cuerpo recorre una amplitud o dos. Recorra con el dedo la gráfica de 0 a T y cuente los tramos: del extremo al equilibrio, al otro extremo, al equilibrio y de vuelta.
Tarea sugerida
Construir un oscilador con una banda elástica y un objeto pequeño, cronometrar diez oscilaciones y calcular T, f y ω. Escribir x(t) con la amplitud que usaron y calcular dónde estaría el objeto a un tercio del periodo.