Masa–resorte y péndulo

¿Para qué sirve esto?

En la lección anterior describiste una oscilación con su amplitud, su periodo y su frecuencia, pero el periodo te lo daban. Ahora vas a predecirlo: con la masa de un bloque y la dureza de un resorte, o con el largo de la cuerda de un péndulo, sabrás cuánto tarda cada vaivén antes de soltarlo.

Eso tiene usos muy concretos. Los relojes de péndulo se ajustan alargando o acortando el péndulo. Los carros llevan resortes que se escogen para que la carrocería no rebote de manera incómoda. Y cuando lleguemos al sonido, la frecuencia con que vibra una cuerda o una membrana dependerá, igual que aquí, de cuánta masa tiene la parte que vibra y de qué tan fuerte es la fuerza que la devuelve.

Antes de empezar necesitas el periodo y la frecuencia de la lección anterior, la ley de Hooke y la raíz cuadrada.

El sistema masa–resorte

Un bloque de masa $m$ unido a un resorte de constante $k$ hace un movimiento armónico simple, porque la fuerza del resorte, $F = -kx$, es proporcional al desplazamiento y apunta hacia el equilibrio. Su periodo es

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

con $m$ en kilogramos, $k$ en N/m y $T$ en segundos. La fórmula tiene sentido si la lees por partes:

• Más masa, más lento. Un bloque de más masa tiene más inercia: la misma fuerza del resorte lo acelera menos, y tarda más en ir y volver. $m$ está arriba de la fracción.
• Resorte más duro, más rápido. Con un $k$ grande, el resorte tira con más fuerza por cada centímetro que se estira, y el bloque se devuelve antes. $k$ está abajo.
• No depende de la amplitud. Separar más el bloque hace que recorra más camino, pero también que la fuerza sea mayor y vaya más rápido: tarda lo mismo.
• No depende de $g$. En la fórmula no aparece la gravedad. Un resorte colgado del techo oscila con el mismo periodo que uno sobre una mesa lisa: el peso solo corre la posición de equilibrio un poco más abajo. Y en otro planeta, el mismo resorte con el mismo bloque oscilaría igual de rápido.

La raíz manda

La masa no está sola en la fórmula: está dentro de una raíz. Por eso el periodo no es proporcional a la masa, sino a su raíz cuadrada:

• si la masa se multiplica por 4, el periodo se multiplica por $\sqrt{4} = 2$;
• si la masa se duplica, el periodo se multiplica por $\sqrt{2}$, que es un poco más de 1,41;
• si se cambia el resorte por uno cuatro veces más duro, el periodo se divide entre 2.

Este razonamiento es más rápido que hacer de nuevo toda la cuenta, y además sirve para comprobar que una cuenta tiene sentido.

El péndulo simple

Un péndulo simple es una masa pequeña colgada de una cuerda de longitud $L$. Si se separa de la vertical y se suelta, la componente del peso a lo largo del arco lo devuelve hacia abajo. Cuando el ángulo es pequeño, de pocos grados, esa fuerza es casi proporcional al desplazamiento, y el péndulo hace un movimiento armónico simple de periodo

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

con $L$ en metros y $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$. Otra vez, conviene leerla:

• Cuerda más larga, más lento. $L$ está arriba. Un columpio de cadenas largas va y viene más despacio que uno de cadenas cortas.
• Más gravedad, más rápido. $g$ está abajo: con una gravedad mayor, el peso devuelve la masa con más fuerza.
• No depende de la masa. En la fórmula no hay $m$. El peso que devuelve la esfera es proporcional a su masa, pero la inercia que se opone a acelerarla también lo es, y las dos cosas se cancelan, igual que en la caída libre. Una esfera de hierro y una de madera, con la misma cuerda, oscilan con el mismo periodo.
• No depende de la amplitud, si es pequeña. Soltar el péndulo desde un ángulo pequeño o desde otro un poco mayor, también pequeño, da el mismo periodo. Con ángulos grandes la fórmula deja de ser exacta y el periodo crece un poco.

Fíjate en el contraste: en el resorte la masa importa y la gravedad no; en el péndulo la gravedad importa y la masa no. La diferencia está en quién hace la fuerza que devuelve: en el resorte es el resorte, que no sabe cuánto pesa el bloque; en el péndulo es el propio peso de la esfera.

Hallar la longitud

La fórmula también se usa al revés. Si quieres un péndulo con un periodo dado, despejas $L$: elevas al cuadrado los dos lados y queda

$$L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$$

Del mismo modo, en un resorte se puede hallar la constante $k$ a partir del periodo medido y de la masa: $k = 4\pi^2 m / T^2$.

En resumen

• Un sistema masa–resorte oscila con periodo T = 2π√(m/k): más masa lo hace más lento y un resorte más duro, más rápido.

• Un péndulo simple de oscilaciones pequeñas oscila con periodo T = 2π√(L/g): una cuerda más larga lo hace más lento y una gravedad mayor, más rápido.

• El periodo del péndulo no depende de la masa ni, para ángulos pequeños, de la amplitud; el del resorte no depende de g ni de la amplitud.

• Los periodos crecen con la raíz cuadrada; duplicar la masa del resorte o la longitud del péndulo multiplica el periodo por √2, y cuadruplicarlas lo duplica.

• Despejando se halla lo que falta: L = g(T/2π)² o k = 4π²m/T².

Vocabulario

Constante del resorte

La fuerza que hace el resorte por cada metro que se estira o se comprime. Se escribe k y se mide en N/m; un resorte más duro tiene k mayor.

Péndulo simple

Una masa pequeña colgada de una cuerda liviana que no se estira, que oscila de un lado a otro alrededor de la vertical.

Oscilaciones pequeñas

Oscilaciones en las que la cuerda del péndulo se separa solo unos pocos grados de la vertical; para ellas vale T = 2π√(L/g).

Proporcional a la raíz

Una magnitud es proporcional a la raíz de otra cuando, si la segunda se multiplica por un número, la primera queda multiplicada por la raíz de ese número.