La energía en el movimiento armónico

¿Para qué sirve esto?

Cuando estiras un resorte y lo sueltas, le das energía. Esa energía no desaparece mientras el bloque oscila: va pasando del resorte al bloque y del bloque al resorte, una y otra vez. Si sabes cuánta energía hay, puedes calcular qué tan rápido pasa el bloque por cualquier punto sin conocer el tiempo.

La idea va más allá del resorte. Una onda es una cadena de osciladores que se pasan energía unos a otros. Cuando estudies la intensidad del sonido, verás que una onda de mayor amplitud lleva más energía y por eso suena más fuerte. La relación entre amplitud y energía que vas a encontrar aquí es la misma.

Antes de empezar necesitas la energía cinética, la energía potencial elástica de un resorte y la conservación de la energía mecánica, del curso de 10.º, y el movimiento armónico simple de las dos lecciones anteriores.

Dos energías que se pasan la una a la otra

Piensa otra vez en un bloque de masa $m$ sobre una mesa sin fricción, unido a un resorte de constante $k$, que oscila con amplitud $A$. En cada instante tiene dos clases de energía:

• cinética, por moverse con rapidez $v$: $\;E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$;
• potencial elástica, guardada en el resorte estirado o comprimido una distancia $x$: $\;E_p = \tfrac{1}{2}kx^2$.

Como no hay fricción, ninguna fuerza saca energía del sistema, y la suma de las dos se conserva:

$$E = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2 = \text{constante}$$

Lo que cambia es el reparto. Recorre una oscilación:

• En un extremo, $x = A$, el bloque se detiene un instante: la cinética es cero y toda la energía está en el resorte.
• Mientras va hacia el equilibrio, el resorte se afloja y la potencial baja; esa energía se vuelve cinética y el bloque acelera.
• En el equilibrio, $x = 0$, el resorte no guarda nada: toda la energía es cinética y la rapidez es la más alta de todo el recorrido.
• Después el bloque comprime el resorte, la cinética vuelve a ser potencial y el bloque se frena hasta detenerse en el otro extremo.

La energía total

Como la energía es la misma en todo el recorrido, se puede calcular donde sea más fácil. En el extremo solo hay potencial, con $x = A$:

$$E = \tfrac{1}{2}kA^2$$

Fíjate en el cuadrado. Si el mismo resorte oscila con el doble de amplitud, su energía se multiplica por cuatro. La energía de un oscilador crece con el cuadrado de la amplitud, y lo mismo pasa con la energía que lleva una onda.

La rapidez máxima

En el equilibrio toda esa energía es cinética:

$$\tfrac{1}{2}mv_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2 \qquad\Longrightarrow\qquad v_{\max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$$

La raíz $\sqrt{k/m}$ es la frecuencia angular $\omega$ del oscilador, la misma que está escondida en $T = 2\pi\sqrt{m/k}$. Así que también se puede escribir $v_{\max} = A\omega$. Con el doble de amplitud, la rapidez máxima se duplica: el bloque recorre el doble de camino en el mismo periodo.

Recuerda la otra cara de la moneda: donde la rapidez es máxima, en el equilibrio, la aceleración es cero; en los extremos, donde la rapidez es cero, la aceleración es máxima.

La rapidez en cualquier punto

Para un punto intermedio, a una distancia $x$ del equilibrio, se reparte la energía. La potencial en ese punto es $\tfrac{1}{2}kx^2$, y la cinética es lo que falta para completar la total:

$$\tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2}kA^2 - \tfrac{1}{2}kx^2$$

De ahí se despeja $v$. El signo de $x$ no importa, porque está al cuadrado: a la misma distancia del equilibrio, a la derecha o a la izquierda, el bloque va igual de rápido.

Una trampa frecuente: a la mitad de la amplitud no hay mitad y mitad de energía. Como la potencial va con $x^2$, a la mitad de la amplitud el resorte guarda solo la cuarta parte de la energía total, y las otras tres cuartas partes son cinética.

Y en el péndulo

En un péndulo pasa lo mismo, pero la energía potencial es gravitatoria, $mgh$: en los extremos la esfera está más alta y quieta, y en el punto más bajo va más rápido. Es el mismo intercambio que estudiaste en 10.º con la conservación de la energía.

En resumen

• En un oscilador sin fricción la energía mecánica, cinética más potencial, se conserva; lo que cambia es el reparto.

• En los extremos toda la energía es potencial y la rapidez es cero; en el equilibrio toda es cinética y la rapidez es máxima.

• La energía total de un oscilador masa–resorte es E = kA²/2: crece con el cuadrado de la amplitud.

• La rapidez máxima es v máx = A√(k/m) = Aω; en cualquier punto, mv²/2 = kA²/2 − kx²/2.

• A la mitad de la amplitud, solo la cuarta parte de la energía es potencial.

Vocabulario

Energía cinética

La energía de un cuerpo por estar en movimiento, mv²/2. Es cero cuando el cuerpo está quieto.

Energía potencial elástica

La energía que guarda un resorte estirado o comprimido una distancia x, kx²/2. Es cero en la posición de equilibrio.

Energía mecánica

La suma de la energía cinética y la potencial. En un oscilador sin fricción se conserva.

Rapidez máxima

La mayor rapidez del oscilador; la alcanza al pasar por la posición de equilibrio.