Amortiguamiento y resonancia

¿Para qué sirve esto?

En las lecciones anteriores los resortes y los péndulos oscilaban para siempre, porque no había fricción. En el mundo real no es así: un columpio que nadie empuja va perdiendo altura hasta quedarse quieto. Y al revés, si alguien lo empuja en el momento justo, con empujones pequeños logra que suba cada vez más.

Esas dos ideas, el amortiguamiento y la resonancia, explican muchas cosas: por qué los carros llevan amortiguadores, por qué una cuerda de guitarra puede empezar a sonar sola cuando otra cuerda afinada igual vibra cerca, cómo se sintoniza una emisora de radio y por qué los ingenieros se preocupan por las vibraciones de los puentes y los edificios. En la próxima unidad, las ondas, volverás a ver que un sistema responde con fuerza a la frecuencia que le es propia.

Antes de empezar necesitas los periodos del resorte y del péndulo, la relación entre energía y amplitud, y las potencias de un decimal, como $0{,}8^3$.

Las oscilaciones se apagan

Un oscilador real siempre tiene algo que lo frena: el roce con la mesa, la resistencia del aire, la fricción en el punto de donde cuelga un péndulo. Esas fuerzas hacen trabajo negativo sobre el cuerpo y convierten parte de su energía mecánica en calor. Como la energía de un oscilador es $\tfrac{1}{2}kA^2$, al perder energía pierde amplitud: cada vaivén es un poco más corto que el anterior. Esa es una oscilación amortiguada.

Cuando el amortiguamiento es débil, el cuerpo sigue oscilando casi con el mismo periodo que tendría sin fricción: lo que cambia, sobre todo, es la amplitud. Un modelo sencillo, que describe bien muchos casos, es que en cada oscilación la amplitud queda multiplicada por el mismo número $r$, menor que 1. Si la amplitud inicial es $A_0$, después de $n$ oscilaciones es

$$A_n = A_0\, r^n$$

Las amplitudes forman una progresión geométrica. Y como la energía va con el cuadrado de la amplitud, en cada oscilación la energía queda multiplicada por $r^2$, que es todavía menor que $r$: la energía se pierde más rápido que la amplitud.

Si el amortiguamiento es muy fuerte, el cuerpo ni siquiera alcanza a oscilar: vuelve despacio al equilibrio y se queda allí. En los amortiguadores de un carro se busca un punto intermedio: un amortiguamiento suficiente para que la carrocería vuelva al equilibrio casi sin rebotar después de un hueco, pero sin quedarse hundida mucho tiempo.

La frecuencia natural

Cada oscilador tiene una frecuencia propia, la que toma cuando lo separas del equilibrio y lo dejas solo: su frecuencia natural, $f_0$. Ya sabes calcularla, porque es el inverso del periodo:

$$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \;\;\text{(resorte)} \qquad\qquad f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}} \;\;\text{(péndulo)}$$

La frecuencia natural no depende de cómo se puso a oscilar el sistema ni de la amplitud. Depende de su masa y su resorte, o de su longitud y la gravedad.

Oscilaciones forzadas

Ahora imagina que una fuerza externa empuja el sistema una y otra vez, con una frecuencia $f$ que no tiene por qué ser la natural: una mano que sacude el extremo de un resorte, un motor que hace vibrar una mesa. Al cabo de un rato el sistema oscila al ritmo de la fuerza externa, con la frecuencia $f$. Es una oscilación forzada.

¿Con qué amplitud? Depende de qué tan cerca esté $f$ de la frecuencia natural $f_0$. Si la fuerza empuja mucho más rápido o mucho más despacio que $f_0$, muchas veces empuja cuando el cuerpo viene en sentido contrario, y le quita la energía que le había dado: la amplitud se queda pequeña.

La resonancia

Cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural, cada empujón llega en el mismo punto del vaivén y en el sentido del movimiento. Todos suman energía, y la amplitud crece y crece. Solo la detiene el amortiguamiento: la amplitud deja de crecer cuando la energía que pierde el sistema en cada oscilación es igual a la que le da la fuerza. Ese gran aumento de la amplitud es la resonancia.

El columpio es el ejemplo más claro. Si lo empujas justo cuando llega a tu lado y empieza a alejarse, una vez en cada vaivén, cada empujón suma. Si lo empujas a un ritmo distinto, a veces lo empujas cuando viene hacia ti y lo frenas. No importa que los empujones sean suaves: lo que importa es que lleguen a tiempo. También funciona empujar una vez cada dos vaivenes, porque el empujón sigue llegando en el momento justo, aunque así la amplitud crece más despacio.

La resonancia puede ser útil o peligrosa. Es útil cuando se quiere una respuesta grande a una frecuencia precisa, como al sintonizar una emisora. Es peligrosa cuando una estructura recibe empujones periódicos con su frecuencia natural: por eso, al diseñar puentes, edificios o máquinas, se calcula su frecuencia natural y se procura que quede lejos de las vibraciones que van a recibir, y se les agrega amortiguamiento.

En resumen

• En una oscilación amortiguada la fricción convierte energía mecánica en calor, y la amplitud disminuye; con amortiguamiento débil el periodo casi no cambia.

• Si cada oscilación multiplica la amplitud por r, después de n oscilaciones A = A₀rⁿ, y la energía se multiplica por r² en cada una.

• La frecuencia natural es la de un sistema que oscila solo: f₀ = (1/2π)√(k/m) en un resorte y f₀ = (1/2π)√(g/L) en un péndulo.

• Una fuerza externa periódica produce una oscilación forzada, con la frecuencia de la fuerza.

• Hay resonancia cuando la frecuencia externa coincide con la natural; entonces la amplitud crece mucho, limitada solo por el amortiguamiento.

Vocabulario

Oscilación amortiguada

Oscilación cuya amplitud disminuye con el tiempo porque la fricción o el aire le quitan energía.

Frecuencia natural

La frecuencia con la que oscila un sistema cuando se separa del equilibrio y se deja solo.

Oscilación forzada

Oscilación que se mantiene porque una fuerza externa empuja al sistema una y otra vez, con la frecuencia de esa fuerza, que no tiene por qué ser la natural del sistema.

Resonancia

El gran aumento de la amplitud de una oscilación forzada cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural del sistema.