Interferencia, difracción y ondas estacionarias
Lo que vas a aprender
- Aplicar el principio de superposición para hallar el desplazamiento cuando dos ondas se encuentran.
- Distinguir la interferencia constructiva de la destructiva, también a partir de la diferencia de caminos.
- Explicar cuándo se nota la difracción de una onda que pasa por una rendija.
- Calcular la longitud de onda de los armónicos de una cuerda fija con λₙ = 2L/n y ubicar sus nodos y antinodos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Unos audífonos con cancelación de ruido «borran» el ruido del bus produciendo otro sonido que lo contrarresta. Una pompa de jabón se ve de colores aunque el jabón sea transparente. Oyes a alguien que habla al otro lado de una puerta abierta aunque no lo puedas ver. Y una cuerda de guitarra suena siempre con las mismas notas, según dónde la pises.
Las cuatro cosas tienen la misma raíz: qué pasa cuando las ondas se encuentran, entre ellas o con los bordes de un obstáculo. Es lo que más distingue a las ondas de las partículas: dos pelotas que chocan rebotan, pero dos ondas que se cruzan se suman y siguen su camino.
Antes de empezar necesitas recordar qué son la amplitud y la longitud de onda, que $v = \lambda f$ y que una onda se refleja al llegar al extremo fijo de una cuerda.
Explicación
El principio de superposición
Manda un pulso desde cada extremo de una cuerda. Los dos pulsos viajan uno hacia el otro, se encuentran a la mitad y, por un instante, la cuerda toma una forma nueva. Después, cada pulso sigue su camino como si nada hubiera pasado, con su forma y su tamaño de antes.
Lo que pasa en el encuentro lo dice el principio de superposición: en cada punto, el desplazamiento del medio es la suma de los desplazamientos que produciría cada onda por separado. Hay que sumar con signo: lo que está por encima del equilibrio cuenta como positivo y lo que está por debajo, como negativo.
Interferencia constructiva y destructiva
Al resultado de la superposición se le llama interferencia.
- Si se juntan cresta con cresta (o valle con valle), los desplazamientos se suman y la onda crece: es interferencia constructiva. Se dice que las ondas llegan en fase.
- Si se junta una cresta con un valle, los desplazamientos se restan y la onda se achica: es interferencia destructiva. Si las dos amplitudes son iguales, en ese punto el medio queda quieto. Se dice que las ondas llegan en oposición de fase.
Ojo: en la interferencia destructiva la energía no se destruye. Donde las ondas se anulan hay menos energía, pero en otros puntos se refuerzan y hay más: la energía se reparte de otra manera.
La diferencia de caminos
Piensa en dos parlantes que vibran al mismo ritmo y en fase, y en una persona que está a cierta distancia de cada uno. Las dos ondas salen juntas, pero recorren caminos distintos. Lo que decide qué oye la persona es la diferencia de caminos $\Delta d$, medida en longitudes de onda:
- si $\Delta d$ es un número entero de longitudes de onda ($0$, $\lambda$, $2\lambda$…), las ondas llegan en fase y la interferencia es constructiva: el sonido se oye fuerte;
- si $\Delta d$ es un número entero y medio de longitudes de onda (media, una y media, dos y media…), llegan en oposición y la interferencia es destructiva: el sonido se oye débil.
Por eso, si caminas despacio frente a dos parlantes que dan una misma nota, oyes zonas donde el sonido sube y zonas donde baja. Los colores de una pompa de jabón son el mismo fenómeno con luz: la luz que se refleja en la cara de afuera y la que se refleja en la de adentro interfieren, y cada color se refuerza en un grosor distinto.
La difracción
Cuando una onda pasa por una abertura o junto al borde de un obstáculo, no sigue derecho como una sombra perfecta: se abre y rodea el borde. Eso es la difracción. El principio de Huygens la explica: cada punto de la abertura actúa como una fuente de ondas pequeñas que se esparcen hacia todos lados, también hacia los lados de la abertura.
La difracción se nota mucho cuando la abertura es parecida o menor que la longitud de onda, y casi no se nota cuando la abertura es mucho más grande. El sonido tiene longitudes de onda de centímetros a metros, parecidas al ancho de una puerta, y por eso dobla la esquina y lo oyes desde el pasillo. La luz tiene una longitud de onda muchísimo más corta, así que por la puerta pasa casi derecha y no ves lo que está detrás de la pared.
Ondas estacionarias en una cuerda
Amarra una cuerda por los dos extremos y hazla vibrar. Las ondas viajan hasta un extremo, se reflejan, vuelven y se superponen con las que siguen llegando. Para ciertas frecuencias aparece un patrón que no avanza: la cuerda se divide en «husos» que suben y bajan en su sitio. Es una onda estacionaria.
En ella hay puntos que nunca se mueven, los nodos, y puntos que oscilan con la mayor amplitud, los antinodos, justo a la mitad entre dos nodos. Entre dos nodos seguidos hay media longitud de onda.
Como los extremos amarrados no se pueden mover, los dos extremos son nodos. Entonces en la cuerda de largo $L$ tiene que caber un número entero $n$ de medias longitudes de onda: $L = n \cdot \lambda/2$. Despejando,
$$\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$
Cada valor de $n$ es un armónico: con $n = 1$ hay un solo huso y la onda más larga, el fundamental; con $n = 2$, dos husos; y así. El armónico $n$ tiene $n$ husos y $n + 1$ nodos, contando los extremos. Con $v = \lambda f$ se halla la frecuencia de cada armónico, y eso es lo que estudiarás con los instrumentos musicales en la unidad del sonido.
Interferencia constructiva. Dos ondas en fase, de amplitudes 1 y 0,5, se suman en una de amplitud 1,5.
Ejemplo resuelto
Dos pulsos que se encuentran
Por una cuerda viajan, uno hacia el otro, un pulso de 3 cm de alto y otro de 2 cm. ¿Qué altura tiene la cuerda en el punto donde coinciden sus crestas? ¿Y si el segundo pulso fuera hacia abajo?
Ver la solución paso a paso
Si los dos pulsos van hacia arriba, los desplazamientos se suman:
$$3 + 2$$
Interferencia constructiva, de $5$ cm:
$$5$$
Si el segundo va hacia abajo, su desplazamiento cuenta como negativo:
$$3 + \left(-2\right)$$
Interferencia destructiva: queda $1$ cm hacia arriba.
$$1$$
En los dos casos, cuando los pulsos se separan, cada uno sigue con su altura de antes: $3$ cm y $2$ cm.
Respuesta: 5 cm si los dos van hacia arriba; 1 cm hacia arriba si el segundo va hacia abajo.
Ejemplo resuelto
Dos parlantes y un oyente
Dos parlantes en fase dan una nota de 680 Hz, y el sonido viaja a 340 m/s. Una persona está a 3 m de un parlante y a 4,25 m del otro. ¿Oye interferencia constructiva o destructiva?
Ver la solución paso a paso
Primero la longitud de onda, $\lambda = v/f$:
$$\frac{340}{680}$$
Medio metro:
$$0{,}5$$
La diferencia de caminos es:
$$4{,}25 - 3$$
Es decir:
$$1{,}25$$
¿Cuántas longitudes de onda son? Dividimos:
$$\frac{1{,}25}{0{,}5}$$
Son dos longitudes de onda y media:
$$2{,}5$$
Es un número entero y medio de longitudes de onda, dos más media; no basta con que no sea entero, tiene que sobrar justo media longitud de onda. Así, las ondas llegan en oposición de fase:
$$\frac{1{,}25}{0{,}5} = 2 + \frac{1}{2}$$
La interferencia es destructiva: en ese punto la nota se oye débil.
Respuesta: Destructiva: la diferencia de caminos es 1,25 m, que son 2,5 longitudes de onda.
Dos fuentes en fase. En la línea del centro las crestas de las dos llegan juntas y se suman: interferencia constructiva. En las líneas quietas llega una cresta con un valle y se anulan. Sube la frecuencia y mira cómo se juntan esas líneas.
Tercer armónico en una cuerda de 3 m (las dos curvas son los extremos de la oscilación). Hay nodos en los extremos y en x = 1 m y x = 2 m; los antinodos, como el de x = 0,5 m, oscilan con 2 cm de amplitud.
Ejemplo resuelto
El tercer armónico de la figura
La cuerda de la figura mide 3 m, tiene los dos extremos fijos y vibra en su tercer armónico (n = 3). En ella las ondas viajan a 12 m/s. Halla la longitud de onda, la distancia entre nodos y la frecuencia.
Ver la solución paso a paso
Usamos $\lambda_n = 2L/n$:
$$\frac{2 \cdot 3}{3}$$
Son $2$ m:
$$2$$
La expresión de la curva da lo mismo: $y = 2\operatorname{sen}(\pi x)$ se repite cada vez que $\pi x$ avanza $2\pi$, es decir, cada $2\pi \div \pi$ metros, que son 2 m:
$$\frac{2\pi}{\pi} = 2$$
Entre dos nodos seguidos hay media longitud de onda:
$$\frac{2}{2}$$
Un metro, que es justo lo que se ve en la figura: nodos en $0$, $1$, $2$ y $3$ m.
$$1$$
La frecuencia sale de $v = \lambda f$, es decir, $f = v/\lambda$:
$$\frac{12}{2}$$
Es decir:
$$6$$
Respuesta: λ = 2 m, 1 m entre nodos y f = 6 Hz.
El tercer armónico de la figura: 4 nodos, contando los extremos, y 3 antinodos. Baja la frecuencia hasta la fundamental: quedan solo los 2 nodos de los extremos y 1 antinodo en el centro.
Práctica
En una cuerda se encuentran dos crestas, una de 4 cm y otra de 1,5 cm. ¿Cuál es el desplazamiento de la cuerda en ese punto, en cm?
Cresta con cresta es interferencia constructiva: 4 + 1,5 = 5,5 cm.
Una cresta de 4 cm se encuentra con un valle de 4 cm. ¿Cuál es el desplazamiento de la cuerda en ese punto, en cm?
Cresta con valle de igual tamaño: interferencia destructiva total, 4 − 4 = 0. Un instante después, cada pulso sigue con sus 4 cm.
Una cresta de 3 cm se encuentra con un valle de 5 cm. ¿Cuántos centímetros queda la cuerda por debajo del equilibrio en ese punto?
Con signos, 3 + (−5) = −2: la cuerda queda 2 cm por debajo del equilibrio.
Dos parlantes en fase producen la misma nota con longitud de onda de 0,5 m. Un oyente está 1,5 m más lejos de un parlante que del otro. ¿A cuántas longitudes de onda equivale esa diferencia de caminos?
1,5/0,5 = 3, un número entero de longitudes de onda: las ondas llegan en fase y la interferencia es constructiva.
¿Verdadero o falso? Con una longitud de onda de 0,4 m, una diferencia de caminos de 1 m produce interferencia constructiva.
1/0,4 = 2,5: dos longitudes de onda y media. Las ondas llegan en oposición de fase y la interferencia es destructiva.
Una cuerda de 0,8 m con los extremos fijos vibra en su armónico fundamental (n = 1). ¿Cuál es la longitud de onda, en metros?
λ₁ = 2L/1 = 2 · 0,8 = 1,6 m: en la cuerda cabe media longitud de onda, un solo huso.
Una cuerda de 2 m con los extremos fijos vibra en su cuarto armónico (n = 4). ¿Cuál es la longitud de onda, en metros?
λ₄ = 2L/4 = 4/4 = 1 m. Caben cuatro husos de medio metro cada uno.
Una cuerda con los extremos fijos vibra con n = 4. ¿Cuántos nodos tiene, contando los dos extremos?
El armónico n tiene n husos y n + 1 nodos: 4 + 1 = 5.
Una cuerda de 1,2 m con los extremos fijos vibra con n = 3. ¿Cuál es la distancia entre dos nodos seguidos, en metros?
λ₃ = 2 · 1,2/3 = 0,8 m, y entre nodos hay media longitud de onda: 0,4 m. También sale de repartir 1,2 m en tres husos.
En una cuerda de 0,5 m con los extremos fijos las ondas viajan a 100 m/s. ¿Cuál es la frecuencia de su segundo armónico (n = 2), en Hz?
λ₂ = 2 · 0,5/2 = 0,5 m y f = v/λ = 100/0,5 = 200 Hz.
Desde el pasillo oyes a un profesor que habla dentro de un salón con la puerta abierta, pero no lo ves. ¿Cuál es la mejor explicación?
La difracción se nota cuando la abertura es parecida a la longitud de onda o menor. Con la luz, la puerta es enorme comparada con su longitud de onda. Además, la luz es muchísimo más rápida que el sonido, no al revés.
Dos pulsos iguales, uno hacia arriba y otro hacia abajo, se cruzan en una cuerda y por un instante la cuerda queda plana. ¿Qué pasa después?
En la superposición las ondas se suman solo mientras coinciden; después cada una sigue igual. La energía no se perdió: en ese instante la cuerda está plana pero se está moviendo.
Reto
¿Cuál interferencia es distinta?
Cada número es una diferencia de caminos medida en longitudes de onda. Un número entero da interferencia constructiva y uno entero y medio, destructiva. Toca la que no es como las demás.
Reto
Abre el candado de las ondas estacionarias.
Cada pista da un dígito de la clave. Usa λₙ = 2L/n y la superposición.
Cierre
En resumen
Cuando dos ondas pasan por el mismo punto, sus desplazamientos se suman con signo; después cada una sigue igual.
Cresta con cresta da interferencia constructiva; cresta con valle, destructiva. La energía no se destruye, se reparte.
Con una diferencia de caminos de un número entero de longitudes de onda la interferencia es constructiva; con un número entero y medio, destructiva.
La difracción, el abrirse de una onda al pasar por una abertura, se nota cuando la abertura es parecida a la longitud de onda o menor.
En una cuerda fija por los dos extremos, las ondas estacionarias tienen λₙ = 2L/n, n + 1 nodos y media longitud de onda entre nodos.
Vocabulario
- Superposición
Cuando dos ondas pasan por el mismo punto, el desplazamiento del medio es la suma de los desplazamientos que produciría cada una.
- Interferencia constructiva
Superposición en la que las ondas se refuerzan: cresta con cresta o valle con valle.
- Interferencia destructiva
Superposición en la que las ondas se debilitan o se anulan: cresta con valle.
- Difracción
Propiedad de una onda de rodear obstáculos y abrirse al pasar por una abertura.
- Onda estacionaria
Patrón de oscilación que no avanza, formado por dos ondas iguales que viajan en sentidos opuestos.
- Nodo
Punto de una onda estacionaria que no se mueve nunca.
- Antinodo
Punto de una onda estacionaria que oscila con la mayor amplitud.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Con un resorte largo sobre el piso, mande un pulso desde cada extremo y pida que observen qué pasa cuando se cruzan.
- Explicación · 20 min — Superposición con pulsos dibujados en el tablero; interferencia y diferencia de caminos con dos parlantes que den la misma nota (un solo celular o computador con dos parlantes conectados en estéreo, con el mismo tono en los dos canales; dos celulares no sirven, porque no quedan en fase ni exactamente a la misma frecuencia y el patrón se corre); ondas estacionarias agitando una cuerda amarrada.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el intruso y el candado en parejas.
- Cierre · 5 min — Pida que cada estudiante dibuje el segundo armónico de una cuerda y marque sus nodos y antinodos.
Preguntas para el salón
- Si dos ondas se anulan en un punto, ¿a dónde se fue su energía?
- ¿Por qué oímos detrás de una esquina pero no vemos detrás de ella?
- ¿Por qué los extremos de una cuerda de guitarra son siempre nodos?
Errores típicos
- Creer que dos pulsos que se anulan desaparecen para siempre. Repita el experimento del resorte y pida que sigan cada pulso después del cruce.
- Pensar que la interferencia destructiva destruye energía. Camine frente a dos parlantes y muestre que hay zonas más fuertes además de las débiles.
- Contar como longitud de onda la distancia entre dos nodos seguidos. Dibuje un armónico y marque que una longitud de onda completa ocupa dos husos.
Tarea sugerida
Amarrar una cuerda o un elástico largo entre dos puntos, agitarlo hasta lograr uno, dos y tres husos, medir el largo L y comprobar que la distancia entre nodos es L/n.