El efecto Doppler
Lo que vas a aprender
- Explicar con los frentes de onda por qué cambia la frecuencia percibida cuando la fuente o el oyente se mueven, mientras la frecuencia emitida sigue igual.
- Elegir los signos de la fórmula f' = f(v ± v_o)/(v ∓ v_f) según si la fuente y el oyente se acercan o se alejan.
- Calcular la frecuencia percibida en situaciones inventadas de sirenas, alarmas y vehículos.
- Despejar la rapidez de una fuente a partir de la frecuencia emitida y la percibida.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Seguramente lo has oído: una ambulancia viene por la avenida con la sirena encendida, y justo cuando pasa frente a ti el sonido cambia de golpe y se vuelve más grave. La sirena no cambió. El conductor oye el mismo sonido todo el tiempo. Lo que cambió fue la manera en que las ondas te llegan a ti.
Ese cambio se llama efecto Doppler, y no es solo una curiosidad de la calle. Como el cambio de frecuencia depende de la rapidez, sirve para medir velocidades sin tocar lo que se mueve. Con la misma idea, pero con otras ondas, funcionan algunos radares de velocidad y algunos equipos médicos que miden cómo fluye la sangre.
Antes de empezar repasa que el tono depende de la frecuencia, la relación $v = \lambda f$ y cómo se despeja una incógnita que está en el denominador de una fracción.
Explicación
Una fuente quieta
Piensa en una sirena quieta que emite un sonido de frecuencia $f$. Cada vez que vibra, sale una compresión que se aleja en todas las direcciones a la velocidad del sonido. Si dibujas las compresiones como círculos, obtienes círculos con el mismo centro, separados siempre por la misma distancia: la longitud de onda $\lambda$. Un oyente quieto, esté donde esté, recibe las compresiones al mismo ritmo con que salen, y oye la frecuencia $f$.
Una fuente que se mueve
Ahora la sirena avanza hacia la derecha. Cada compresión sale desde un punto un poco más adelante que la anterior. Por eso, delante de la sirena las compresiones quedan más apretadas, y detrás, más separadas. La sirena sigue vibrando exactamente igual: lo que cambia es la distancia entre compresiones en cada lado.
Cada círculo es una compresión que salió cuando la sirena estaba en su centro. Como la sirena avanza hacia la derecha, adelante las compresiones llegan apretadas (más agudo) y atrás llegan separadas (más grave).
Si estás delante, las compresiones te llegan más seguido: la frecuencia que percibes es mayor que la emitida, y oyes un sonido más agudo. Si estás detrás, te llegan más espaciadas: percibes una frecuencia menor y oyes un sonido más grave. Por eso la sirena cambia de tono justo cuando pasa: pasas de estar delante a estar detrás.
Fíjate en la idea central: la fuente no cambia su frecuencia. Cambia la frecuencia percibida, la que llega a tu oído.
Un oyente que se mueve
El efecto también aparece si la sirena está quieta y el que se mueve eres tú. Si vas en bicicleta hacia una alarma, te encuentras con las compresiones antes de que lleguen solas, y te cruzas con más compresiones cada segundo. Si te alejas, las compresiones tienen que alcanzarte, y te llegan menos cada segundo.
La fórmula y sus signos
Si el aire está quieto, $v$ es la velocidad del sonido en el aire (en este curso, unos 340 m/s), $v_o$ la rapidez del oyente y $v_f$ la rapidez de la fuente (la $o$ es de «oyente», no un cero, y la $f$ de «fuente»), la frecuencia percibida es
$$f' = f \cdot \frac{v \pm v_o}{v \mp v_f}$$
Las rapideces $v_o$ y $v_f$ se escriben siempre como números positivos, y el sentido del movimiento se pone en los signos:
- Arriba, el oyente: $+v_o$ si el oyente se mueve hacia la fuente y $-v_o$ si se aleja de ella.
- Abajo, la fuente: $-v_f$ si la fuente se mueve hacia el oyente y $+v_f$ si se aleja de él.
- Si alguno está quieto, su rapidez es cero y su término desaparece.
No hace falta memorizar la tabla de signos. Basta una regla: acercarse sube la frecuencia y alejarse la baja. Un signo más arriba agranda la fracción, y un signo menos abajo también. Si tu resultado contradice la regla, revisa los signos.
En la práctica, conviene resolver cada problema en tres pasos:
- Decide quién se mueve y si se acerca o se aleja del otro. El oyente va arriba y la fuente abajo; nunca al revés.
- Predice si la frecuencia percibida tiene que subir o bajar, antes de hacer cuentas.
- Calcula y compara con tu predicción. Si esperabas que subiera y te bajó, hay un signo cambiado.
Si se mueven los dos, cada uno pone su signo en su lugar, sin mirar al otro.
Dos cuidados más. Primero, la fórmula vale cuando la fuente va más despacio que el sonido; si la igualara, el denominador sería cero. Segundo, el efecto depende del movimiento de acercamiento o alejamiento: lo que importa es la rapidez en la línea que une a la fuente con el oyente.
Frecuencia percibida de una sirena inventada de 720 Hz según la rapidez de la ambulancia, con el oyente quieto. Si se acerca a 20 m/s se oyen 765 Hz; si se aleja a 20 m/s, 680 Hz.
Escucha la sirena de 720 Hz mientras la ambulancia pasa a 20 m/s: suena más aguda cuando se acerca (765 Hz) y más grave cuando se aleja (680 Hz). Sube la velocidad y mira cómo se aprietan los frentes de onda delante de ella; luego mueve al oyente hacia la ambulancia.
Ejemplo resuelto
La sirena que se acerca y se aleja
La sirena de una ambulancia inventada emite 720 Hz. La ambulancia va a 20 m/s y tú estás quieto en la acera. Con el sonido a 340 m/s, ¿qué frecuencia percibes antes y después de que pase?
Ver la solución paso a paso
Antes de pasar, la fuente se acerca: abajo va $-v_f$. El oyente está quieto, así que arriba solo queda $v$: $\frac{720 \cdot 340}{340 - 20}$
$765$ Hz, más de lo que emite la sirena, como debe ser al acercarse.
Después de pasar, la fuente se aleja: abajo va $+v_f$. $\frac{720 \cdot 340}{340 + 20}$
$680$ Hz, menos de lo que emite la sirena.
Al pasar, el tono que oyes baja $765 - 680$ Hz de golpe, aunque la sirena sigue emitiendo 720 Hz.
Es decir, $85$ Hz.
Respuesta: Antes de que pase percibes 765 Hz; después, 680 Hz. La sirena emite siempre 720 Hz.
Ejemplo resuelto
Un ciclista y una alarma
Una alarma inventada, quieta, emite 850 Hz. Sara se acerca en bicicleta a 10 m/s y, después de pasarla, se aleja a la misma rapidez. Con el sonido a 340 m/s, ¿qué frecuencias percibe?
Ver la solución paso a paso
La fuente está quieta, así que abajo queda solo $v$. Al acercarse, el oyente lleva $+v_o$ arriba: $\frac{850 \cdot \left(340 + 10\right)}{340}$
$875$ Hz.
Al alejarse, el oyente lleva $-v_o$ arriba: $\frac{850 \cdot \left(340 - 10\right)}{340}$
$825$ Hz.
Comprobación: al acercarse oye más que 850 Hz y al alejarse menos: $825 < 850 < 875$
Respuesta: Sara percibe 875 Hz mientras se acerca y 825 Hz mientras se aleja.
Ejemplo resuelto
Medir la rapidez de una moto por su sonido
La bocina de una moto inventada emite 560 Hz. Mientras la moto se acerca, un oyente quieto mide 595 Hz. Con el sonido a 340 m/s, ¿a qué rapidez va la moto?
Ver la solución paso a paso
La fuente se acerca: abajo va $-v_f$. Llamamos $x$ a la rapidez de la moto, en m/s: $595 = \frac{560 \cdot 340}{340 - x}$
Multiplicamos los dos lados por $340 - x$: $595 \cdot \left(340 - x\right) = 560 \cdot 340$
Dividimos entre 595: $340 - x = \frac{560 \cdot 340}{595}$
El lado derecho da 320: $340 - x = 320$
Despejamos: $x = 20$
Respuesta: La moto va a 20 m/s.
Práctica
Un camión inventado se acerca a 40 m/s a una persona quieta y hace sonar su pito de 510 Hz. Con el sonido a 340 m/s, ¿qué frecuencia, en Hz, percibe la persona?
La fuente se acerca, así que abajo va −v_f: f' = 510 · 340 / 300 = 578 Hz, más que los 510 Hz emitidos.
Un carro de helados inventado se aleja a 10 m/s de un niño quieto y su parlante emite 700 Hz. Con el sonido a 340 m/s, ¿qué frecuencia, en Hz, percibe el niño?
La fuente se aleja, así que abajo va +v_f: f' = 700 · 340 / 350 = 680 Hz, menos que lo emitido.
Corres a 17 m/s hacia un parlante quieto que emite 680 Hz. Con el sonido a 340 m/s, ¿qué frecuencia, en Hz, percibes?
El oyente se acerca: arriba va +v_o. f' = 680 · 357 / 340 = 714 Hz. 646 Hz es lo que percibirías alejándote, y 680 Hz, lo que oirías quieto.
Un carro se aleja a 34 m/s de una alarma quieta que emite 1000 Hz. Con el sonido a 340 m/s, ¿qué frecuencia, en Hz, percibe el conductor?
El oyente se aleja: arriba va −v_o. f' = 1000 · 306 / 340 = 900 Hz.
Un tren inventado avanza a 30 m/s hacia un ciclista que va a 10 m/s hacia el tren. El pito del tren emite 620 Hz. Con el sonido a 340 m/s, ¿qué frecuencia, en Hz, percibe el ciclista?
Los dos se acercan: arriba va +v_o y abajo −v_f. f' = 620 · 350 / 310 = 700 Hz.
¿Verdadero o falso? Una sirena de 500 Hz se acerca a 20 m/s a un oyente quieto. Con el sonido a 340 m/s, el oyente percibe más de 500 Hz.
Al acercarse la fuente, el denominador es 320, menor que 340, y la fracción es mayor que 1: f' = 531,25 Hz.
¿Verdadero o falso? Una ambulancia ya pasó y se aleja a 20 m/s de ti con su sirena de 720 Hz. Con el sonido a 340 m/s, oyes un sonido más agudo que 720 Hz.
Al alejarse la fuente, el denominador es 360 y la frecuencia percibida baja a 680 Hz: el sonido se oye más grave, no más agudo.
La bocina de un bus inventado emite 560 Hz y un oyente quieto mide 595 Hz mientras el bus se acerca. Con el sonido a 340 m/s, ¿a qué rapidez, en m/s, va el bus?
De 595 = 560 · 340 / (340 − x) sale 340 − x = 320, así que x = 20 m/s. El 35 es la diferencia de frecuencias, que no es una rapidez.
Una ambulancia se acerca a ti con la sirena encendida. ¿Qué cambia por el efecto Doppler?
La sirena vibra siempre igual. Como avanza, las compresiones le llegan más apretadas al oyente de adelante, y él percibe una frecuencia mayor. La velocidad del sonido la fija el aire.
El conductor de la ambulancia va sentado dentro de ella, con la sirena encendida. ¿Qué frecuencia oye él?
El efecto Doppler aparece cuando la fuente y el oyente se acercan o se alejan. El conductor se mueve con la sirena: la distancia entre los dos no cambia, y oye la frecuencia emitida.
Reto
¿Se oye más agudo o más grave?
Cada ficha es el factor por el que se multiplica la frecuencia emitida, con el sonido a 340 m/s. Si el factor es mayor que 1, se oye más agudo; si es menor que 1, más grave. Fíjate en los signos: ¿se acercan o se alejan?
Reto
Une cada cuenta de Doppler con la frecuencia percibida, en Hz.
Todas usan el sonido a 340 m/s. Haz la cuenta y busca la ficha con el resultado.
Cierre
En resumen
En el efecto Doppler cambia la frecuencia que percibe el oyente, no la que emite la fuente.
Si la fuente se mueve, las compresiones se aprietan delante de ella y se separan detrás; si se mueve el oyente, se cruza con más o con menos compresiones cada segundo.
Con el aire quieto, f' = f(v ± v_o)/(v ∓ v_f): arriba +v_o si el oyente va hacia la fuente; abajo −v_f si la fuente va hacia el oyente.
Acercarse sube la frecuencia percibida y alejarse la baja; por eso una sirena se oye más grave justo cuando pasa.
Conocidas la frecuencia emitida y la percibida, se puede despejar la rapidez de la fuente o del oyente.
Vocabulario
- Efecto Doppler
Cambio en la frecuencia que percibe un oyente cuando la fuente del sonido, el oyente o ambos se mueven, acercándose o alejándose.
- Frecuencia emitida
Frecuencia con la que vibra la fuente. No cambia porque la fuente se mueva.
- Frecuencia percibida
Frecuencia con la que llegan las compresiones al oído del oyente. Es la que determina el tono que oye.
- Frente de onda
Superficie formada por los puntos que la onda alcanzó al mismo tiempo; en el dibujo, cada círculo marca una compresión.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Reproduzca un audio de un vehículo que pasa con la bocina sonando y pregunte qué cambia en el sonido y en qué momento.
- Explicación · 20 min — Dibuje en el tablero los círculos de una fuente quieta y de una fuente que avanza; la fórmula con la regla de los signos y el ejemplo de la ambulancia.
- Práctica · 25 min — Preguntas y retos en parejas; las canastas sirven para discutir los signos antes de hacer cuentas.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante enuncie la regla «acercarse sube, alejarse baja» y la use para revisar una de sus respuestas.
Preguntas para el salón
- Si la sirena no cambia, ¿por qué el tono que oímos sí cambia?
- ¿Qué oye el conductor de la ambulancia? ¿Y un pasajero de un carro que va detrás a la misma velocidad?
- ¿Qué pasaría en la fórmula si la fuente fuera tan rápida como el sonido?
Errores típicos
- Decir que la fuente emite una frecuencia mayor cuando se acerca. Insista en las dos frecuencias, la emitida y la percibida, y pregunte qué oye el conductor.
- Poner los signos al revés y obtener una frecuencia menor cuando la fuente se acerca. Pida que, antes de calcular, digan si la frecuencia debe subir o bajar, y que comparen con el resultado.
- Confundir el efecto Doppler con el cambio de intensidad. Aclare que el sonido también se oye más fuerte cuando la fuente está cerca, pero eso es intensidad; el Doppler cambia el tono.
- Poner la rapidez del oyente en el denominador o la de la fuente en el numerador. Escriba la fórmula con las palabras «oyente» arriba y «fuente» abajo y déjela a la vista durante la práctica.
Tarea sugerida
Inventar una sirena y una rapidez de ambulancia, calcular la frecuencia percibida por un oyente quieto antes y después de que pase, y explicar por escrito, con un dibujo de los frentes de onda, por qué una es mayor que la emitida y la otra menor.