Cuerdas y tubos sonoros
Lo que vas a aprender
- Explicar los armónicos de una cuerda fija y de una columna de aire como ondas estacionarias con nodos y antinodos en lugares fijos.
- Calcular los armónicos de una cuerda fija y de un tubo abierto con fₙ = n·v/(2L).
- Justificar por qué un tubo cerrado en un extremo solo produce armónicos impares, y calcularlos con fₙ = n·v/(4L).
- Relacionar el tono de un instrumento con su fundamental y su timbre con la mezcla de armónicos.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Un guitarrista aprieta la cuerda contra un traste y la nota sube. Quien toca una flauta tapa y destapa agujeros para cambiar la nota. Una flauta de pan, unas botellas con distinta cantidad de agua a las que les soplas por la boca o un tubo de cartón al que le soplas por un lado también suenan con notas propias. Detrás de todos ellos hay una misma idea: en una cuerda o en una columna de aire solo caben ciertas ondas, y cada una produce una frecuencia precisa.
Con lo que aprendas en esta lección podrás calcular qué notas da un tubo de cierto largo, cuánto hay que acortar una cuerda para subir el tono y por qué un tubo tapado por un lado suena más grave que uno abierto del mismo largo.
Antes de empezar repasa las ondas estacionarias (nodos, antinodos y $\lambda = 2L/n$) y la relación $v = \lambda f$.
Explicación
Ondas que van y vuelven
Cuando pulsas una cuerda sujeta por los dos extremos, la onda viaja hasta un extremo, se refleja y regresa. La onda que va y la que vuelve se superponen. Para casi todas las frecuencias, ese cruce produce un desorden que se apaga enseguida. Pero para algunas frecuencias especiales, las dos ondas se combinan en una onda estacionaria: un patrón con nodos, puntos que no se mueven, y antinodos, puntos que oscilan con la mayor amplitud. Esas frecuencias especiales se llaman armónicos.
Los armónicos de una cuerda fija
En una cuerda sujeta por los dos extremos, los extremos no se pueden mover: son nodos. Entre dos nodos seguidos hay media longitud de onda. Así que en la cuerda de longitud $L$ tiene que caber un número entero $n$ de medias longitudes de onda:
$$L = n \cdot \frac{\lambda}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_n = \frac{2L}{n}$$
Con $v = \lambda f$ sale la frecuencia de cada armónico:
$$f_n = \frac{n \cdot v}{2L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$
Aquí $v$ es la velocidad de las ondas en la cuerda, no la del sonido en el aire. Depende de la cuerda: crece si la cuerda está más tensa y disminuye si cada metro de cuerda tiene más masa, como pasa con las cuerdas más gruesas. Por eso, al templar una cuerda su tono sube, y las cuerdas gruesas de una guitarra son las graves.
El armónico con $n = 1$ es la fundamental, $f_1$. Los demás son múltiplos de ella: $f_2 = 2f_1$, $f_3 = 3f_1$, y así sucesivamente. Si se acorta la cuerda, como hace el guitarrista con el traste, $L$ disminuye y todas las frecuencias suben.
La cuerda le pasa al aire su frecuencia, y por eso la nota que oyes tiene la frecuencia de la cuerda. Lo que cambia al pasar al aire es la longitud de onda, porque el sonido en el aire viaja a otra velocidad.
Los tres primeros armónicos de una cuerda fija: arriba la fundamental, con una sola media longitud de onda; en el centro, el segundo armónico, con un nodo en la mitad; abajo, el tercero. Cada curva y su reflejo marcan los dos extremos de la oscilación.
Los tubos sonoros
En un tubo, lo que vibra es la columna de aire que hay adentro, y la onda que va y vuelve es de sonido, así que su velocidad es la del aire: unos 340 m/s. Las condiciones en los extremos cambian. En un extremo abierto el aire se puede mover con libertad, y allí hay, aproximadamente, un antinodo de desplazamiento. En un extremo cerrado el aire choca contra la tapa y no se puede mover: allí hay un nodo.
Tubo abierto en los dos extremos. Tiene antinodos en las dos puntas. Entre dos antinodos seguidos también hay media longitud de onda, así que se repite la cuenta de la cuerda:
$$f_n = \frac{n \cdot v}{2L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$
Tubo cerrado en un extremo. Tiene un nodo en la punta cerrada y un antinodo en la abierta. De un nodo al antinodo más cercano hay un cuarto de longitud de onda, y cada vez que se agrega otro nodo y otro antinodo se suman dos cuartos más. Por eso en el tubo caben 1, 3, 5… cuartos de longitud de onda, nunca un número par:
$$L = n \cdot \frac{\lambda}{4} \quad\Longrightarrow\quad f_n = \frac{n \cdot v}{4L}, \qquad n = 1, 3, 5, \ldots$$
Un número par de cuartos es un número entero de medias longitudes de onda, y eso pondría el mismo tipo de punto en los dos extremos: nodo con nodo o antinodo con antinodo. En el tubo cerrado eso no puede pasar, porque sus dos extremos son distintos. Esa es la razón de que solo aparezcan los armónicos impares.
Compara la fundamental de los dos tubos con el mismo largo: en el abierto es $v/(2L)$ y en el cerrado $v/(4L)$, la mitad. Un tubo cerrado suena una octava más grave que uno abierto de su mismo largo, porque bajar una octava es dividir la frecuencia entre 2.
Armónicos y timbre
Una cuerda o un tubo real no vibran con un solo armónico: vibran con la fundamental y, al mismo tiempo, con varios armónicos más débiles. El oído oye el tono de la fundamental, y la mezcla de los demás le da al instrumento su timbre. Por eso un tubo cerrado, al que le faltan los armónicos pares, no suena igual que uno abierto.
Columna de aire en un tubo cerrado en el extremo izquierdo y abierto en el derecho. Arriba, la fundamental: un cuarto de longitud de onda, con nodo en la tapa y antinodo en la boca. Abajo, el siguiente armónico posible: tres cuartos. Un patrón con dos cuartos no cabe.
La columna de aire del tubo cerrado en su fundamental: un nodo en el extremo tapado y un antinodo en el abierto. Sube la frecuencia: el siguiente armónico que cabe es el 3.º, con 2 nodos y 2 antinodos; el 2.º no aparece.
Ejemplo resuelto
Los armónicos de una cuerda
Una cuerda inventada de 0,65 m está sujeta por los dos extremos, y las ondas viajan por ella a 286 m/s. ¿Cuáles son sus tres primeros armónicos?
Ver la solución paso a paso
La longitud de onda de la fundamental es $\lambda_1 = 2L$: $2 \cdot 0{,}65$ m.
Es decir, $1{,}3$ m.
La fundamental es $f_1 = v / \lambda_1$, que es lo mismo que $1 \cdot v/(2L)$: $\frac{1 \cdot 286}{2 \cdot 0{,}65}$
$220$ Hz.
El segundo armónico es $f_2 = 2 \cdot v/(2L)$: $\frac{2 \cdot 286}{2 \cdot 0{,}65}$
$440$ Hz, el doble de la fundamental.
El tercero es $f_3 = 3 \cdot v/(2L)$: $\frac{3 \cdot 286}{2 \cdot 0{,}65}$ Hz.
$660$ Hz, el triple de la fundamental.
Respuesta: Los tres primeros armónicos son 220 Hz, 440 Hz y 660 Hz.
Ejemplo resuelto
Tubo abierto y tubo cerrado del mismo largo
Un instrumento inventado tiene dos tubos de 0,85 m: uno abierto en los dos extremos y otro cerrado en un extremo. Con el sonido a 340 m/s, ¿cuáles son los tres primeros armónicos de cada tubo?
Ver la solución paso a paso
Tubo abierto, con $f_n = n \cdot v/(2L)$. La fundamental es $\frac{1 \cdot 340}{2 \cdot 0{,}85}$
$200$ Hz. Los siguientes armónicos son sus múltiplos.
El segundo armónico es $\frac{2 \cdot 340}{2 \cdot 0{,}85}$
$400$ Hz, el doble de la fundamental.
El tercero da $\frac{3 \cdot 340}{2 \cdot 0{,}85} = 600$ Hz.
Tubo cerrado, con $f_n = n \cdot v/(4L)$ y $n$ impar. La fundamental es $\frac{1 \cdot 340}{4 \cdot 0{,}85}$
$100$ Hz, la mitad que en el tubo abierto.
El siguiente armónico no es $n = 2$, sino $n = 3$: $\frac{3 \cdot 340}{4 \cdot 0{,}85}$
$300$ Hz. Y después viene $n = 5$:
$\frac{5 \cdot 340}{4 \cdot 0{,}85} = 500$ Hz.
Comprobación: 200 Hz sería $n = 2$ en el tubo cerrado: $\frac{2 \cdot 340}{4 \cdot 0{,}85} = 200$. Ese armónico no existe, porque 2 es par.
Respuesta: Tubo abierto: 200 Hz, 400 Hz y 600 Hz. Tubo cerrado: 100 Hz, 300 Hz y 500 Hz (solo impares).
Ejemplo resuelto
Cortar un tubo para una nota
Se quiere fabricar un tubo cerrado en un extremo cuya fundamental sea 170 Hz. Con el sonido a 340 m/s, ¿qué largo debe tener?
Ver la solución paso a paso
En el tubo cerrado, la fundamental es $f_1 = v/(4L)$. Llamamos $x$ al largo, en metros: $170 = \frac{340}{4x}$
Multiplicamos los dos lados por $4x$: $170 \cdot 4x = 340$
Es decir: $680x = 340$
Y despejamos: $x = 0{,}5$
Comprobación: un tubo abierto de ese mismo largo daría el doble, $\frac{340}{2 \cdot 0{,}5} = 2 \cdot 170$ Hz.
Respuesta: El tubo debe medir 0,5 m, es decir, 50 cm.
Práctica
Una cuerda inventada de 0,8 m está fija en los dos extremos, y las ondas viajan por ella a 320 m/s. ¿Cuál es su frecuencia fundamental, en Hz?
f₁ = v/(2L) = 320 / 1,6 = 200 Hz.
En la misma cuerda de 0,8 m, con las ondas a 320 m/s, ¿cuál es la frecuencia del tercer armónico, en Hz?
f₃ = 3 · v/(2L) = 3 · 200 = 600 Hz: el triple de la fundamental.
Un tubo de 0,68 m está abierto en los dos extremos. Con el sonido a 340 m/s, ¿cuál es su frecuencia fundamental, en Hz?
En un tubo abierto, f₁ = v/(2L) = 340 / 1,36 = 250 Hz. 125 Hz sería la de un tubo cerrado del mismo largo, y 500 Hz el segundo armónico.
Un tubo de 0,17 m está cerrado en un extremo. Con el sonido a 340 m/s, ¿cuál es su frecuencia fundamental, en Hz?
En un tubo cerrado, f₁ = v/(4L) = 340 / 0,68 = 500 Hz.
Un tubo cerrado en un extremo tiene una fundamental de 100 Hz. ¿Cuál es el siguiente armónico que produce, en Hz?
En el tubo cerrado solo hay armónicos impares: después de f₁ viene f₃ = 3 · 100 = 300 Hz. 200 Hz sería f₂, que no existe en ese tubo.
¿Verdadero o falso? Con el sonido a 340 m/s, un tubo de 0,85 m cerrado en un extremo puede producir un armónico de 200 Hz.
Su fundamental es 340 / (4 · 0,85) = 100 Hz, y 200 Hz es el doble: sería el armónico n = 2, que es par. En un tubo cerrado solo existen 100, 300, 500… Hz.
¿Verdadero o falso? Un tubo de 0,5 m está abierto en los dos extremos. Con el sonido a 340 m/s, si se le tapa un extremo, su frecuencia fundamental baja a la mitad.
Abierto, f₁ = 340 / 1 = 340 Hz; cerrado, f₁ = 340 / 2 = 170 Hz, la mitad. El tubo tapado suena una octava más grave.
¿Qué largo, en metros, debe tener un tubo cerrado en un extremo para que su fundamental sea 340 Hz? Usa el sonido a 340 m/s y escribe el resultado en decimal.
De f₁ = v/(4L) sale L = v/(4f₁) = 340 / (4 · 340) = 0,25 m, es decir, 25 cm.
En una cuerda inventada de 0,5 m fija en los dos extremos, el segundo armónico tiene 600 Hz. ¿A qué velocidad, en m/s, viajan las ondas por la cuerda?
De f₂ = 2 · v/(2L) sale v = f₂ · 2L / 2 = 600 · 1 / 2 = 300 m/s.
¿Por qué un tubo cerrado en un extremo solo produce armónicos impares?
Los extremos del tubo cerrado son distintos: nodo en la tapa, antinodo en la boca. De un nodo a un antinodo hay un número impar de cuartos de longitud de onda; con un número par, los dos extremos serían del mismo tipo.
Una cuerda de guitarra vibra con su fundamental y produce un sonido en el aire. Comparado con la onda de la cuerda, ¿cómo es el sonido que llega a tu oído?
La frecuencia la fija la fuente, la cuerda, y no cambia al pasar al aire. Como la velocidad sí cambia, de v = λf sale que la longitud de onda también cambia.
Reto
Une cada cuenta de armónicos con su frecuencia, en Hz.
Las cuentas son n·v/(2L) para cuerdas y tubos abiertos, y n·v/(4L) para tubos cerrados. Haz la cuenta y busca su ficha.
Reto
Abre el candado de los armónicos.
Cada respuesta es una cifra del código. Recuerda que fₙ = n·f₁ y que en un tubo cerrado solo hay armónicos impares.
Reto
Encuentra las palabras de las cuerdas y los tubos.
Busca las palabras en horizontal, vertical o diagonal. No llevan tildes.
Cierre
En resumen
Una cuerda o una columna de aire solo vibran de forma estacionaria con ciertas frecuencias, los armónicos, que tienen nodos y antinodos fijos.
En una cuerda fija los extremos son nodos: λₙ = 2L/n y fₙ = n·v/(2L), con v la velocidad de las ondas en la cuerda y n = 1, 2, 3…
Un tubo abierto tiene antinodos en las dos puntas y la misma fórmula, fₙ = n·v/(2L), con v = 340 m/s.
Un tubo cerrado en un extremo tiene nodo en la tapa y antinodo en la boca: fₙ = n·v/(4L) solo con n impar, y su fundamental es la mitad de la de un tubo abierto del mismo largo.
El tono lo fija la fundamental y el timbre, la mezcla de armónicos; al pasar de la cuerda al aire la frecuencia no cambia, pero la longitud de onda sí.
Vocabulario
- Onda estacionaria
Patrón que resulta de la superposición de dos ondas iguales que viajan en sentidos opuestos; tiene nodos y antinodos que no se desplazan.
- Nodo
Punto de una onda estacionaria que no oscila.
- Antinodo
Punto de una onda estacionaria que oscila con la máxima amplitud.
- Armónico
Cada una de las frecuencias en que puede vibrar de forma estacionaria una cuerda o una columna de aire; el n-ésimo se escribe fₙ.
- Frecuencia fundamental
La frecuencia más baja con que vibra una cuerda o un tubo, f₁. Fija el tono que se oye.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Sople sobre la boca de un tubo de cartón o de PVC abierto y después tape un extremo con la mano; pida que describan cómo cambió la nota.
- Explicación · 20 min — Ondas estacionarias en una cuerda con una cuerda o un resorte largo; la figura de los armónicos; tubos abiertos y cerrados con el ejemplo de los dos tubos de 0,85 m en el tablero.
- Práctica · 25 min — Preguntas y retos en parejas; el candado y el dominó se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante dibuje la fundamental y el siguiente armónico de un tubo cerrado y explique por qué no existe el armónico n = 2.
Preguntas para el salón
- Si el guitarrista aprieta la cuerda en la mitad de su largo, ¿qué pasa con la fundamental?
- ¿Por qué un tubo tapado suena más grave que uno abierto del mismo largo?
- Si en un día caluroso el sonido viaja un poco más rápido, ¿qué les pasa a las notas de un tubo?
Errores típicos
- Usar 340 m/s para la onda en una cuerda. Pregunte qué es lo que vibra en cada caso: en la cuerda, la cuerda; en el tubo, el aire. Cada uno tiene su velocidad.
- Incluir armónicos pares en un tubo cerrado. Pida que dibujen el patrón de n = 2 en el tubo cerrado y que revisen qué queda en la tapa.
- Usar 2L en el tubo cerrado. Compare en el dibujo cuánto de una longitud de onda cabe en la fundamental: media en el tubo abierto, un cuarto en el cerrado.
- Creer que la frecuencia cambia al pasar de la cuerda al aire. Recuerde que la frecuencia la fija la fuente y la velocidad el medio; lo que se ajusta es la longitud de onda.
Tarea sugerida
Diseñar un instrumento inventado de cuatro tubos cerrados cuyas fundamentales sean 170 Hz, 200 Hz, 250 Hz y 340 Hz: calcular el largo de cada tubo y los dos armónicos siguientes de cada uno.