Refracción de la luz
Lo que vas a aprender
- Calcular el índice de refracción de un medio o la rapidez de la luz en él con n = c/v.
- Aplicar la ley de Snell para hallar el ángulo de un rayo refractado y decidir si se acerca o se aleja de la normal.
- Calcular el ángulo crítico y predecir cuándo hay reflexión total interna.
- Explicar con la refracción la dispersión de la luz blanca y el arcoíris.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Una cuchara metida en un vaso de agua parece quebrada justo en la superficie. El fondo de una piscina parece estar más cerca de lo que está. Los cables de fibra óptica llevan internet a los barrios encerrando la luz dentro de un hilo de vidrio, y después de un aguacero con sol aparece un arcoíris. Todo eso es refracción: la luz cambia de dirección cuando pasa de un medio a otro.
En esta lección vas a medir cuánto se desvía la luz, y a predecir cuándo no logra salir de un medio. Antes de empezar repasa el seno de un ángulo y cómo se usa la tecla sen⁻¹ de la calculadora en modo de grados.
Explicación
El índice de refracción
En el vacío la luz va a $c = 3 \times 10^{8}$ m/s. En cualquier material transparente va más despacio. El índice de refracción de un medio compara las dos rapideces:
$$n = \frac{c}{v}$$
Como $v$ nunca supera a $c$, el índice es siempre mayor o igual que 1. Un índice grande quiere decir que la luz va lenta en ese medio. En este curso usamos valores aproximados: el aire tiene $n \approx 1$; el agua, $n \approx 1{,}33$, y el vidrio común, $n \approx 1{,}5$ (el valor exacto depende del tipo de vidrio).
Al entrar en otro medio, la frecuencia no cambia: la fija la fuente, y cada cresta que llega a la frontera produce una cresta al otro lado. Lo que cambia es la rapidez, y con ella la longitud de onda: como $v = \lambda f$, dentro del medio la longitud de onda queda dividida entre $n$.
Por qué se dobla el rayo
Piensa en un frente de onda que llega inclinado a la superficie del agua. Según el principio de Huygens, cada punto del frente produce pequeñas ondas que avanzan. La parte del frente que entra primero al agua se frena, mientras la otra todavía va rápido por el aire; así el frente gira, como una fila de estudiantes tomados del brazo cuando un extremo pisa barro. El rayo, que es perpendicular al frente, cambia de dirección.
La ley de Snell
Los ángulos se miden desde la normal, la recta perpendicular a la superficie. Si la luz va del medio 1 al medio 2, con ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$, se cumple
$$n_1 \operatorname{sen}\theta_1 = n_2 \operatorname{sen}\theta_2$$
De ahí salen dos reglas que conviene recordar:
- Si la luz pasa a un medio de mayor índice (del aire al agua), se frena y se acerca a la normal: $\theta_2 < \theta_1$.
- Si pasa a un medio de menor índice (del agua al aire), se acelera y se aleja de la normal: $\theta_2 > \theta_1$.
Un rayo que llega perpendicular a la superficie ($\theta_1 = 0$) no se desvía, aunque sí cambia su rapidez.
El ángulo crítico y la reflexión total interna
Cuando la luz pasa a un medio de menor índice, se aleja de la normal. Si el ángulo de incidencia crece, el refractado llega a $90°$: el rayo sale rasante, pegado a la superficie. Ese ángulo de incidencia es el ángulo crítico $\theta_c$, y de la ley de Snell con $\theta_2 = 90°$ sale
$$\operatorname{sen}\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$
Con un ángulo mayor que el crítico ya no hay rayo refractado: toda la luz se refleja dentro del medio. Es la reflexión total interna. Fíjate en que solo puede ocurrir al pasar a un medio de menor índice. Del aire al agua, en cambio, siempre hay rayo refractado, porque el seno que pide la ley de Snell nunca pasa de 1.
La fibra óptica aprovecha este fenómeno. Es un hilo de vidrio muy delgado, rodeado de un material de menor índice. La luz entra por un extremo y llega a las paredes con ángulos mayores que el crítico; rebota una y otra vez sin escaparse, aunque el hilo se curve, y así lleva información por kilómetros.
La dispersión y el arcoíris
El índice de un vidrio o del agua no es exactamente el mismo para todos los colores: es un poco mayor para el violeta que para el rojo. Por eso, al atravesar un prisma, el violeta se desvía más que el rojo y la luz blanca se abre en un abanico de colores. Ese fenómeno es la dispersión.
El arcoíris es dispersión en millones de gotas de lluvia. La luz del Sol entra en cada gota y se refracta, se refleja en la parte de atrás de la gota y se refracta otra vez al salir. Cada color sale con un ángulo un poco distinto, y por eso los colores aparecen en bandas. Para verlo, el Sol tiene que estar a tu espalda y la lluvia, delante de ti.
Ejemplo resuelto
La luz en el vidrio y en el agua
Con c = 3 × 10⁸ m/s y los índices aproximados n ≈ 1,5 para el vidrio y n ≈ 1,33 para el agua, ¿con qué rapidez viaja la luz en cada medio?
Ver la solución paso a paso
Escribimos $n = c/v$ para el vidrio:
$$1{,}5 = \frac{3 \times 10^{8}}{v}$$
Despejamos $v$:
$$v = \frac{3 \times 10^{8}}{1{,}5}$$
En el vidrio:
$$v = 2 \times 10^{8}$$
Para el agua hacemos la misma división:
$$\frac{3 \times 10^{8}}{1{,}33}$$
El resultado no es exacto; está entre $2{,}25 \times 10^{8}$ y $2{,}26 \times 10^{8}$ m/s:
$$2{,}25 \times 10^{8} < \frac{3 \times 10^{8}}{1{,}33} < 2{,}26 \times 10^{8}$$
La luz va más despacio en el vidrio, que tiene el índice mayor.
Respuesta: En el vidrio, 2 × 10⁸ m/s; en el agua, unos 2,26 × 10⁸ m/s.
Ejemplo resuelto
Un rayo que entra al agua
Un rayo de luz pasa del aire (n = 1) al agua (n ≈ 1,33) con un ángulo de incidencia de 45°. ¿Cuál es el ángulo de refracción?
Ver la solución paso a paso
Escribimos la ley de Snell. Llamamos $s$ al seno del ángulo refractado:
$$1\operatorname{sen} 45^{\circ} = 1{,}33s$$
Despejamos $s$:
$$s = \frac{\operatorname{sen} 45^{\circ}}{1{,}33}$$
El ángulo es el que tiene ese seno; con la calculadora en grados:
$$\theta = \operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{\operatorname{sen} 45^{\circ}}{1{,}33}\right)$$
Que da, aproximadamente, 32,1°:
$$32{,}1 < \operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{\operatorname{sen} 45^{\circ}}{1{,}33}\right) < 32{,}2$$
El ángulo bajó de 45° a unos 32,1°: al pasar a un medio de mayor índice, el rayo se acerca a la normal.
Respuesta: θ₂ ≈ 32,1°, medido desde la normal: el rayo se acerca a ella.
El rayo del segundo ejemplo. Arriba, aire (n = 1); abajo, agua (n ≈ 1,33). La línea punteada es la normal; el rayo llega a 45° y sigue a unos 32,1°, más cerca de ella.
Ejemplo resuelto
El ángulo crítico del vidrio
Un rayo viaja dentro de un vidrio (n ≈ 1,5) hacia el aire (n = 1). ¿Cuál es el ángulo crítico? ¿Qué le pasa a un rayo que llega a la superficie con 50°? ¿Puede haber reflexión total si la luz va del aire al vidrio?
Ver la solución paso a paso
En el ángulo crítico el refractado sale a 90°. Ley de Snell, con $s$ el seno del ángulo crítico:
$$1{,}5s = 1\operatorname{sen} 90^{\circ}$$
Despejamos:
$$s = \frac{2}{3}$$
El ángulo crítico es el que tiene ese seno:
$$\theta = \operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$$
Aproximadamente 41,8°:
$$41{,}8 < \operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) < 41{,}9$$
Con 50°, la ley de Snell pediría un seno refractado de $1{,}5 \operatorname{sen} 50°$, que es mayor que 1. Ningún ángulo tiene un seno así:
$$1{,}5\operatorname{sen} 50^{\circ} > 1$$
No hay rayo refractado: la luz se refleja toda dentro del vidrio. Al revés, del aire al vidrio, el seno refractado es como mucho $\tfrac{1}{1{,}5}$, aun con incidencia rasante:
$$\frac{1\operatorname{sen} 90^{\circ}}{1{,}5} < 1$$
Siempre hay rayo refractado: del aire al vidrio no puede haber reflexión total.
Respuesta: θc ≈ 41,8°. A 50° hay reflexión total interna. Del aire al vidrio nunca la hay, porque el vidrio tiene mayor índice.
Tres rayos que salen de un punto dentro del vidrio (abajo) hacia el aire (arriba). A 30° el rayo sale y se aleja de la normal; en el ángulo crítico, unos 41,8°, sale rasante; a 50° se refleja todo hacia adentro.
Un rayo dentro del vidrio llega al aire a 30° y sale a 48,6°, alejándose de la normal. Sube el ángulo de llegada: pasado el ángulo crítico, 41,8° (el rayo a trazos), ya no sale; a 50° toda la luz se refleja dentro del vidrio.
Práctica
En un líquido, la luz viaja a 2,25 × 10⁸ m/s. Con c = 3 × 10⁸ m/s, ¿cuál es su índice de refracción? Redondea a dos decimales.
n = c/v = (3 × 10⁸)/(2,25 × 10⁸) ≈ 1,33, el valor aproximado del agua.
Un cristal inventado tiene un índice de refracción de 2,4. Con c = 3 × 10⁸ m/s, ¿con qué rapidez viaja la luz en él, en unidades de 10⁸ m/s?
v = c/n = (3 × 10⁸)/2,4 = 1,25 × 10⁸ m/s. Con un índice mayor, la luz va más despacio.
Un rayo pasa del aire (n = 1) a un vidrio (n ≈ 1,5) con un ángulo de incidencia de 30°. ¿Cuál es el ángulo de refracción?
sen θ₂ = sen 30° / 1,5 = 0,5/1,5 = 1/3, así que θ₂ = sen⁻¹(1/3) ≈ 19,5°. El rayo se acerca a la normal. La opción sen⁻¹(3/4) sale de multiplicar por 1,5 en vez de dividir.
¿Cuál es el ángulo crítico, en grados, para la luz que pasa del agua (n ≈ 1,33) al aire (n = 1)? Redondea a una cifra decimal.
sen θc = 1/1,33, así que θc = sen⁻¹(1/1,33) ≈ 48,8°. Con ángulos mayores, la luz no sale del agua.
¿Verdadero o falso? Al pasar del aire (n = 1) al agua (n ≈ 1,33), aun con incidencia rasante de 90°, el seno del ángulo refractado es menor que 1; por eso siempre hay rayo refractado.
El seno refractado es como mucho 1/1,33 ≈ 0,75. La reflexión total solo ocurre al pasar a un medio de menor índice, del agua al aire, no del aire al agua.
¿Verdadero o falso? Un rayo que sale del agua (n ≈ 1,33) al aire (n = 1) con 30° de incidencia queda con un ángulo de refracción mayor que 30°.
sen θ₂ = 1,33 · 0,5 = 0,665, así que θ₂ ≈ 41,7°. Al pasar a un medio de menor índice, el rayo se aleja de la normal.
Un rayo va dentro de un vidrio (n ≈ 1,5) hacia el aire. Marca todos los ángulos de incidencia, en grados, con los que hay reflexión total interna.
Marca todas las que apliquen.
El ángulo crítico vidrio–aire es de unos 41,8°. Con 45°, 60° y 75° se supera, y 1,5 · sen θ da más de 1 - no hay rayo refractado. Con 20° y 35° la luz sale.
Una luz de 600 nm en el aire (n ≈ 1) entra en un vidrio de índice aproximado 1,5. Su frecuencia no cambia. ¿Cuál es su longitud de onda dentro del vidrio, en nm?
La rapidez queda dividida entre 1,5 y la frecuencia sigue igual; como v = λf, la longitud de onda también queda dividida entre 1,5 - 600/1,5 = 400 nm. El color no cambia, porque lo decide la frecuencia.
¿En cuál de estos casos puede haber reflexión total interna?
La reflexión total solo ocurre al pasar a un medio de menor índice. El vidrio (≈ 1,5) tiene más índice que el aire (≈ 1); en los otros tres casos la luz pasa a un medio de mayor índice.
Un haz de luz blanca atraviesa un prisma de vidrio y sale abierto en colores. ¿Por qué?
Es la dispersión. La luz blanca ya trae todos los colores; el prisma solo los separa, porque el violeta se desvía más que el rojo.
Reto
¿El rayo sale o se queda?
Cada expresión es n₁·sen θ₁ / n₂, el seno que necesitaría el ángulo refractado. Si es menor que 1, el rayo se refracta; si es mayor que 1, ningún ángulo tiene ese seno y hay reflexión total.
Reto
Abre el candado de la refracción.
Cada respuesta es una cifra del código. Usa c = 3 × 10⁸ m/s y n = c/v. Los materiales de las pistas son inventados.
Cierre
En resumen
El índice de refracción es n = c/v; vale 1 en el vacío y es mayor en cualquier material (≈ 1,33 en el agua y ≈ 1,5 en el vidrio, valores aproximados).
Al cambiar de medio, la frecuencia de la luz se conserva; cambian su rapidez y su longitud de onda.
Ley de Snell n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂, con los ángulos medidos desde la normal; al pasar a mayor índice el rayo se acerca a la normal, y a menor índice se aleja.
La reflexión total interna solo ocurre al pasar a un medio de menor índice, con un ángulo mayor que el crítico (sen θc = n₂/n₁); la fibra óptica la usa para guiar la luz.
La dispersión separa la luz blanca porque el índice cambia un poco con el color; el arcoíris es dispersión en las gotas de lluvia.
Vocabulario
- Refracción
Cambio de dirección de la luz al pasar de un medio a otro en el que viaja con otra rapidez.
- Índice de refracción
Cociente n = c/v entre la rapidez de la luz en el vacío y en el medio; dice cuántas veces más despacio va la luz en ese medio.
- Ángulo crítico
Ángulo de incidencia con el que el rayo refractado sale rasante (a 90° de la normal) al pasar a un medio de menor índice.
- Reflexión total interna
Reflexión de toda la luz en la frontera con un medio de menor índice, cuando el ángulo de incidencia supera el ángulo crítico.
- Dispersión
Separación de la luz blanca en colores, porque el índice de refracción de un medio es un poco distinto para cada color.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Ponga un lápiz en un vaso con agua y pida que describan y dibujen lo que ven desde un lado.
- Explicación · 20 min — Índice de refracción, la fila de estudiantes que pisa barro (Huygens) y la ley de Snell; resuelva el segundo y el tercer ejemplo con la calculadora en modo de grados.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; proyecte las canastas y pida que cada pareja diga primero de qué medio a qué medio va la luz.
- Cierre · 5 min — Vuelva al lápiz del inicio y pida que expliquen con la ley de Snell por qué parece quebrado.
Preguntas para el salón
- Si la frecuencia de la luz no cambia al entrar al agua, ¿cambia su color? ¿Por qué?
- ¿Por qué un buzo bajo el agua, mirando hacia arriba con mucha inclinación, ve la superficie como un espejo?
- ¿Desde dónde hay que mirar para ver un arcoíris, con el Sol de frente o a la espalda?
Errores típicos
- Medir los ángulos desde la superficie y no desde la normal. Exija que tracen la normal punteada antes de marcar cualquier ángulo.
- Creer que puede haber reflexión total al pasar del aire al agua. Haga la cuenta con incidencia de 90° - el seno refractado queda en 1/1,33, menor que 1, y siempre hay rayo refractado.
- Pensar que la frecuencia cambia al cambiar de medio. Recuerde que cada cresta que llega a la frontera produce una sola cresta al otro lado - lo que cambia es la separación entre crestas.
- Usar la calculadora en radianes al sacar el sen⁻¹. Pida que revisen que sen⁻¹(0,5) les dé 30 antes de empezar.
Tarea sugerida
Calcular el ángulo de refracción de un rayo que pasa del aire al vidrio con 60° de incidencia y el ángulo crítico del vidrio con el agua, y explicar por escrito, con un dibujo, cómo guía la luz una fibra óptica.