Las lentes
Lo que vas a aprender
- Distinguir una lente convergente de una divergente por su forma y por lo que hace con los rayos paralelos.
- Trazar los tres rayos principales para ubicar la imagen de una lente delgada.
- Calcular la distancia de la imagen y el aumento con 1/f = 1/p + 1/q y M = −q/p, con la convención de la lección.
- Explicar cómo funciona una lupa y cuándo una lente convergente da imagen real o virtual.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Las gafas, la lupa con que se leen las letras pequeñas de una etiqueta, la cámara del celular, el videobeam del salón y el microscopio del laboratorio tienen lentes. Una lente bien puesta puede agrandar una hormiga, proyectar una diapositiva sobre una pared o enfocar una foto. Detrás de todo eso está la refracción que estudiaste en la lección anterior.
En esta lección vas a predecir dónde se forma la imagen de una lente y cómo es, con un dibujo de tres rayos y con una ecuación que ya conoces de los espejos. Antes de empezar repasa la ley de Snell y la convención de signos de la lección de espejos.
Explicación
Qué hace una lente
Una lente es una pieza de vidrio o de plástico transparente con al menos una cara curva. La luz se refracta dos veces: al entrar y al salir. Como las caras son curvas, cada rayo llega con un ángulo distinto y se desvía distinto, y así la lente reorganiza los rayos.
- Una lente convergente es más gruesa en el centro que en los bordes. Los rayos que llegan paralelos al eje salen juntándose y pasan por un punto del otro lado: el foco $F'$.
- Una lente divergente es más delgada en el centro. Los rayos paralelos salen abriéndose, como si vinieran de un foco $F$ que está del mismo lado por donde llega la luz.
Toda lente tiene dos focos, uno a cada lado, a la misma distancia $f$ de la lente. En una lente delgada se mide todo desde su centro, y en los dibujos se pinta como una línea vertical.
Los tres rayos principales
Para ubicar la imagen se trazan, desde la punta del objeto, dos o tres de estos rayos:
- El que llega paralelo al eje sale pasando por $F'$ (convergente) o como si viniera de $F$ (divergente).
- El que pasa por el centro óptico sigue derecho, sin desviarse.
- El que pasa por $F$ (convergente), o va dirigido hacia $F'$ (divergente), sale paralelo al eje.
Si los rayos que salen se cruzan del otro lado de la lente, ahí hay una imagen real: la luz pasa de verdad por ella, y una pantalla puesta en ese lugar la recoge. Si se abren, sus prolongaciones hacia atrás se cruzan del mismo lado del objeto, y la imagen es virtual.
La ecuación de las lentes delgadas
Las lentes delgadas cumplen la misma ecuación que los espejos, con la misma convención «lo real es positivo»:
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \qquad\qquad M = -\frac{q}{p}$$
- $p$ es positiva: el objeto está del lado por donde llega la luz.
- $q > 0$: imagen real, al otro lado de la lente. $q < 0$: imagen virtual, del mismo lado del objeto.
- $f > 0$ en una lente convergente; $f < 0$ en una divergente.
- $M > 0$: imagen derecha; $M < 0$: invertida. Si $|M| > 1$, la imagen es más grande.
Hay una diferencia con los espejos: en un espejo la luz rebota y la imagen real queda delante, mientras que en una lente la luz atraviesa, y la imagen real queda del otro lado.
¿Real o virtual?
Una lente convergente da las dos clases de imagen, según dónde esté el objeto:
- Si el objeto está más lejos que el foco, la imagen es real e invertida. Así trabajan la cámara y el videobeam.
- Si el objeto está entre el foco y la lente, la imagen es virtual, derecha y más grande. Así trabaja la lupa.
- Si el objeto está justo en el foco, los rayos salen paralelos y no se forma imagen.
Una lente divergente, con un objeto real, da siempre una imagen virtual, derecha y más pequeña. Lentes de esta clase se usan en las gafas de muchas personas con miopía.
La lupa
Una lupa es una lente convergente que se acerca al objeto hasta dejarlo entre el foco y la lente. Al mirar a través de ella, el ojo recibe rayos que se abren, como si salieran de un objeto más grande y más lejano. El aumento crece a medida que el objeto se acerca al foco desde dentro.
Ejemplo resuelto
La imagen del videobeam
Una lente convergente tiene f = 10 cm. Un dibujo de 2 cm de alto está a 15 cm de la lente. ¿Dónde se forma la imagen y cómo es?
Ver la solución paso a paso
Escribimos la ecuación de las lentes con $f = 10$ y $p = 15$:
$$\frac{1}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{q}$$
Despejamos $\tfrac{1}{q}$ restando las fracciones:
$$\frac{1}{q} = \frac{1}{30}$$
Así que:
$$q = 30$$
$q > 0$: la imagen es real, a 30 cm al otro lado de la lente. El aumento es:
$$-\frac{30}{15}$$
Que vale:
$$-2$$
La altura de la imagen es el aumento por la altura del objeto:
$$-2 \cdot 2$$
Es decir:
$$-4$$
La imagen es invertida y del doble del tamaño. Por eso las diapositivas se meten al revés en un proyector: la lente las vuelve a invertir.
Respuesta: q = 30 cm (imagen real, al otro lado de la lente) y M = −2 - la imagen mide 4 cm y está invertida.
Diagrama de rayos del primer ejemplo, en centímetros. La lente está en x = 0 y la luz va de izquierda a derecha. Los tres rayos principales se cruzan en la punta de la imagen real e invertida.
La lente del videobeam, con f = 10 cm y el dibujo a 15 cm: la imagen es real, invertida y del doble de tamaño, a 30 cm. Acerca el objeto a 5 cm, dentro del foco: la lente hace de lupa y la imagen es virtual, derecha y del doble de tamaño.
Ejemplo resuelto
Una lupa sobre una hormiga
Una lupa es una lente convergente de f = 12 cm. Se pone a 8 cm de una hormiga de 2 mm. ¿Dónde está la imagen y cuánto mide?
Ver la solución paso a paso
El objeto está entre el foco y la lente. Escribimos la ecuación:
$$\frac{1}{12} = \frac{1}{8} + \frac{1}{q}$$
Despejamos:
$$\frac{1}{q} = -\frac{1}{24}$$
Así que:
$$q = -24$$
$q < 0$: la imagen es virtual, a 24 cm de la lente, del mismo lado de la hormiga. El aumento es:
$$\frac{24}{8}$$
Que vale:
$$3$$
La hormiga se ve derecha y tres veces más grande:
$$3 \cdot 2$$
Es decir, en milímetros:
$$6$$
Respuesta: q = −24 cm (imagen virtual, del lado de la hormiga), M = 3 - la imagen está derecha y mide 6 mm.
La lupa del segundo ejemplo, en centímetros, con el objeto dibujado de 2 unidades de alto. Los rayos que salen de la lente (continuos) se abren; sus prolongaciones (punteadas) se cruzan del lado del objeto, en la imagen virtual, derecha y tres veces mayor.
Ejemplo resuelto
Una lente divergente
Una lente divergente tiene f = −15 cm. Un objeto de 3 cm está a 30 cm de ella. ¿Dónde está la imagen y cómo es?
Ver la solución paso a paso
Con $f$ negativa, porque la lente es divergente, la ecuación queda:
$$-\frac{1}{15} = \frac{1}{30} + \frac{1}{q}$$
Despejamos:
$$\frac{1}{q} = -\frac{1}{10}$$
Así que:
$$q = -10$$
Imagen virtual, a 10 cm de la lente, del lado del objeto. El aumento es:
$$\frac{10}{30}$$
Que vale:
$$\frac{1}{3}$$
Y la altura de la imagen:
$$\frac{1}{3} \cdot 3$$
Es decir:
$$1$$
Respuesta: q = −10 cm (imagen virtual, del lado del objeto) y M = 1/3 - la imagen está derecha y mide 1 cm.
Diagrama de rayos de la lente divergente, en centímetros. Los rayos salen abriéndose; sus prolongaciones (punteadas) se cruzan entre el foco F y la lente, en la imagen virtual, derecha y más pequeña.
La lente divergente del ejemplo, con el objeto a 30 cm: la imagen es virtual, derecha y de un tercio del tamaño, a 10 cm del mismo lado del objeto. Mueve el objeto: la imagen de una divergente siempre sale virtual, derecha y más pequeña.
Práctica
Una lente convergente tiene f = 20 cm y un objeto está a 60 cm. ¿A cuántos centímetros de la lente se forma la imagen?
1/q = 1/20 − 1/60 = 2/60, así que q = 30 cm. Es positiva: imagen real, al otro lado de la lente.
Con la misma lente (f = 20 cm) y el mismo objeto (a 60 cm), ¿cuál es el aumento M?
M = −q/p = −30/60 = −0,5. La imagen es invertida y mide la mitad: así trabaja la cámara de un celular, que achica el paisaje sobre el sensor.
Una lente divergente tiene f = −20 cm y un objeto está a 20 cm de ella. Con la convención de la lección, ¿cuánto vale q, en cm?
1/q = −1/20 − 1/20 = −1/10, así que q = −10 cm: imagen virtual, del lado del objeto, como siempre en una lente divergente.
Con una lente convergente de f = 10 cm, ¿a qué distancia p hay que poner el objeto para que la imagen sea real, invertida y del mismo tamaño, es decir, con q igual a p?
Con q = p, la ecuación queda 1/10 = 2/p, así que p = 20 cm, el doble de la distancia focal. Entonces M = −20/20 = −1.
Una lente convergente tiene f = 12 cm. Marca todas las distancias del objeto, en cm, con las que la lente funciona como lupa (imagen virtual).
Marca todas las que apliquen.
La imagen es virtual (q < 0) cuando el objeto está entre la lente y el foco - 4 y 8 cm. Con 18, 24 y 30 cm el objeto está más lejos que el foco y la imagen es real.
¿Verdadero o falso? Con una lente convergente de f = 10 cm y un objeto a 5 cm, la imagen es real (q positiva).
1/q = 1/10 − 1/5 = −1/10, así que q = −10 cm - la imagen es virtual. Una lente convergente no siempre da imagen real: depende de si el objeto está más lejos o más cerca que el foco.
¿Verdadero o falso? Una lente divergente de f = −10 cm, con un objeto a 40 cm, da una imagen derecha (M positivo).
q = 1/(−1/10 − 1/40) = −8 cm y M = 8/40 = 0,2. Imagen virtual, derecha y más pequeña.
Una lupa tiene f = 8 cm y una estampilla está a 6 cm de ella. ¿Cuántas veces más grande se ve la estampilla?
q = 1/(1/8 − 1/6) = −24 cm y M = 24/6 = 4. La imagen es virtual y derecha.
Un videobeam tiene una lente de f = 5 cm, y la pantallita interna del aparato, de 2 cm, que hace de objeto, está a 5,2 cm de la lente. ¿Cuántos centímetros mide la imagen en la pared, sin contar el signo?
q = 1/(1/5 − 1/5,2) = 130 cm y M = −130/5,2 = −25. La imagen mide 25 · 2 = 50 cm y está invertida. Un objeto muy cerca del foco da una imagen muy lejana y muy grande.
¿Qué rayo atraviesa una lente delgada sin cambiar de dirección?
En el centro de una lente delgada las dos caras son casi paralelas, como una lámina fina de vidrio, y el rayo sigue derecho. El paralelo sale por el foco y el que pasa por el foco sale paralelo.
Con una lente quieres proyectar sobre una hoja la imagen de una ventana lejana. ¿Qué lente sirve y cómo sale la imagen?
Solo una imagen real se recoge en una hoja, y solo la convergente la da, con el objeto más lejos que el foco. Esa imagen real sale invertida.
Reto
Une cada cálculo con la distancia de la imagen, en cm.
Cada ficha de la izquierda es q = 1/(1/f − 1/p). Si q sale negativa, la imagen es virtual.
Reto
Abre el candado de las lentes.
Cada respuesta es una cifra del código. Usa 1/f = 1/p + 1/q y M = −q/p, con f positiva en las convergentes y negativa en las divergentes.
Cierre
En resumen
Una lente convergente es más gruesa en el centro y junta los rayos paralelos en su foco (f > 0); una divergente es más delgada en el centro y los abre (f < 0).
Tres rayos principales - el paralelo sale por el foco, el que pasa por el centro sigue derecho y el que pasa por el foco sale paralelo.
Las lentes delgadas cumplen 1/f = 1/p + 1/q y M = −q/p; con «lo real es positivo», q > 0 es una imagen real al otro lado de la lente y q < 0, una virtual del lado del objeto.
Una lente convergente da imagen real e invertida si el objeto está más lejos que el foco, y virtual, derecha y mayor si está más cerca - es la lupa.
Una lente divergente da siempre, con un objeto real, una imagen virtual, derecha y más pequeña.
Vocabulario
- Lente convergente
Lente más gruesa en el centro que en los bordes; junta en su foco los rayos que llegan paralelos al eje. Su f es positiva.
- Lente divergente
Lente más delgada en el centro que en los bordes; abre los rayos paralelos como si salieran de un foco. Su f es negativa.
- Centro óptico
Punto central de una lente delgada; el rayo que pasa por él sigue derecho.
- Lupa
Lente convergente usada con el objeto entre el foco y la lente; da una imagen virtual, derecha y más grande.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Con una lupa, proyecte sobre una hoja la imagen de la ventana del salón; después pida que miren una letra a través de la misma lupa. Pregunte por qué la misma lente da dos imágenes tan distintas.
- Explicación · 20 min — Convergentes y divergentes, los tres rayos y la ecuación con la convención de la lección de espejos. Resuelva en el tablero el primer ejemplo y la lupa, con su diagrama.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; antes de cada cuenta, pida que anticipen si la imagen será real o virtual. Proyecte el candado al final.
- Cierre · 5 min — Vuelva a la lupa del inicio y pida que expliquen, con p y f, cuándo proyectó y cuándo aumentó.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué se puede proyectar en una hoja la imagen de una lente convergente, pero no la de una divergente?
- Si alejas poco a poco una lupa de una letra, ¿qué le pasa a la imagen cuando la letra pasa por el foco?
- ¿En qué se parecen un espejo cóncavo y una lente convergente? ¿En qué se diferencian?
Errores típicos
- Creer que una lente convergente siempre da imagen real. Use la misma lupa del inicio - proyecta la ventana y aumenta la letra; la diferencia está en dónde queda el objeto respecto al foco.
- Poner la imagen real de una lente del mismo lado del objeto, como en un espejo. Insista en que en la lente la luz atraviesa - la imagen real queda del otro lado, donde se pondría la pantalla.
- Olvidar que f es negativa en una lente divergente. Pida que escriban el signo de f antes de reemplazar y que comprueben que la imagen de una divergente salga virtual.
- Trazar el rayo del centro óptico desviado. Muestre que en el centro las dos caras son casi paralelas, como una lámina de vidrio delgada.
Tarea sugerida
Una lente convergente tiene f = 15 cm. Calcular la imagen y el aumento de un objeto a 45 cm y de otro a 10 cm, hacer los dos diagramas de rayos y escribir para qué aparato sirve cada caso.