La resistividad
Lo que vas a aprender
- Calcular la resistencia de un cable con R = ρL/A, con los datos en notación científica.
- Predecir cómo cambia la resistencia de un cable cuando cambian su largo, su grosor o su material.
- Despejar el largo o la resistividad de R = ρL/A a partir de una medición.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Hasta ahora la resistencia de un elemento era un dato: «una resistencia de 20 Ω». Pero ¿de dónde sale ese número? ¿Por qué los cables de una ducha eléctrica son más gruesos que los de una lámpara? ¿Por qué una extensión delgada no sirve para una ducha? ¿Por qué los cables de la casa son de cobre y la resistencia de una plancha no?
En esta lección vas a ver que la resistencia de un cable depende de tres cosas que se pueden medir con una regla y saber por el material: de qué está hecho, cuánto mide de largo y qué tan grueso es. Con eso podrás calcular la resistencia de un cable antes de comprarlo.
Antes de empezar necesitas recordar la ley de Ohm, cómo se multiplica y se divide en notación científica y el área de un círculo, $\pi r^2$.
Explicación
Tres cosas de las que depende un cable
Piensa en la corriente como un montón de cargas que avanzan por el cable chocando con los átomos del material. Con esa imagen se entienden las tres reglas:
- El material. En unos materiales las cargas avanzan con mucha facilidad y en otros con dificultad. Esa propiedad del material se llama resistividad, se escribe $\rho$ (la letra griega rho) y se mide en ohmio metro, $\Omega\cdot\text{m}$: ohmio multiplicado por metro, no ohmio por metro.
- El largo. Un cable más largo tiene más resistencia: las cargas tienen que recorrer más material. Con el doble de largo, la resistencia es el doble.
- El grosor. Un cable más grueso tiene menos resistencia: hay más espacio para que pasen las cargas a la vez, como una calle con más carriles. Con el doble de área de la sección, la resistencia es la mitad.
Las tres reglas caben en una sola fórmula:
$$R = \rho\,\frac{L}{A}$$
donde $L$ es el largo del cable, en metros, y $A$ es el área de su sección transversal, en metros cuadrados: el área del círculo que se vería si cortaras el cable.
El grosor manda con el cuadrado
Si el cable es redondo, $A = \pi r^2$. Por eso, si el diámetro se duplica, el radio se duplica y el área se multiplica por cuatro: la resistencia queda en la cuarta parte, no en la mitad. Es la misma trampa de los cuadrados que viste con la potencia.
Las unidades de la sección
En los cables la sección se da en milímetros cuadrados. Como un milímetro es la milésima parte de un metro, un milímetro cuadrado es $(10^{-3})^2 = 10^{-6}$ metros cuadrados. Ese $10^{-6}$ es el que hace necesaria la notación científica. Hay un atajo: si la resistividad se escribe en $\Omega\cdot\text{mm}^2/\text{m}$, el largo va en metros y la sección en mm², sin convertir.
Los valores que vamos a usar
La resistividad se mide en el laboratorio y cambia un poco con la temperatura: en los metales aumenta cuando el material se calienta. En esta lección usaremos estos valores redondeados, como datos de los ejercicios:
- cobre: $1{,}7 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$;
- aluminio: $2{,}8 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$;
- nicromo: $1{,}1 \times 10^{-6}\ \Omega\cdot\text{m}$.
Fíjate en los exponentes: el nicromo tiene una resistividad más de sesenta veces mayor que la del cobre. Por eso los cables que llevan la corriente son de cobre o de aluminio, que la dejan pasar casi sin pérdidas, y los elementos que tienen que calentarse, como la resistencia de un secador, son de nicromo.
Por qué importa en la casa
Un cable también es una resistencia, pequeña, y por él pasa toda la corriente del aparato. Con $P = I^2R$, un cable delgado se calienta más que uno grueso con la misma corriente: cada metro del delgado tiene más resistencia. Uno largo no se pone más caliente, pero, como tiene más metros, convierte en calor más energía en total y le quita más voltaje al aparato. Por eso los aparatos de mucha potencia, como una ducha eléctrica, necesitan cables más gruesos, y por eso una extensión delgada no sirve para cualquier aparato.
Ejemplo resuelto
La resistencia de un cable de cobre
Un cable de cobre mide 20 m de largo y tiene una sección de 1 mm². La resistividad del cobre, redondeada, es 1,7 × 10⁻⁸ Ω·m. ¿Cuál es su resistencia?
Ver la solución paso a paso
Pasamos la sección a metros cuadrados. Un milímetro es 1/1000 de metro, y al cuadrado:
$$\left(\frac{1}{1000}\right)^{2} = 1 \times 10^{-6}$$
Con R = ρL/A, la resistencia en ohmios es:
$$\frac{1{,}7 \times 10^{-8} \cdot 20}{1 \times 10^{-6}} = 0{,}34$$
Con el atajo: la resistividad en Ω·mm²/m es la de Ω·m multiplicada por un millón, porque cada m² tiene 10⁶ mm².
$$1{,}7 \times 10^{-8} \cdot 10^{6} = 0{,}017$$
Con el largo en metros y la sección en mm², la cuenta da lo mismo:
$$\frac{0{,}017 \cdot 20}{1} = 0{,}34$$
Respuesta: El cable tiene una resistencia de 0,34 Ω.
Ejemplo resuelto
Más largo, más grueso
Compara el cable de cobre de 20 m y 1 mm² (0,34 Ω) con otros dos de cobre: uno de 40 m con la misma sección, y uno de 20 m con el doble de diámetro.
Ver la solución paso a paso
El cable de 40 m, con R = ρL/A, en ohmios:
$$\frac{1{,}7 \times 10^{-8} \cdot 40}{1 \times 10^{-6}} = 0{,}68$$
El doble de largo da el doble de resistencia:
$$\frac{0{,}68}{0{,}34} = 2$$
Con el doble de diámetro el radio también es el doble. El área crece en el cuadrado del radio, así que se multiplica por cuatro:
$$\frac{\pi \cdot 2^{2}}{\pi \cdot 1^{2}} = 4$$
La sección del tercer cable es de 4 mm², y su resistencia, en ohmios:
$$\frac{1{,}7 \times 10^{-8} \cdot 20}{4 \times 10^{-6}} = 0{,}085$$
Es la cuarta parte de la del cable original:
$$\frac{0{,}34}{0{,}085} = 4$$
Respuesta: El cable de 40 m tiene 0,68 Ω (el doble) y el de doble diámetro, 0,085 Ω (la cuarta parte).
El cable de cobre del ejemplo: 20 m de 1 mm² tienen 0,34 Ω. Alárgalo a 40 m: la resistencia se duplica, 0,68 Ω. Vuelve a 20 m y pon el doble de diámetro, 4 mm² de sección: baja a la cuarta parte, 0,085 Ω.
Ejemplo resuelto
¿Cuánto alambre de nicromo hace falta?
Se quiere hacer una resistencia de 22 Ω con alambre de nicromo de 0,5 mm² de sección. Con la resistividad redondeada del nicromo, 1,1 × 10⁻⁶ Ω·m, ¿qué largo de alambre hace falta?
Ver la solución paso a paso
Escribimos R = ρL/A con la sección en m² (0,5 mm² = 0,5 × 10⁻⁶ m²):
$$\frac{1{,}1 \times 10^{-6}L}{0{,}5 \times 10^{-6}} = 22$$
Despejamos L: L = RA/ρ.
$$L = \frac{22 \cdot 0{,}5 \times 10^{-6}}{1{,}1 \times 10^{-6}}$$
Las potencias de 10 se cancelan, y el largo es de 10 m.
$$L = 10$$
Con cobre de la misma sección harían falta más de sesenta veces ese largo, porque su resistividad es más de sesenta veces menor:
$$\frac{1{,}1 \times 10^{-6}}{1{,}7 \times 10^{-8}} > 60$$
Respuesta: Hacen falta 10 m de alambre de nicromo.
Práctica
Un cable de aluminio mide 100 m de largo y tiene una sección de 2 mm². Con la resistividad redondeada del aluminio, 2,8 × 10⁻⁸ Ω·m, ¿cuál es su resistencia, en Ω?
R = ρL/A = 2,8 × 10⁻⁸ · 100 / (2 × 10⁻⁶) = 1,4 Ω.
Un cable de cobre mide 50 m y tiene una sección de 2,5 mm². Con la resistividad redondeada del cobre, 1,7 × 10⁻⁸ Ω·m, ¿cuál es su resistencia, en Ω?
R = 1,7 × 10⁻⁸ · 50 / (2,5 × 10⁻⁶) = 0,34 Ω. Con el atajo: 0,017 · 50 / 2,5 = 0,34 Ω.
Un alambre de nicromo mide 2 m y tiene una sección de 0,5 mm². Con la resistividad redondeada del nicromo, 1,1 × 10⁻⁶ Ω·m, ¿cuál es su resistencia, en Ω?
R = 1,1 × 10⁻⁶ · 2 / (0,5 × 10⁻⁶) = 4,4 Ω. Dos metros de nicromo tienen más resistencia que los cien metros de aluminio de la primera pregunta (1,4 Ω).
Si el largo de un cable se triplica, sin cambiar el material ni el grosor, ¿por cuánto se multiplica su resistencia?
La resistencia es proporcional al largo: con el triple de largo, el triple de resistencia.
Si el diámetro de un cable se duplica, sin cambiar el material ni el largo, ¿por cuánto se multiplica su resistencia?
Con el doble de diámetro, el radio es el doble y el área πr² es cuatro veces mayor. La resistencia queda en la cuarta parte. La mitad sería el error de no elevar al cuadrado.
¿Verdadero o falso? Un cable de cobre de 10 m y 1 mm² de sección tiene más resistencia que uno de cobre de 10 m y 2,5 mm² de sección.
Con el mismo material y el mismo largo, el cable más delgado tiene más resistencia: 0,17 Ω contra 0,068 Ω.
Un cable de cobre de 1 mm² de sección tiene una resistencia de 0,85 Ω. Con la resistividad redondeada del cobre, 1,7 × 10⁻⁸ Ω·m, ¿cuánto mide de largo, en m?
De R = ρL/A sale L = RA/ρ = 0,85 · 10⁻⁶ / (1,7 × 10⁻⁸) = 50 m.
Un alambre de 4 m y 0,2 mm² de sección tiene una resistencia de 22 Ω. ¿Cuál es la resistividad de su material, en unidades de 10⁻⁶ Ω·m?
ρ = RA/L = 22 · 0,2 × 10⁻⁶ / 4 = 1,1 × 10⁻⁶ Ω·m. Es la resistividad redondeada del nicromo.
El cable A, de cobre, mide 10 m y tiene 1 mm² de sección. El cable B, también de cobre, mide 20 m y tiene 2 mm² de sección. ¿Cuántas veces es la resistencia de B la de A?
B tiene el doble de largo, que duplica la resistencia, y el doble de sección, que la reduce a la mitad. Los dos efectos se cancelan: las dos resistencias son iguales.
Una ducha eléctrica y una lámpara se conectan al mismo voltaje. ¿Por qué el cable de la ducha tiene que ser más grueso?
Con el mismo voltaje, la ducha tiene mucha más potencia y por ella pasa mucha más corriente. El calor que se produce en el cable es I²R: con un cable grueso, R es pequeña y el cable no se recalienta.
Reto
¿Cuál cable no es como los demás?
Cada ficha es R = ρL/A con la resistividad en Ω·mm²/m (0,017 para el cobre y 1,1 para el nicromo), el largo en metros y la sección en mm². En cada ronda, tres cables están del mismo lado de 1 Ω y uno está del otro lado. Tócalo.
Reto
Une cada cálculo con el que da lo mismo.
Unas fichas usan la resistividad en Ω·m y la sección en m²; otras usan el atajo en Ω·mm²/m. Une las que dan el mismo valor.
Cierre
En resumen
La resistencia de un cable es R = ρL/A: depende del material (ρ), del largo (L) y del área de la sección (A).
Un cable más largo tiene más resistencia; uno más grueso, menos.
Si el diámetro se duplica, el área se multiplica por cuatro y la resistencia queda en la cuarta parte.
Un milímetro cuadrado es 10⁻⁶ m²; con la resistividad en Ω·mm²/m no hace falta convertir.
Los cables se hacen de materiales de resistividad pequeña (cobre, aluminio) y las resistencias que calientan, de materiales de resistividad grande (nicromo).
Vocabulario
- Resistividad
Una propiedad del material que dice qué tanto se opone al paso de la corriente. Se escribe ρ (rho) y se mide en Ω·m.
- Sección transversal
El área del corte de un cable, perpendicular a su largo. En los cables se suele dar en mm².
- Conductor
Un material de resistividad pequeña, como el cobre o el aluminio.
- Nicromo
Una aleación de níquel y cromo de resistividad grande, que se usa en las resistencias que calientan.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre un cable delgado de lámpara y uno grueso (o fotos de los dos) y pregunte cuál creen que tiene más resistencia y por qué.
- Explicación · 15 min — Las tres dependencias con la imagen de las cargas que chocan; la fórmula R = ρL/A, la conversión de mm² a m² y los dos primeros ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas y el intruso en grupo. Si hay multímetro, midan la resistencia de dos trozos de alambre de distinto largo.
- Cierre · 5 min — Pida que cada estudiante explique con sus palabras por qué los cables de la ducha son gruesos.
Preguntas para el salón
- Si corto un cable por la mitad, ¿qué pasa con la resistencia de cada pedazo?
- Si junto dos cables iguales lado a lado, ¿se parece eso a un cable más grueso o a dos resistencias en paralelo? ¿Da lo mismo?
- ¿Por qué no se hacen los cables de la casa de nicromo?
Errores típicos
- Creer que un cable más grueso tiene más resistencia porque tiene más material. Use la imagen de la calle con más carriles y compárelo con dos resistencias iguales en paralelo, que dan la mitad.
- Usar la sección en mm² con la resistividad en Ω·m sin convertir. Pida una estimación: un cable de casa tiene una fracción de ohmio. Si da algo como 10⁻⁷ Ω, un millón de veces menos, faltó pasar la sección a m² (el 10⁻⁶); si da cientos de miles de ohmios, se mezcló el atajo (0,017) con la sección en m².
- Pensar que con el doble de diámetro la resistencia es la mitad. Dibuje dos círculos, uno de radio 1 y otro de radio 2, y cuente cuántas veces cabe el pequeño en el grande.
Tarea sugerida
Calcular la resistencia de 30 m de cable de cobre de 1,5 mm² y de 2,5 mm², y explicar por escrito cuál se calienta menos con la misma corriente.