Los reales, la densidad y el valor absoluto
Lo que vas a aprender
- Explicar, con el argumento de paridad, por qué √2 no se puede escribir como cociente de dos enteros.
- Ubicar en la recta numérica raíces como √2 y √5 con regla, compás y el teorema de Pitágoras.
- Encontrar un número racional o irracional entre dos números reales dados y ordenar números reales.
- Calcular el valor absoluto de un número y la distancia entre dos puntos de la recta.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En noveno aprendiste que hay números, como $\sqrt{2}$ y $\pi$, que no se pueden escribir como fracción. Pero, ¿cómo sabemos que de verdad no se puede? Quizá nadie ha encontrado todavía la fracción correcta. En matemáticas no basta con probar muchas fracciones y fallar: hace falta un argumento que muestre que ninguna sirve. En esta lección vas a conocer uno, corto y muy famoso.
También vas a ver tres ideas que se usan en todo el bachillerato: cómo se pone un irracional en la recta numérica con regla y compás, por qué entre dos números reales siempre cabe otro (la densidad) y cómo se mide la distancia entre dos puntos de la recta con el valor absoluto. Las tres aparecen en las desigualdades, en las funciones y, más adelante, en los límites.
Antes de empezar repasa el teorema de Pitágoras y qué es un número par: un entero que se puede escribir como $2k$, con $k$ entero.
Explicación
Por qué $\sqrt{2}$ no es una fracción
El número $\sqrt{2}$ es el número positivo cuyo cuadrado es 2. Es, por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado 1. Vamos a mostrar que no existe ninguna fracción $\tfrac{p}{q}$, con $p$ y $q$ enteros, que valga exactamente $\sqrt{2}$.
La estrategia se llama reducción al absurdo: suponemos lo contrario y llegamos a una contradicción. Antes necesitamos un dato sobre la paridad: el cuadrado de un impar es impar. En efecto, un impar se escribe $2k + 1$, y su cuadrado es $4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, que es un par más uno. Por eso, si el cuadrado de un entero es par, el entero tiene que ser par: si fuera impar, su cuadrado sería impar.
Ahora el argumento. Supongamos que $\sqrt{2} = \tfrac{p}{q}$ y que la fracción ya está simplificada al máximo: $p$ y $q$ no tienen ningún factor común (toda fracción se puede simplificar así). En particular, no pueden ser los dos pares.
Ejemplo resuelto
El argumento de paridad, paso a paso
Supón que $\sqrt{2} = \tfrac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros positivos sin factores comunes. Llega a una contradicción.
Ver la solución paso a paso
Multiplicamos por $q$ y elevamos al cuadrado los dos lados (ambos son positivos, así que no se gana ni se pierde nada):
$$p^{2} = 2q^{2}$$
Entonces $p^2$ es el doble de un entero: $p^2$ es par. Por el dato de paridad, $p$ también es par. Lo escribimos $p = 2k$, con $k$ entero.
Reemplazamos $p = 2k$ en la igualdad, que ahora miramos como una ecuación en $q$:
$$\left(2k\right)^{2} = 2q^{2}$$
Calculamos el cuadrado.
$$4k^{2} = 2q^{2}$$
Dividimos entre 2 los dos lados.
$$q^{2} = 2k^{2}$$
Ahora $q^2$ es par, así que $q$ también es par. Pero entonces $p$ y $q$ son los dos pares, y tienen el factor común 2: eso contradice que la fracción estaba simplificada.
La contradicción viene de suponer que $\sqrt{2}$ era una fracción. Esa suposición es falsa: $\sqrt{2}$ es irracional.
Respuesta: No existe ninguna fracción de enteros igual a $\sqrt{2}$: suponerla lleva a que $p$ y $q$ son pares y no son pares a la vez.
Con un argumento parecido, pero con divisibilidad entre 3 en lugar de paridad, se muestra que $\sqrt{3}$ es irracional; y en general, la raíz cuadrada de un natural que no es cuadrado perfecto es irracional. Cuidado: el argumento no funciona con $\sqrt{4}$, porque ahí $p^2 = 4q^2$ no lleva a ninguna contradicción ($\sqrt{4} = 2$ es entero).
Los irracionales tienen su lugar en la recta
Que $\sqrt{2}$ no sea una fracción no quiere decir que «no exista»: es una longitud que se puede dibujar con toda exactitud. Para ponerla en la recta numérica:
- dibuja un triángulo rectángulo con un cateto sobre la recta, de 0 a 1, y el otro cateto de longitud 1, vertical;
- por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$;
- con la punta del compás en 0 y abertura igual a la hipotenusa, traza un arco hasta la recta: el punto de corte es $\sqrt{2}$.
Lo mismo sirve para otras raíces: si buscas dos catetos enteros $a$ y $b$ con $a^2 + b^2 = n$, la hipotenusa mide $\sqrt{n}$. Para $\sqrt{5}$ sirven los catetos 2 y 1. Y si sobre la hipotenusa $\sqrt{2}$ levantas un cateto de 1, la nueva hipotenusa mide $\sqrt{3}$; repitiendo, salen $\sqrt{4}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$… uno tras otro.
Triángulo de catetos 2 y 1: la hipotenusa mide √5. El arco con centro en 0 la lleva a la recta, en el punto (√5; 0).
Ejemplo resuelto
Ubicar √5 y √10 en la recta
Halla catetos enteros para dibujar $\sqrt{5}$ y $\sqrt{10}$, y comprueba entre qué enteros cae cada uno.
Ver la solución paso a paso
Para $\sqrt{5}$ buscamos dos cuadrados que sumen 5: $4 + 1$. Los catetos son 2 y 1:
$$\sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$$
Para $\sqrt{10}$, dos cuadrados que sumen 10: $9 + 1$. Los catetos son 3 y 1:
$$\sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$$
Para saber entre qué enteros cae $\sqrt{5}$, comparamos 5 con los cuadrados vecinos, 4 y 9:
$$2 < \sqrt{5} < 3$$
Y $\sqrt{10}$, comparando 10 con 9 y 16:
$$3 < \sqrt{10} < 4$$
Respuesta: $\sqrt{5}$ es la hipotenusa de catetos 2 y 1, y está entre 2 y 3; $\sqrt{10}$ es la de catetos 3 y 1, y está entre 3 y 4.
Ordenar números reales
Para comparar dos reales escritos de formas distintas hay dos caminos. El primero es pasarlos a decimal con suficientes cifras. El segundo es más exacto: si dos números son positivos, el mayor es el que tiene el mayor cuadrado. Así, para comparar $\sqrt{5}$ con $\tfrac{9}{4}$ basta comparar 5 con $\tfrac{81}{16}$, sin calculadora. Esta regla solo vale para positivos: $-3 < 2$, pero $(-3)^2 = 9$ es mayor que $2^2 = 4$.
La densidad: siempre cabe otro
Entre los enteros 3 y 4 no hay ningún entero. Con los reales pasa lo contrario: entre dos números reales distintos hay siempre otro número real. Una forma segura de encontrarlo es el punto medio: si $a < b$, el número $\tfrac{a + b}{2}$ queda justo en la mitad, y cumple $a < \tfrac{a + b}{2} < b$.
Como entre $a$ y el punto medio vuelve a caber otro, y así sin fin, entre dos reales distintos hay infinitos números. Por eso no tiene sentido preguntar cuál es «el número que sigue» a 0,5: cualquiera que propongas, hay otro más cerca.
Dos detalles útiles:
- si $a$ y $b$ son racionales, su punto medio también es racional: entre dos racionales hay otro racional;
- entre dos números distintos también hay irracionales. Por ejemplo, si $a < b$ son racionales, $a + \tfrac{\sqrt{2}}{2}(b - a)$ es irracional y está entre ellos, porque $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ es un irracional entre 0 y 1.
Ejemplo resuelto
Un número entre otros dos
Encuentra un racional entre $\tfrac{1}{3}$ y $\tfrac{1}{2}$, y otro entre $\sqrt{2}$ y $\tfrac{3}{2}$.
Ver la solución paso a paso
Para el primero tomamos el punto medio:
$$\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2}$$
Sumamos las fracciones con denominador común 6: $\tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{6} = \tfrac{5}{6}$, y queda la mitad de eso.
$$\frac{\frac{5}{6}}{2}$$
Dividimos entre 2.
$$\frac{5}{12}$$
Comprobamos que está entre los dos:
$$\frac{1}{3} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2}$$
Para el segundo, $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ y $\tfrac{3}{2} = 1{,}5$. Un decimal entre ellos es $1{,}45$. Comprobamos sin aproximar: comparamos cuadrados, porque los tres números son positivos.
$$\left(1{,}45\right)^{2} > 2$$
Como $1{,}45^2$ pasa de 2, $1{,}45$ es mayor que $\sqrt{2}$. Y es menor que $1{,}5$:
$$\sqrt{2} < 1{,}45 < \frac{3}{2}$$
Como fracción, $1{,}45$ es $\tfrac{145}{100}$ simplificada:
$$1{,}45 = \frac{29}{20}$$
Respuesta: $\tfrac{5}{12}$ está entre $\tfrac{1}{3}$ y $\tfrac{1}{2}$; $1{,}45 = \tfrac{29}{20}$ está entre $\sqrt{2}$ y $\tfrac{3}{2}$. Hay infinitas respuestas correctas.
Valor absoluto y distancia
El valor absoluto de un número $a$, que se escribe $|a|$, es la distancia de $a$ al cero en la recta. Como una distancia no es negativa, $|a| \ge 0$, y solo $|0| = 0$. Por ejemplo, $|4| = 4$ y $|-4| = 4$: los dos están a 4 unidades del cero.
Por casos, la definición es:
$$|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \ge 0, \\ -a & \text{si } a < 0. \end{cases}$$
El segundo renglón asusta al principio: si $a$ es negativo, $-a$ es positivo. Por ejemplo, si $a = -4$, entonces $-a = 4$. Por eso no es correcto decir que $|-x|$ es $x$: si $x = -4$, $|-x| = |4| = 4$, que no es $x$.
La distancia entre dos números $a$ y $b$ es $|a - b|$. Da lo mismo restar en un orden o en el otro, porque $a - b$ y $b - a$ solo se diferencian en el signo: $|a - b| = |b - a|$. Así, la distancia entre $-3$ y $5$ es $|5 - (-3)| = 8$, que es lo que se cuenta en la recta.
Una relación que conviene recordar: para cualquier real $a$, $\sqrt{a^2} = |a|$. La raíz cuadrada es siempre el valor no negativo, así que $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6$, no $-6$.
Ejemplo resuelto
Distancias en la recta
Calcula la distancia entre $-7$ y $2$, y halla los números que están a 5 unidades de 2.
Ver la solución paso a paso
La distancia es el valor absoluto de la diferencia:
$$\left|2 - \left(-7\right)\right|$$
Restar un negativo es sumar.
$$\left|9\right|$$
Resultado.
$$9$$
Para la segunda parte, «$x$ está a 5 unidades de 2» se escribe así:
$$\left|x - 2\right| = 5$$
Lo de dentro puede valer 5…
$$x - 2 = 5$$
…lo que da:
$$x = 7$$
…o puede valer $-5$:
$$x - 2 = -5$$
…lo que da:
$$x = -3$$
En la recta se ve: a 5 unidades a la derecha de 2 está el 7, y a 5 a la izquierda, el $-3$.
Respuesta: La distancia entre $-7$ y $2$ es 9. Los números a 5 unidades de 2 son $7$ y $-3$.
Los números que están a 5 unidades de 2 son −3 y 7, uno a cada lado.
La ranita sale de −7 y salta de 1 en 1. Cuenta los saltos hasta llegar a 2: son 9, la distancia entre los dos números, |−7 − 2| = 9.
Práctica
Marca todos los números irracionales.
Marca todas las que apliquen.
√50 = 5√2, π − 3 y 1 + √3 son irracionales. En cambio √(49/4) = 7/2, √2 · √32 = √64 = 8 y √12/√3 = √4 = 2 son racionales.
En el argumento de paridad se llega a que $p^2$ es par. ¿Por qué se puede concluir que $p$ es par?
El cuadrado de un impar 2k + 1 es 2(2k² + 2k) + 1, que es impar. Así que un entero con cuadrado par no puede ser impar. No todo cuadrado es par: 3² = 9.
Para ubicar un número en la recta se dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3 y 2, y se lleva la hipotenusa a la recta con el compás desde 0. ¿Qué número se marca? Escríbelo redondeado a la centésima.
La hipotenusa mide √(9 + 4) = √13 ≈ 3,61. El punto marcado es √13, entre 3 y 4.
¿Cuál de estos números es el mayor?
9/4 = 2,25; √5 ≈ 2,236 (porque (9/4)² = 81/16 es más que 5); π − 1 ≈ 2,14. El mayor es 9/4, aunque √5 está muy cerca.
Marca todos los números que están entre $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{3}$.
Marca todas las que apliquen.
1/4 = 0,25 y 1/3 ≈ 0,333. Están entre ellos 0,3, 7/24 ≈ 0,292 (el punto medio) y 2/7 ≈ 0,286. 0,35 se pasa de 1/3, 2/5 = 0,4 también, y 0,25 es el propio 1/4: no está estrictamente entre ellos.
¿Cuál es el punto medio entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{1}{2}$? Escríbelo como fracción o como decimal.
2/5 + 1/2 = 4/10 + 5/10 = 9/10, y la mitad es 9/20 = 0,45. Está entre 0,4 y 0,5.
¿Cuántos números reales hay entre 0,1 y 0,2?
Por la densidad, entre dos reales distintos siempre cabe otro, y entre ese y cualquiera de los extremos, otro más. 0,11, 0,111, 0,1111… ya son infinitos.
¿Cuál es la distancia en la recta entre $-7$ y $4$?
|4 − (−7)| = |11| = 11. Restar −7 es sumar 7. Si se calcula 4 − 7 sale −3 (o 3 si se le quita el signo), que es la distancia entre 4 y 7, no entre −7 y 4.
¿Cuál es el conjunto solución de $\left|x + 1\right| = 4$?
|x + 1| = |x − (−1)|: es la distancia de x a −1. Los números a 4 unidades de −1 son 3 y −5. Responder solo 3 olvida el lado izquierdo.
¿Verdadero o falso? $\sqrt{\left(-6\right)^{2}} = -6$
√((−6)²) = √36 = 6. La raíz cuadrada da el valor no negativo: √(a²) = |a|.
¿Verdadero o falso? $\left|3 - 10\right| = \left|10 - 3\right|$
|3 − 10| = |−7| = 7 y |10 − 3| = 7. La distancia entre dos números no depende del orden en que se resten.
Reto
Une cada expresión con su valor.
Calcula primero lo de dentro de las barras o de la raíz.
Reto
Abre el candado de la recta.
Cada respuesta es una cifra del código.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En cada ronda, toca el número que es de una clase distinta a los otros.
Cierre
En resumen
√2 es irracional: si fuera p/q simplificada, p y q serían los dos pares, lo que es una contradicción.
Un irracional como √5 se ubica exactamente en la recta con un triángulo rectángulo de catetos enteros y un compás.
Para comparar dos números positivos basta comparar sus cuadrados.
Entre dos reales distintos siempre hay otro, por ejemplo el punto medio (a + b)/2; por eso hay infinitos.
|a| es la distancia de a al cero, nunca es negativa, y la distancia entre a y b es |a − b|.
Vocabulario
- Número irracional
Número real que no se puede escribir como cociente a/b de dos enteros con b distinto de cero.
- Densidad
Propiedad de los números reales (y también de los racionales): entre dos números distintos hay otro, y por tanto infinitos.
- Valor absoluto
La distancia de un número al cero en la recta numérica. Se escribe |a|; nunca es negativo.
- Distancia entre dos números
La longitud del segmento que los une en la recta: |a − b|, que es igual a |b − a|.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte si alguien puede escribir √2 como fracción. Deje que prueben con la calculadora (7/5, 17/12…) y pregunte cómo podríamos estar seguros de que ninguna fracción sirve.
- Explicación · 20 min — El argumento de paridad en el tablero, despacio, con el dato del impar al cuadrado primero. Luego la construcción de √5 con regla y compás, la densidad y el valor absoluto como distancia.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas. El dominó y el candado se pueden resolver en grupo; pida que cada pareja justifique en voz alta una respuesta.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un número entre 1,41 y 1,42 y explica por qué siempre se puede encontrar otro más.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué es importante que la fracción p/q esté simplificada al empezar el argumento?
- ¿Qué pasa si intentan el mismo argumento con √4? ¿Dónde se rompe?
- ¿Cuál es el número real que sigue a 0,5? ¿Por qué la pregunta no tiene respuesta?
- ¿Puede el valor absoluto de un número ser negativo? ¿Y puede |x| ser distinto de x?
Errores típicos
- Creer que se demuestra que √2 es irracional probando muchas fracciones con la calculadora. Muestre que 99/70 se acerca mucho y pregunte si eso prueba algo; contraste con un argumento que cubre todas las fracciones a la vez.
- Decir que |a| es «a sin el signo» y concluir que |−x| = x. Pruebe con x = −4: |−x| = 4, que no es x. Insista en la definición por distancia.
- Calcular la distancia entre −7 y 4 como 4 − 7 = −3 o 3. Ubique los dos puntos en la recta y cuente; luego escriba |4 − (−7)| con el paréntesis.
- Comparar números negativos por sus cuadrados. Contraste −3 < 2 con 9 > 4: la regla de los cuadrados es solo para positivos.
Tarea sugerida
Ubicar √2, √5 y √10 en la recta con regla y compás; escribir tres números entre √3 y 1,8 (uno de ellos irracional), y calcular la distancia entre −2,5 y 4.