Intervalos y desigualdades con valor absoluto

¿Para qué sirve esto?

Imagina un taller (inventado) que fabrica tornillos que deben medir 50 mm. Ninguna máquina es perfecta, así que el taller acepta los tornillos que se alejan a lo sumo 0,2 mm de la medida ideal. Esa regla se escribe en una línea: $|x - 50| \le 0{,}2$. Leerla y convertirla en un intervalo, $[49{,}8;\ 50{,}2]$, es lo que vas a aprender hoy.

Las desigualdades con valor absoluto describen tolerancias y márgenes de error en la industria, en la medicina y en las ciencias. Para resolverlas necesitas dos herramientas: las propiedades de orden, que dicen qué se puede hacer con los dos lados de una desigualdad, y las operaciones entre intervalos.

Antes de empezar recuerda la notación de intervalos de noveno: $[a;\ b]$ incluye los extremos, $(a;\ b)$ no los incluye, y $|a - b|$ es la distancia entre $a$ y $b$.

Las propiedades de orden

Si $a < b$, estas son las reglas para operar los dos lados:

• Sumar o restar el mismo número $c$ conserva el sentido: $a + c < b + c$.
• Multiplicar o dividir por un positivo conserva el sentido: si $c > 0$, $ac < bc$.
• Multiplicar o dividir por un negativo invierte el sentido: si $c < 0$, $ac > bc$.

La tercera regla se entiende en la recta. Multiplicar por $-1$ refleja cada número al otro lado del cero: el 2 va a dar al $-2$ y el 5 al $-5$. El que estaba a la derecha queda a la izquierda, así que $2 < 5$ pero $-2 > -5$. Multiplicar por cero no sirve: convierte $2 < 5$ en $0 = 0$, que ya no es una desigualdad.

Estas reglas valen también para las desigualdades dobles, como $2 < x < 5$: se aplica la misma operación a las tres partes.

El efecto de multiplicar y dividir

Las mismas reglas explican qué le pasa a una cantidad positiva $x$ cuando la operas:

• multiplicarla por un número mayor que 1 la agranda: $1{,}5x > x$;
• multiplicarla por un número entre 0 y 1 la achica: $0{,}5x < x$;
• dividirla por un número entre 0 y 1 la agranda, porque dividir entre $0{,}25$ es lo mismo que multiplicar por 4;
• multiplicarla por un negativo la manda al otro lado del cero.

Fíjate en que todo esto es para $x$ positiva. Si $x$ es negativa, multiplicar por 2 la aleja del cero hacia la izquierda: $2 \cdot (-3) = -6$, que es menor que $-3$.

Con potencias y raíces pasa algo parecido. Si $x > 1$, entonces $x^2 > x$. Pero si $0 < x < 1$, entonces $x^2 < x$ y $\sqrt{x} > x$: por ejemplo, $0{,}5^2 = 0{,}25$, que es menor que $0{,}5$. «Elevar al cuadrado agranda» es falso para los números entre 0 y 1.

Desigualdades con valor absoluto

Como $|x - a|$ es la distancia entre $x$ y $a$, cada desigualdad con valor absoluto es una frase sobre distancias. Sea $r$ un número positivo:

• $|x - a| < r$ dice «$x$ está a menos de $r$ unidades de $a$». Son los números del intervalo que tiene centro $a$ y radio $r$: $$|x - a| < r \iff -r < x - a < r \iff a - r < x < a + r.$$
• $|x - a| > r$ dice «$x$ está a más de $r$ unidades de $a$». Son los números que quedan fuera de ese intervalo, a un lado o al otro: $$|x - a| > r \iff x - a < -r \ \text{ o } \ x - a > r.$$ El conjunto solución es una unión: $(-\infty;\ a - r) \cup (a + r;\ \infty)$.

Con $\le$ o $\ge$ los extremos $a - r$ y $a + r$ se incluyen, y los paréntesis pasan a ser corchetes. Y si $r$ no es positivo, hay que pensar antes de aplicar la regla: una distancia nunca es negativa, así que $|x - 1| < -2$ no tiene ninguna solución, mientras que $|x - 1| > -2$ la cumplen todos los reales.

Unión e intersección de intervalos

Muchas condiciones combinan dos desigualdades. Si deben cumplirse las dos a la vez («y»), se toma la intersección $A \cap B$: lo que tienen en común. Si basta con que se cumpla una de las dos («o»), se toma la unión $A \cup B$: todo lo que está en alguno.

Para no equivocarte, dibuja los dos intervalos sobre la misma recta, uno encima del otro. La intersección es la parte donde se pisan; la unión, todo lo que queda cubierto. En los extremos mira con cuidado: un extremo está en la intersección solo si está en los dos intervalos, y en la unión si está en alguno. Si los intervalos no se pisan, la intersección es vacía, $\varnothing$.

En resumen

• Sumar o restar conserva el sentido de una desigualdad; multiplicar o dividir por un positivo lo conserva, y por un negativo lo invierte.

• Una cantidad positiva crece al multiplicarla por un número mayor que 1 y decrece si el número está entre 0 y 1; dividir hace lo contrario.

• Con r positivo, |x − a| < r es el intervalo (a − r; a + r): centro a, radio r.

• Con r positivo, |x − a| > r es la unión (−∞; a − r) ∪ (a + r; ∞); con ≤ o ≥ los extremos se incluyen.

• La intersección reúne lo que cumple las dos condiciones a la vez; la unión, lo que cumple al menos una.

Vocabulario

Propiedades de orden

Reglas que dicen qué le pasa a una desigualdad al operar sus dos lados: sumar conserva el sentido; multiplicar por un positivo lo conserva; multiplicar por un negativo lo invierte.

Centro y radio

En |x − a| < r, el centro es a y el radio es r: son los números que están a menos de r unidades de a.

Unión de intervalos

El conjunto de los números que están en uno de los intervalos o en los dos. Se escribe A ∪ B.

Intersección de intervalos

El conjunto de los números que están a la vez en los dos intervalos. Se escribe A ∩ B.